常微分方程解的存在唯一性定理

§2.2解的存在唯一性定理和

逐步逼近法

/Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod/

概念和定义存在唯一性定理内容提要/ConstantAbstract/§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod本节要求/Requirements/掌握逐步逼近方法的本思想深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod一、概念与定义/ConceptandDefinition/1.一阶方程的初值问题(Cauchyproblem)表示§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2.利普希兹条件

函数称为在矩形域:…………(3.1.5)关于y

满足利普希兹(Lipschitz)条件，如果存在常数L>0使得不等式对所有都成立。L

称为利普希兹常数。§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod二、存在唯一性定理

定理1如果f(x,y)

在R上连续且关于y满足利普希兹条件,则方程(3.1.1)存在唯一的连续解定义在区间,且满足初始条件这里§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod定理1的证明需要证明五个命题：

命题1求解微分方程的初值问题等价于求解一个积分方程

命题2构造一个连续的逐步逼近序列

命题3证明此逐步逼近序列一致收敛

命题4证明此收敛的极限函数为所求初值问题的解

命题5证明唯一性§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod定理1的证明命题1

设是初值问题的解的充要条件是是积分方程……(3.1.6)的定义于上的连续解。证明:微分方程的初值问题的解满足积分方程（3.1.6）。积分方程（3.1.6）的连续解是微分方程的初值问题的解。§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod证明因为是方程(3.1.1)的解，故有:两边从积分得到:把(3.1.2)代入上式,即有:因此,是积分方程在上的连续解.§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod反之，如果是(3.1.6)的连续解，则有：………(3.1.8)微分之，得到:又把

代入(3.1.8)，得到:因此，是方程(3.1.1)定义于上，且满足初始条件(3.1.2)的解。命题1证毕.同理，可证在也成立。§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod现在取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethodxyox0x0+ax0-ay0y0-by0+bx0-hx0+h§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod命题2

对于所有的(3.1.9)中函数在上有定义、连续，即满足不等式:证明:

（只在正半区间来证明，另半区间的证明类似）当n=1

时,§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod即命题2当n=1时成立。现在用数学归纳法证明对于任何正整数n

，命题2都成立。即当n=k

时，在也就是满足不等式在上有定义,连续上有定义，连续，而当n=k+1

时，上有定义，连续。在§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod

即命题２在n=k＋１时也成立。由数学归纳法得知命题２对于所有n

均成立。命题３在上是一致收敛的。命题２证毕函数序列考虑级数:它的部分和为：§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod为此墙，进锅行如际下的配估计透，由卷逐步杆逼近孟序列(3筑.1拦.9您)有:§2.负2Exi畅st庆en殖ce窜&途U值ni谊qu抚en肠es所s占Th鞋eo火re乏m汽&烧Pr李og闻re值ss械iv扶e嘉Me茶th罚od设对妖于正串整数n,不等蓄式成立誉，于是种，由免数学逗归纳检法得孕到：鲜对于吩所有赞的正倾整数k，有垄如下问的估猜计:§2.巨2服Exi胶st毒en圈ce纲&糊U能ni洪qu晚en丧es卧s探Th迎eo丝式re夕m波&索Pr皇og珠re不ss脂iv搏e叛Me班th奔od由此秆可知放，当时(3些.1娇.1劣4)的右两端是评正项当收敛殊级数的一呼般项饶，由维仓尔斯倍特拉庄斯(W镜ei平er齿st维ra邀ss肆)判别烤法(简称黎维氏乔判别匆法),级数(3烤.1灰.1虫1)在上一皂致收但敛,因而缸序列也在上一辟致收秤敛。命题3证毕§2.亿2局Exi选st漆en翅ce低&方U节ni矿qu巷en茅es勤s需Th弟eo浩re虚m惩&锡Pr沃og胜re狡ss棕iv置e亦Me统th垫od则也在又可看知现设上连雾续，挥且由(3西.1滋.1捐0)命题4是积绵分方汁程(3漂.1雷.6寺)的定罢义于证贪明:由利恩普希忍兹条强件以及在上一璃致收贼敛于上的起连续蛇解。§2.说2贱Exi旷st恰en液ce范&仇U饥ni惧qu所en晕es储s楼Th忧eo脊re担m疗&堡Pr数og报re布ss碧iv芬e沸Me波th形od因而举，对(3暖.1票.9祝)两边罗取极决限,得到:即即知句序列在一致触收敛这就兽是说,是积油分方狂程(3乌.1公.1甩6)的定坦义于上的杀连续妖解。命题4证毕§2.渔2疲Exi环st赠en贸ce橡&县U诱ni台qu罢en员es摔s易Th脾eo象re狭m酿&毕Pr压og年re烛ss魂iv倚e棕Me滑th夹od命题5也是资积分妻方程(3缸.1赢.6偷)的定产义于上的啦一个如连续粉解,则证明若首先字证明也是经序列的一风致收元敛极剑限函桂数。为此捧，从进行岁如下记的估僵计§2.廉2掏Exi维st盘en厕ce端&呀U鼠ni坦qu疑en给es色s跳Th乏eo仪re还m滥&蓬Pr身og散re匙ss脱iv极e浓Me签th脾od现设则有§2.保2Exi虎st状en俭ce央&踩U纤ni丑qu腥en像es环s葵Th鱼eo抖re卷m览&竭Pr术og倍re幅ss稼iv怀e神Me享th枝od有故由勺数学睁归纳弃法得波知对裳于所负有的尽正整穴数n，有亡下面震的估羽计式§2.异2乒Exi灭st造en荣ce固&死U敬ni喘qu隶en木es呢s貌Th差eo跌re爷m丢&躁Pr虑og牲re红ss余iv蔑e辟Me亩th妨od因此因，在上有:是收盼敛级啊数的板公项,故时因而在上一虾致收都敛于根据泪极限至的唯辨一性窝，即得:命题5证毕综合徒命题1-裂5，即厨得到砍存在糠唯一宅性定臣理的计证明侦。§2.既2雷Exi指st坝en唐ce依&得U窄ni纵qu功en述es肤s臭Th裹eo医re课m慕&耽Pr挡og璃re抄ss挤iv深e冈Me梁th巴od例求初察值问蛛题碧的第趣三次拜近似闻解。§2.触2胡Exi怨st宏en撑ce摊&声U夜ni省qu教en身es讽s银Th煤eo堤re范m勾&评Pr骄og柜re蚁ss般iv凭e她Me绞th指od附待注/R馋em塔ar贤k/1）如以果在R上存在灶且连荐续,则f(x,小y)在R上关肺于y满足扒利普划希兹期条件棕，反躲之不唐成立壮。证在R上连耐续，身则在R上有劣界，葬记为L由中渐值定粉理故f(捆x,骗y)在R上关售于y满足造利普示希兹供条件齐。§2.撤2滑Exi裳st素en谦ce去&垄U鸟ni亦qu鸭en疮es及s庭Th杜eo劝re欠m啦&炮Pr叠og桐re拢ss辱iv组e装Me瓦th叠od这条旗件是犯充分材条件统，而蛇非必穿要条横件。例1R为中杂心在阶原点战的矩碍形域但故f(x,玻y)在R上关膀于y满足双利普像希兹旨条件淘。在R上存在敏且有味界f(棋x,埋y)在R上关女于y满足煎利普切希兹商条件控。在R上存在大且无粉界f(耍x,痰y)在R上关养于y不满夫足利慕普希砖兹条虹件。§2.退2驳Exi佣st怠en伯ce访&张U槽ni围qu弓en坑es局s英Th信eo寇re调m的&逢Pr挺og墨re咱ss贞iv系e煤Me描th狭od2)定理1中的充两个傻条件博是保清证Ca链uc昂hy愧P存在唯一龙的充闭分条螺件，辩而非担必要凯条件沟。例2当连蓝续条宗件不鼠满足踪蝶时，菊解也易可能僚存在飞唯一供。f(肥x,破y)在以途原点健为中辜心的弦矩形皂域中稳不连娃续，幻玉但解尘存在牲唯一§2.干2欲Exi市st藏en通ce肺&厉U京ni纽奉qu联en茶es军s中Th成eo叨re孙m陷&蠢Pr失og陡re镰ss别iv映e篮Me锅th捎od例3当Li摔ps总ci平tz条件己不满阁足时观，解翠也可畜能存冈在唯苏一。f(运x,烛y)在(x,0)的任还何邻盗域内威不满型足Li各ps外ci套tz条件德，但缴解存令在唯鄙一不可警能有立界§2.为2洁Exi京st业en眨ce眠&朴U剑ni帝qu度en敲es发s茄Th扶eo挪re寒m甜&丘Pr搅og直re沙ss烈iv犯e换Me贸th热odxy§2.跟2谎Exi攻st台en骑ce移&没U妙ni幼qu购en割es蒙s宣Th溜eo版re尤m稍&卡Pr脉og催re化ss疮iv锣e末Me盈th吵od

例4

设方程(3.1)为线性方程则当P(x),Q(x)

在区间上连续，则由任一初值所确定的解在整个区间上都存在。3）若f(x,款y)在带伯域溪中关连续白，且对y满足Li俱ps纤ch促it牺z条件药，则气在整胞个区茎间中存维在唯花一满氧足条征件栋的觉方程的解纹。记§2.侨2籍Exi葡st泼en冒ce刑&活U握ni爪qu帽en韵es茫s悄Th炸eo酒re搭m台&药Pr透og怜re鸦ss巾iv爸e槽Me布th遵od4)一阶键隐式应方程企的解阳的存披在唯沫一性定理2如果在点的某一邻域中，对所有的变元连续，且存在连续的偏导数；则上述初值问题的解在的某一邻域存在。§2.年2史Exi扎st娱en旺ce毁&坦U货ni序qu恳en季es动s迷Th害eo赢re交m记&四Pr肢og必re尘ss雹iv银e辫Me促th侧od事实辨上，遥由条扑件知哨所确摸定的研隐函舞数在代邻雷域内幕存在妹且连规续，掀且在催邻齿域内亡连续骑，在秘以为中那心的蕉某一还闭矩僵形区冲域D中有沾界，桑所以f(怎x,岔y)在D中关供于y满足Li舅ps费ch有it凡z条件哪。由解智的存北在唯懂一性计定理鹊，的解y(滥x)存在颈唯一烤，存在句区间羊中的h可足旅够小热。同嫩时，框有§2.厅2释Exi阶st方en拆ce恰&渐U榜ni抖qu治en果es晌s携Th吊eo里re单m摩&圣Pr题og上re际ss福iv悬e轮Me誓th艇od三俗、纤近似导计算遇和误付差估童计第n次近急