高等数学教学教学教案（同济六版）1-9 初等函数地连续性及闭区间上连续函数地性质

第九讲初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质第九讲一、初等函数的连续性二、闭区间上连续函数的性质第九讲一、初等函数的连续性二、闭区间上连续函数的性质思路初等函数在其定义区间内连续初等函数由基本初等函数经过有限次四则和复合所构成基本初等函数在定义域内连续连续函数经过四则运算仍连续连续函数经过复合运算仍连续证明如下结论：一、初等函数的连续性（一）连续函数的和、差、积、商的连续性定理在其定义域内连续例若函数f(x)和g(x)在点x0连续，f±g、积f·g及商f/g（当g(x0)≠0时）都在点x0连续.则它们的和（差）连续（二）反函数的连续性定理例且连续，那么它的反函数如果函数y=f(x)在区间Ix上单调增加(或单调减少)Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上单调增加（或单调减少）且连续.也在对应的区间上单调增加且连续在其反函数在上单调增加且连续一、初等函数的连续性（三）复合函数的连续性设函数y=f[g(x)]是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成，y=f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义，则定理一定理二而函数y=f(u)在u=u0连续，若定理三若函数u=g(x)在x=x0连续,且g(x0)=u0，而函数y=f(u)在u=u0连续，且存在δ＞0，若当时一、初等函数的连续性（四）初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内连续一切初等函数在其定义区间内连续结论注不能说初等函数在其定义域内连续例如定义域中的点都是孤立点不能说函数在该点连续一、初等函数的连续性（五）初等函数的连续性的应用1．讨论函数的连续性定理三例讨论函数的连续性设函数y=f[g(x)]是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成，则若函数u=g(x)在x=x0连续,且g(x0)=u0，一、初等函数的连续性（五）初等函数的连续性的应用2．利用复合函数的连续性求极限定理二设函数y=f[g(x)]是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成，则而函数y=f(u)在u=u0连续，若变量代换上述结论可写为函数符号与极限符号可交换一、初等函数的连续性（五）初等函数的连续性的应用2．利用复合函数的连续性求极限例命题设u(x)>0,u(x)≠1则一、初等函数的连续性（五）初等函数的连续性的应用3．利用初等函数的连续性求极限例一切初等函数在其定义区间内连续4．找间断点对于初等函数间断点无定义的点例求函数的间断点第九讲一、初等函数的连续性二、闭区间上连续函数的性质第九讲一、初等函数的连续性二、闭区间上连续函数的性质二、闭区间上连续函数的性质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用二、闭区间上连续函数的性质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用最值概念设f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I，使得对任一x∈I，恒有则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）.注（1）最值与界的关系最值界（2）最大值可以等于最小值（3）函数在区间I上可能取不到最值在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定取得它的最大值和最小值.定理几何意义abxoy定理的条件是重要的注例y=x在(1,2)内xoy12在[0，2]上xoy12二、闭区间上连续函数的性质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用二、闭区间上连续函数的性质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)f(b)<0)，那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ使f(ξ)=0.定理几何意义如果连续曲线弧y=f(x)的两个端点位于x轴的不同侧，那么曲线弧与x轴至少有一个交点.xoyabξ注如果x0使f(x0)=0，则x0称为f(x)的零点.二、闭区间上连续函数的性质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用二、闭区间上连续函数的性质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使f(ξ)=C.定理几何意义连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少相交于一点.推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.二、闭区间上连续函数的性质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）