函数的基本性质课件

第一章集合与函数概念集合与函数概念第一章第一章集合与函数概念集合与函数概念第一章1本章内容1.1集合1.2函数及其表示1.3函数的基本概念第一章小结本章内容1.1集合1.2函数及其表示1.3函数的21.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值(第一课时)1.3.2奇偶性1.3.1单调性与最大(小)值(第二课时)复习与提高1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值(3单调性与最大(小)值1.3.1第一课时函数的单调性返回目录单调性与最大(小)值1.3.1第一课时函数的单调性返回目录41.什么是增函数?什么是减函数?2.增函数区间的图象有什么特点?减函数区间的图象有什么特点?3.什么是函数的单调性?它是怎样定义的?4.怎样证明函数的单调性?学习要点1.什么是增函数?什么是减函数?25问题1.(1)已知函数f(x)=x,取x=-3,-2,-1,0,1,2,3,列表表示这个函数,函数值与自变量的大小变化有什么关系?画出这个函数的图象,观察图象是怎样倾斜的?(2)同样讨论函数g(x)=1-x.图象是左低右高倾斜的.x增大,函数值也增大.(1)xyo123-1-2-3-2-1123-3y=x这个函数是定义域上的增函数.x-3-2-10123y-3-2-10123问题1.(1)已知函数f(x)=x6图象是左高右低倾斜的.x增大,函数值减小.(2)xyo123-1-2-3-2-1123y=1-x这个函数是定义域上的减函数.问题1.(1)已知函数f(x)=x,取x=-3,-2,-1,0,1,2,3,列表表示这个函数,函数值与自变量的大小变化有什么关系?画出这个函数的图象,观察图象是怎样倾斜的?(2)同样讨论函数g(x)=1-x.x-3-2-10123y43210-1-2图象是左高右低倾斜的.x增大,函数值减小.(2)xy7问题2.如图是函数f(x)=x2的图象,(1)当x≤0时,图象是怎样倾斜的?x增大时间,函数值是增大还是减小?如果取x1<x2≤0,f(x1)与f(x2)哪个大?(2)当x>0呢?xyo(1)当x≤0时,图象左高右低.自变量x增大时,函数值f(x)减小.x1<x2≤0时,f(x1)f(x2)f(x1)>f(x2).函数f(x)=x2在(-∞,0]上是减函数.(2)当x≥0时,图象左低右高.自变量x增大时,函数值f(x)也增大.x1>x2≥0时,f(x1)>f(x2).函数f(x)=x2在[0,+∞)上是增函数.x1x2x1x2f(x1)f(x2)问题2.如图是函数f(x)=x2的图8一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.函数在某个区间是增函数或减函数的性质叫函数的单调性,这个区间叫函数的单调区间.一般地,设函数f(x)的定义域为9例1.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?xyo12345-1-2-3-4-5-2-1123解:函数的单调区间有[-5,-2),[-2,1).其中[-5,-2),[1,3)[1,3),[3,5].是单调减区间,[-2,1),[3,5]是单调增区间.下面我们观察图象上动点P随x坐标的增大,y坐标的变化情况.例1.如图是定义在区间[-5,5]10请稍候请稍候11练习:(32页)第1、2、3题.练习:(32页)第1、2、3题.12练习:(32页)

1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.工人数生产效率O解:a工人数在一定范围内时,如在区间(0,a]时,随着工人数的增多生产效率得到提高.当超过了这个范围时,如大于a,随着工人数的增多,生产效率反而下降.练习:(32页)1.请根据下图描述某装132.整个上午(8:00~12:00)天气越来越暖,中午时分(12:00~13:00)一场暴雨使天气骤然凉爽了许多,暴雨过后,天气转暖,直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:00~20:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象,并说出所画函数的单调区间.解:时间气温o8:0012:0013:0018:0020:00图象如下:函数的增区间有[8:00,12:00],[13:00,18:00].函数的减区间有[12:00,13:00],[18:00,20:00].2.整个上午(8:00~12:00)14

3.根据下图说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数.xyo12345-11234567解:函数在区间[-1,0]上是减函数,[0,2]上是增函数,[2,4]上是减函数,[4,5]上是增函数.3.根据下图说出函数的单调区间,以15【函数单调性的证明】在某区间上,若任取x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则f(x)在这区间上是增函数.若任取x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则f(x)在这区间上是减函数.函数单调性的定义,是证明函数单调性的依据.证明单调性的基本步骤:(1)在某区间上任取x1<x2(或x1>x2);(2)计算函数值的差f(x1)-f(x2),看其结果的正负,以判断f(x1)>f(x2),还是f(x1)<f(x2);(3)如果自变量x1与x2的大小顺序与函数值f(x1)与f(x2)的大小顺序相同,则函数在这个区间是增函数;如果顺序相反,则是减函数.【函数单调性的证明】在某区间上,若任取16

例2.物理学中的玻意耳定律(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大.试用函数的单调性证明之.证明:∵气体体积和压强都是正数,V1>V2>0,则在区间(0,+∞)内任取p(V1)-

p(V2)=∵V1>0,V2>0,V2-V1<0,k>0,即p(V1)-

p(V2)<0,得p(V1)<

p(V2),∴函数是区间(0,+∞)上的减函数,则体积V减小时,压强p增大.例2.物理学中的玻意耳定律17例3(课本探究).画出反比例函数的图象.(1)这个函数的定义域I是什么?(2)它在定义域I上的单调性是怎样的?证明你的结论.-11-11xyo22-2-2解:画出函数的图象如图:函数的定义域(1)I

={x|x<0,或x>0}.(2)函数在定义域I内的区间(-∞,0)上是减函数,在区间(0,+∞)上也是减函数.证明:例3(课本探究).画出反比例函数18-11-11xyo22-2-2解:画出函数的图象如图:函数的定义域(1)I

={x|x<0,x>0}.(2)函数在定义域I内的区间(-∞,0)上是减函数,在区间(0,+∞)上也是减函数.证明:例3(课本探究).画出反比例函数的图象.(1)这个函数的定义域I是什么?(2)它在定义域I上的单调性是怎样的?证明你的结论.在区间(-∞,0)上任取x1<x2<0,则x1x2>0,x2-x1>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴函数在(-∞,0)上是减函数.-11-11xyo22-2-2解:画出函数19在区间(0,+∞)上任取x1>x2>0,则x1x2>0,x2-x1<0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴函数在(0,+∞)上也是减函数.-11-11xyo22-2-2解:画出函数的图象如图:函数的定义域(1)I

={x|x<0,x>0}.(2)函数在定义域I内的区间(-∞,0)上是减函数,在区间(0,+∞)上也是减函数.证明:例3(课本探究).画出反比例函数的图象.(1)这个函数的定义域I是什么?(2)它在定义域I上的单调性是怎样的?证明你的结论.在区间(0,+∞)上任取x1>x2>0,则20练习:(课本32页)第4题.练习:(课本32页)第4题.214.证明函数f(x)=-2x+1在R上是减函数.证明:在R上任取x1<x2,f(x1)-f(x2)=(-2x1+1)-(-2x2+1)=2(x2-x1)∵x1<x2,∴x2-x1>0,即f(x1)-f(x2)>0,得f(x1)>f(x2),∴函数f(x)=-2x+1在R上是减函数.练习:(课本32页)4.证明函数f(x)=-2x+1在R上是减函22【课时小结】增函数:x增大时,y也增大,图象左低右高.减函数:x增大时,y减小,图象左高右低.在区间D内,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),函数在区间D内单增;当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),函数在区间D内单减.1.

函数的单调性单调性:【课时小结】增函数:x增大时,y也增大,23【课时小结】2.

函数单调性的证明①在区间D内任取x1<x2;②计算f(x1)-f(x2);③判断f(x1)-f(x2)的值的正负;④由③确定f(x1)与f(x2)的大小;⑤与x1<x2对照,如果自变量与函数值的大小一致,则是增函数,否则是减函数.【课时小结】2.函数单调性的证明①在区间D内任取24习题1.3A组第1、2、3、4题.习题1.3A组第1、2、3、4题.251.画出下列函数的图象,并根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上,函数y=f(x)是增函数还是减函数.

(1)

y=x2-5x+5;(2)

y=9-x2.解:(1)xyo1234-1-1123函数是二次函数,其图象是开口向上的抛物线,顶点两对称点(1,1),(4,1).函数在上是减函数,在上是增函数.习题1.3A组1.画出下列函数的图象,并根据图象261.画出下列函数的图象,并根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上,函数y=f(x)是增函数还是减函数.

(1)

y=x2-5x+5;(2)

y=9-x2.解:(2)函数也是二次函数,其图象是开口向下的抛物线,顶点两对称点(-3,0),(3,0).函数在(-∞,0]上是增函数,在[0,+∞)上是减函数.(0,9).xyo231-1123-2-3456789···习题1.3A组1.画出下列函数的图象,并根据图象272.证明:(1)函数f(x)=x2+1在(-∞,0)上是减函数;(2)函数f(x)=1-在(-∞,0)上是增函数.证明:(1)任取x1<x2<0,f(x1)-

f(x2)=(x12+1)-(x22+1)=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2),∵x1<x2<0,∴x1+x2<0,x1-x2<0,则(x1+x2)(x1-x2)>0,得f(x1)>

f(x2),∴函数f(x)=x2+1在(-∞,0)上是减函数.2.证明:证明:(1)任取x1<x2<0,f(x1)282.证明:(1)函数f(x)=x2+1在(-∞,0)上是减函数;(2)函数f(x)=1-在(-∞,0)上是增函数.证明:(2)任取x1<x2<0,f(x1)-

f(x2)=∵x1<x2<0,∴x1x2>0,x1-x2<0,得f(x1)<

f(x2),则∴函数在(-∞,0)上是增函数.2.证明:证明:(2)任取x1<x2<0,f(x1)293.探究一次函数y=mx+b(xR)的单调性,并证明你的结论.解:当m<0时,函数y=mx+b在R上是减函数.在R上任取x1<x2,f(x1)-f(x2)=(mx1+b)-(mx2+b)=m(x1-x2),∵x1<x2,

x1-x2<0,即得f(x1)>f(x2),∴

m(x1-x2)>0,又m<0,∴当m<0时,函数y=

mx+b在R上是减函数.3.探究一次函数y=mx+b(x303.探究一次函数y=mx+b(xR)的单调性,并证明你的结论.解:当m>0时,函数y=mx+b在R上是增函数.在R上任取x1<x2,f(x1)-f(x2)=(mx1+b)-(mx2+b)=m(x1-x2),∵x1<x2,

x1-x2<0,即得f(x1)<f(x2),∴

m(x1-x2)<0,又m>0,∴当m>0时,函数y=

mx+b在R上是增函数.3.探究一次函数y=mx+b(x314.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢,之后随着药力的减退,心率再次慢慢升高.画出自服药那一刻起,心率关于时间的一个可能的图象(示意图).解:时间(h)心率o4其图象如下:4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立32单调性与最大(小)值1.3.1第二课时函数的最大(小)值返回目录单调性与最大(小)值1.3.1第二课时函数的最大(小)值返回331.什么是函数的最大值和最小值?2.怎样求函数的最大值和最小值?学习要点1.什么是函数的最大值和最小值?2.怎样求函数的最大34问题2.画出函数f(x)=x2的图象,观察图象,是否存在一个自变量x0,对定义域内任意x,使f(x)≥f(x0)或f(x)≤f(x0)?若存在,x0是多少?f(x0)是多少?xyoy=x2图象在x轴的上方,向上无限延伸,最低点是原点.不存在一个x0,使定义域内这时f(0)=0是最小值.存在一个x0=0,使定义域内的任意x,都有f(x)≤f(x0).的任意x,都有f(x)≥f(0)=0.问题2.画出函数f(x)=x2的图象35一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x

I,都有f(x)≤M;(2)存在x0

I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值.如果存在实数M满足:(1)对于任意的x

I,都有f(x)≥M;(2)存在x0

I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值.一般地,设函数y=f(x)的定义域36例题(补充).如图是函数y=f(x)的图象,其定义域为[-p,p],x0为何值时,有f(x)≥f(x0),或f(x)≤f(x0)?函数的最大值是多少?最小值是多少?xyo-pp-11解:当时,f(x)≥f(x0),这时函数取得最小值当时,f(x)≤f(x0),这时函数取得最大值(1)(2)例题(补充).如图是函数y=f(x)37

例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时一般是期望在它达到最高点(大约是在距地面高度25m到30m处)时爆裂.如果在距地面高度18m的地方点火,并且烟花冲出的速度是14.7m/s.(1)写出烟花距地面的高度与时间之间的关系式.(2)烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)?解:(1)设烟花冲出ts时距地面的高度为hm,由上抛物体的运动原理知例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,38

例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时一般是期望在它达到最高点(大约是在距地面高度25m到30m处)时爆裂.如果在距地面高度18m的地方点火,并且烟花冲出的速度是14.7m/s.(1)写出烟花距地面的高度与时间之间的关系式.(2)烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)?解:(2)由(1)得这是一个二次函数,其图象开口向下,顶点为最高点.当h(t)取得最大值为=1.5时,≈29(m).答:烟花冲出1.5秒时爆裂最佳,此时距地面约29米.例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,39例4.求函数在区间[2,6]上的最大值和最小值.xyO1234560.51.52.512分析:由函数图象可知,是[2,6]上的减函数,当x=2最小时,函数值最大,当x=6最大时,函数值最小.例4.求函数40例4.求函数在区间[2,6]上的最大值和最小值.xyO1234560.51.52.512解:在区间[2,6]上任取2≤x1<x2≤6,∵2≤x1<x2≤6,∴x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0,则

f(x1)>f(x2),∴函数是[2,6]上的减函数,则x=2时取得最大值f(2)=2;x=6时取得最小值f(6)=0.4.求最值时,要注意闭区间的端点值.例4.求函数41练习:(课本32页)第5题.习题1.3A组第5题.练习:(课本32页)第5题.习题1.3A组第542练习:(课本32页)

5.设f(x)是定义在区间[-6,11]上的函数,如果f(x)在区间[-6,-2]上递减,在区间[-2,11]上递增,画出f(x)的一个大致的图象,从图象上可以发现f(-2)是函数f(x)的一个

.xyo-6-211最小值解:函数在[-6,-2]上递减,图象左高右低;在[-2,11]上递增,图象左低右高.练习:(课本32页)5.设f(x)43习题1.3A组

5.某汽车租赁公司的月收益y元与每辆车的月租金x元间的关系为那么,每辆车的月租金多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?解:收入函数是二次函数,二次项系数为负,=4050,图象开口向下,对称轴是xyo4050图象如图所示.即每辆车的月租金为4050元时,公司月收益最大,最大月收益是=307050(元).(答略)习题1.3A组5.某汽车租赁公司的月44【课时小结】函数的最值(1)在定义域内,

若f(x)≤f(x0)=M,在x0处取得最大值M;若f(x)≥f(x0)=M,在x0处取得最小值M;(2)最大值处,图象是最高点;(3)在闭区间上求最大值和最小值时,要注意端点.最小值处,图象是最低点.【课时小结】函数的最值(1)在定义域内,45习题1.3B组第1、2题.习题1.3B组第1、2题.46B组1.已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=x2-2x(x[2,4]).

(1)求f(x),g(x)的单调区间;

(2)求f(x),g(x)的最小值.解:(1)任取x1<x2,f(x1)-f(x2)=(x12-2x1)-(x22-2x2)=(x12-x22)-2(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2-2).当x1<x2<1时,(x1-x2)(x1+x2-2)>0,此时f(x1)>f(x2),得f(x)在(-∞,1]上是减函数.当1<x1<x2时,(x1-x2)(x1+x2-2)<0,得f(x1)<f(x2),函数f(x)在[1,+∞)上是增函数.于是得g(x)在[2,4]上是增函数.B组1.已知函数f(x)=x2-2x,g(x)47B组1.已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=x2-2x(x[2,4]).

(1)求f(x),g(x)的单调区间;

(2)求f(x),g(x)的最小值.解:(1)其实,f(x)是二次函数,开口向上,对称轴方程是x=1,(如图).xyo124(2)f(x)的最小值是f(1)=12-21=-1.g(x)的最小值是g(2)=22-22=0.B组1.已知函数f(x)=x2-2x,g(x)482.如图所示,动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室,如果可供建造围墙的材料总长是30m,那么宽x(单位:m)为多少才能使所建造的熊猫居室面积最大?熊猫居室的最大面积是多少?x解:熊猫居室的长为由图得每个(30-3x)÷2=15-1.5x,∴面积S

=(15-1.5x)x=-1.5x2+15x,根据二次函数的性质,当时,即x=5时,面积S最大,最大面积为S最大=-1.5

52+155=37.5(m2).(答略)(0<x<10).2.如图所示,动物园要建造一面靠墙492.如图所示,动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室,如果可供建造围墙的材料总长是30m,那么宽x(单位:m)为多少才能使所建造的熊猫居室面积最大?熊猫居室的最大面积是多少?x解:熊猫居室的长为由图得每个(30-3x)÷2=15-1.5x,∴面积S

=(15-1.5x)x=-1.5x2+15x,或配方为,当x=5时,面积S最大,最大面积为S最大=37.5(m2).(答略)(0<x<10).S

=-1.5(x-5)2+37.52.如图所示,动物园要建造一面靠墙501.3.2奇偶性奇偶性返回目录1.3.2奇偶性奇偶性返回目录51学习要点1.什么是偶函数,它的图象有什么特点?2.什么是奇函数,它的图象有什么特点?3.怎样判断函数的奇偶性?学习要点1.什么是偶函数,它的图象有什么特点?2.52问题1.观察下面两个图象.(1)各图象有什么样的对称性?(2)各函数中,自变量取一对相反数时,函数值是什么关系?即f(x)与f(-x)有什么关系?xyo1-12-22313-3f(x)=x2xyo1-12-22313-3f(x)=|x|(1)两图象都关于y轴对称.(2)第一个函数f(x)=x2,f(1)=f(-1)=1,f(2)=f(-2)=4,f(3)=f(-3)=9,……第二个函数f(x)=|x|,f(1)=f(-1)=1,f(2)=f(-2)=2,f(3)=f(-3)=3,……问题1.观察下面两个图象.(1)53问题1.观察下面两个图象.(1)各图象有什么样的对称性?(2)各函数中,自变量取一对相反数时,函数值是什么关系?即f(x)与f(-x)有什么关系?xyo1-12-22313-3f(x)=x2xyo1-12-22313-3f(x)=|x|(1)两图象都关于y轴对称.(2)第一个函数f(x)=x2,f(1)=f(-1)=1,f(2)=f(-2)=4,f(3)=f(-3)=9,……第二个函数f(x)=|x|,f(1)=f(-1)=1,f(2)=f(-2)=2,f(3)=f(-3)=3,……自变量取一对相反数时,函数值相同,即f(-x)=

f(x).问题1.观察下面两个图象.(1)54

定义:如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.偶函数的图象关于y轴对称.如:问题1中,f(x)=x2,f(-x)=(-x)2=x2,得f(-x)=f(x),∴f(x)=x2是偶函数.同样,f(x)=|x|,f(-x)=|-x|=|x|,得f(-x)=f(x),∴f(x)=|x|也是偶函数.定义:如果对于函数f(x)的定义域内55问题2.观察下面两个图象.(1)图象有什么样的对称性?(2)各函数中,自变量取一对相反数时,函数值是什么关系?即f(x)与f(-x)有什么关系?(1)两图象都关于原点对称.(2)第一个函数f(x)=x,f(1)=1,f(-1)=-1,f(2)=2,…………xyo1-13-313-3f(x)=xxyo1-13-313-3f(-2)=-2,第二个函数f(1)=1,f(-1)=-1,问题2.观察下面两个图象.(1)56问题2.观察下面两个图象.(1)图象有什么样的对称性?(2)各函数中,自变量取一对相反数时,函数值是什么关系?即f(x)与f(-x)有什么关系?(1)两图象都关于原点对称.(2)第一个函数f(x)=x,f(1)=1,f(-1)=-1,f(2)=2,…………xyo1-13-313-3f(x)=xxyo1-13-313-3f(-2)=-2,第二个函数f(1)=1,f(-1)=-1,自变量取一对相反数时,函数值也互为相反数,即f(-x)=-f(x).问题2.观察下面两个图象.(1)57

定义:如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点对称.如:问题2中,f(x)=x,f(-x)=-x,得f(-x)=-f(x),∴f(x)=x是奇函数.得f(-x)=-f(x),同样,也是奇函数.定义:如果对于函数f(x)的定义域内58例(补充):如图是函数y=f(x)的图象的一部分,根据下列条件,画出函数的另一部分.

(1)函数是奇函数;(2)函数是偶函数.xyO解:(1)奇函数的图象关于原点对称.xyO(2)偶函数的图象关于y轴对称.xyO例(补充):如图是函数y=f(x)59问题3.奇函数的图象是否过原点,你能举例说明吗?不一定.如:=-f(x),其图象不过原点,如图:xyo1-13-313-3但如果奇函数的定义域为R时,一定有f(0)=0,你知道为什么吗?这时图象就一定过原点.问题3.奇函数的图象是否过原点,你60例5.判断下列函数的奇偶性:

(1)

f(x)=x4;(2)

f(x)=x5;(3)

(4)解:(1)∵f(x)=x4,其定义域为R,f(-x)=(-x)4=x4=f(x),∴f(x)=x4是偶函数.(2)∵f(x)=x5,其定义域为R,f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),∴f(x)=x5是奇函数.则对任意x都有则R内任意x都有例5.判断下列函数的奇偶性:解:(1)∵f(x)=61例5.判断下列函数的奇偶性:

(1)

f(x)=x4;(2)

f(x)=x5;(3)

(4)解:(3)=-f(x),其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),是奇函数.在定义域内的任意x都有(4)=f(x),其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),是偶函数.在定义域内的任意x都有例5.判断下列函数的奇偶性:解:(3)=-f(x),62练习:(课本36页)第1、2题.练习:(课本36页)第1、2题.63解:(1)f(x)=2x4+3x2的定义域是(-∞,+∞),在其定义域内的任意x都有f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2=

f(x),∴f(x)=2x4+3x2是偶函数.练习:(课本36页)1.判断下列函数的奇偶性:(1)

f(x)=2x4+3x2;(2)

f(x)=x3-2x;(3)(4)f(x)=x2+1.解:(1)f(x)=2x4+3x2的定义域是(-∞,+∞64f(x)=x3-2x的定义域是(-∞,+∞),在其定义域内的任意x都有f(-x)=(-x)3-2(-x)=-x3+2x=

-f(x),∴f(x)=x3-2x是奇函数.=-(x3-2x)练习:(课本36页)1.判断下列函数的奇偶性:(1)

f(x)=2x4+3x2;(2)

f(x)=x3-2x;(3)(4)f(x)=x2+1.解:(2)f(x)=x3-2x的定义域是(-∞,+∞),在其定义65在其定义域内都有练习:(课本36页)1.判断下列函数的奇偶性:(1)

f(x)=2x4+3x2;(2)

f(x)=x3-2x;(3)(4)f(x)=x2+1.解:(3)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),=-f(x),∴f(x)是奇函数.在其定义域内都有练习:(课本36页)1.判断下列函数的66f(x)=x2+1的定义域是(-∞,+∞),在其定义域内的任意x都有f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),∴f(x)=x2+1

是偶函数.练习:(课本36页)1.判断下列函数的奇偶性:(1)

f(x)=2x4+3x2;(2)

f(x)=x3-2x;(3)(4)f(x)=x2+1.解:(4)f(x)=x2+1的定义域是(-∞,+∞),在其定义域672.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,试将下图补充完整.xyOxyOf(x)g(x)解:f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,如图.g(x)是奇函数,其图象关于原点对称,如图.2.已知f(x)是偶函数,g(68【课时小结】若定义域内任一x都有f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数.1.

函数的奇偶性偶函数:若定义域内任一x都有f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数.奇函数:【课时小结】若定义域内任一x都有f(-69【课时小结】2.

奇偶函数的图象特点偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.奇函数的定义域为R时,图象过原点.【课时小结】2.奇偶函数的图象特点偶函数的图象关于y70【课时小结】3.

奇偶函数的判定(1)由代数定义判定:计算f(-x)与f(x)比较符号.(2)由图象判定:看图象的对称性.【课时小结】3.奇偶函数的判定(1)由代数定义判定:71习题1.3A组第6题.B组第3题.习题1.3A组第6题.B组第3题.726.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=

x(1+x).画出函数f(x)的图象,并求出函数的解析式.解:则x<0的部份如图.f(x)=

x(1+x)=x2+x是二次函数,x≥0的部份如图.奇函数的图象关于原点对称,习题1.3A组xyO6.已知函数f(x)是定义在R上的奇736.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=

x(1+x).画出函数f(x)的图象,并求出函数的解析式.解:习题1.3A组xyO∵f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=

x(1+x),当x<0时,

-x>0,则f(-x)=

-x(1-x),∴f(-x)=-f(x),则-f(x)=

-x(1-x),得f(x)=

x(1-x).即6.已知函数f(x)是定义在R上的奇743.已知函数f(x)是偶函数,而且在(0,+∞)上是减函数,判断f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数并证明你的判断.解:于是得f(x)在(-∞,0)上xyOf(x)是偶函数,图象关于f(x)在(0,+∞)上是减函数,这部分的图象左高右低.B组y轴对称.是增函数.3.已知函数f(x)是偶函数,753.已知函数f(x)是偶函数,而且在(0,+∞)上是减函数,判断f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数并证明你的判断.证明:xyO在(-∞,0)上任取x1<x2<0,则-x1>-x2>0.而f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴f(-x1)<f(-x2).又f(x)是偶函数,B组即f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),∴f(x1)<f(x2).∵x1<x2<0,∴f(x)在(-∞,0)上是增函数.3.已知函数f(x)是偶函数,76复习与提高返回目录复习与提高返回目录77知识要点1.

函数的单调性(1)图象特点:增函数区间,左低右高;减函数区间,左高右低.(2)代数定义:在区间D内,任意x1<x2都有f(x1)<f(x2),增函数;任意x1<x2都有f(x1)>f(x2),减函数.知识要点1.函数的单调性(1)图象特点:(2)78知识要点2.

最大值与最小值(1)图象特点:最大值,定义域内的最高点;最小值,定义域内的最低点.(2)代数定义:若f(x)≤f(x0),则在x0处取得最大值f(x0);若f(x)≥f(x0),则在x0处取得最小值f(x0).(3)在闭区间内求最值,要注意比较端点值.知识要点2.最大值与最小值(1)图象特点:(2)79知识要点3.

函数的奇偶性偶函数:定义域内任一x,f(-x)=f(x).偶函数的图象关于y轴对称.奇函数:定义域内任一x,f(-x)=-f(x).奇函数的图象关于原点对称.奇函数的定义域为R时,图象过原点.知识要点3.函数的奇偶性偶函数:奇函数:80

例1.已知函数y=f(x)在R上是减函数,求满足不等式f(x-2)<f(3x+2)的x的取值范围.因为f(x)在R上是减函数.解:则函数值小时,自变量大.∴由f(x-2)<f(3x+2)得x-2>3x+2,解得x<-2.即x的取值范围是(-∞,-2).例题选讲例1.已知函数y=f(x)在R上81例2.

求函数的单调区间.解:设x1<x2,f(x1)-f(x2)=x1,x2不能为-2,且应在同一个单调区间,取x1<x2<-2,则x2-x1>0,x1+2<0,x2+2<0,得f(x1)>f(x2),∴函数在(-∞,-2)上是减函数.例2.求函数的单调区间.解82例2.

求函数的单调区间.解:设x1<x2,f(x1)-f(x2)=x1,x2不能为-2,且应在同一个单调区间,取x1>x2>-2,则x2-x1<0,x1+2>0,x2+2>0,得f(x1)<f(x2),∴函数在(-2,+∞)上也是减函数.即函数在区间(-∞,-2)和区域(-2,+∞)上分别都是减函数.例2.求函数的单调区间.解83例3.

若函数为奇函数,求a的值.解:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),得(-2x+1)(-x-a)=(2x+1)(x-a),解得例3.若函数84

例4.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)等于()(A)3(B)1(C)-1(D)-3解:∵f(x)是R上的奇函数,又f(-1)=-f(1)=-(21+21-1)=-3.∴f(0)=0,即有f(0)=20+20+b=0,得b=-1,D例4.设f(x)为定义在R上的奇85

例5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且在[1,+∞)上是增函数,则下列结论中:①f(x)在(-∞,1]上是增函数;②f(x)在(-∞,-1]上是增函数;③f(x)在(-∞,0)上是增函数;④f(0)=0.其中一定成立的有

.分析:f(x)在[1,+∞)上是增函数,如图:xyO1又是在R上的奇函数,图象关于原点对称,如图:①不一定,如图:②肯定对.③不对.④是对的.②④例5.已知f(x)是定义在R上的86补充练习共10题补充练习共10题87

1.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)等于()(A)-3(B)-1(C)1(D)3

2.若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则()(A)f(x)与g(x)均为偶函数(B)f(x)为偶函数,g(x)为奇函数(C)f(x)与g(x)均为奇函数(D)f(x)为偶函数,g(x)为奇函数

3.已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=

.4.若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=

.

5.若函数y=f(x)在x=2时取得最小值-1,则函数y=f(x-1)-2在何处取得最值?是最大值还是最小值?是多少?6.已知函数y=f(x)是R上的偶函数,在[0,+∞)上是减函数,且f(0)=0,则函数f(x)有最

值是

.7.已知函数y=f(x)是R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-3x,则当x<0时,f(x)=

.8.下列函数中,既是奇函数,又是增函数的是()(A)y=x+1(B)y=-x2(C)(D)y=x|x|

9.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足的x的取值范围是()(A)(B)(C)(D)

10.若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a=

.1.设f(x)是定义在R上的奇函88

1.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)等于()(A)-3(B)-1(C)1(D)3解:∵f(x)是R上的奇函数,∴f(1)=-f(-1)=-[2(-1)2-(-1)]=