定积分复习市公开课一等奖课件省赛课获奖课件

第九章定积分复习§1定积分概念§2牛顿-莱布尼茨公式§3可积条件§4定积分性质§5(一)微积分学基本定理§5(二)定积分计算1/33§1定积分概念一、问题提出二、定积分定义2/33就随之而确定；可用来反应[a,b]被分割细密程度.具有同一细度

分割T一旦给出，因此分割T却有没有限多种.

二、定积分定义定义1设闭区间[a,b]内有n-1个点，依次为它们把[a,b]提成n个小区间△i=[xi-1,xi],i=1,2,…，n.这些分点或这些闭子区间组成对[a,b]一种分割，记为小区间△xi长度为△xi=xi-xi-1,并记称为分割T模.注由于另外，不过，3/33对于[a,b]一种分割又与所选用点集任取点有关.定义2

设f是定义在[a,b]上一种函数.i=1,2,…,n,并作和式称此和式为函数f在[a,b]上一种积分和，也称黎曼和.注显然，积分和既与分割T有关，4/33

J是一种确定实数.使得对[a,b]任何分割T，，只要以及在其上任意选用点集，总存在某一正数若对任给正数数J称为f在[a,b]上定积分或黎曼积分，a,b分别称为这个定积分下限和上限.定义3设f是定义在[a,b]一种函数，，就有则称函数f在区间[a,b]上可积或黎曼可积；记作（3）其中，f称为被积函数，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间，5/33与

差异

是全体原函数是函数

是一种和式极限是一种确定常数

注：6/33定积分几何意义.当f(x)≥0，定积分几何意义就是曲线y=f(x)直线x=a，x=b，y=0所围成曲边梯形面积bAoxyay=f(x)S注67/33当函数f(x)

0，x

[a,b]时

定积分就是位于x轴下方曲边梯形面积相反数.即oxyaby=f(x)S8/33几何意义：9/33通过求积分和极限来计算定积分一般是很困难.§2牛顿-莱布尼茨公式

从上节例题和习题看到，下面牛顿——菜布尼茨公式不但为定积分计算提供了一种有效办法，并且在理论上把定积分与不定积分联系起来.10/33定理9.1(牛顿—莱布尼茨公式)函数f在[a,b]上满足条件:(i)f在[a,b]上连续,(ii)f在[a,b]上有原函数F,则(1)f在[a,b]上可积;11/33本定理条件中对F假设便是多出了.（更一般情形参见本节习题第3题.）在（a,b）内可导，

注1

在应用牛顿一菜布尼茨公式时，F(x)可由积分法求得.注2定理条件可合适削弱，例如：1）对F要求可削弱为：在[a,b]上连续，且这不影响定理证明.2）对f要求可削弱为：在[a,b]上可积（不一定连续）.

这时(2)式仍成立，且由f在[a,b]上可积，(2)式右边当时极限就是而左边恒为一常数.注3至§5证得连续函数必有原函数之后，12/33要鉴别一种函数是否可积，则f在[a,b]上肯定有界.§3可积条件从定理9.1及其后注中看到，必须研究可积条件.一可积必要条件定理9.2若函数f在[a,b]上可积,有界函数却不一定可积.注

这个定理指出,任何可积函数一定是有界;13/33而不包括定积分值.下面即将给出可积准则只与被积函数本身有关,但由于积分和复杂性和那个常数不易预知,直接考查积分和是否能无限接近某一常数,二可积充要条件要判断一种函数是否可积,当然能够根据定义,因此这是极困难.14/33由f在[a,b]上有界,表达对应于分法T积分和，(或称达布上和与达布下和,统称达布和).任给作和设为对[a,b]任一分割.它在每个上存在上、下确界:有关达布和性质详细讨论补述于§6.分别称为f有关分割T上和与下和

显然有用积分和是数集(多值).且15/33函数f在[a,b]上可积充要条件是：这里从略(完整证明补述于§6).可积充要条件定理9.3

(可积准则)

任给总存在对应一种分割T,使得(2)本定理证明依赖上和与下和性质详尽讨论,16/33有必要时也记为设称为f在△i上振幅，由于因此可积准则又可改述如下:定理函数f在[a,b]上可积充要条件是:任给总存在对应某一分割T,使得17/33则图9-7中包围曲线y=f(x)一系列小矩形面积之和能够达成任意小，几何意义是：只要分割充足地细；反之亦然．就有

注１下列两种说法等价（见习题）(1)任给总存在在对应某一分割T,使得

(2)

任给对任意分割T,只要注２不等式（2）或若f在[a,b]上可积，18/33我们证明下面某些类型函数是可积（即可积充足条件）．三可积函数类根据可积充要条件，定理9.4若f为[a,b]上连续函数,则f在[a,b]上可积.若f是区间[a,b]上只有有限个间断点有界函数，定理9.5则f在[a,b]上可积.则f在[a,b]上可积.定理9.6若f是[a,b]上单调函数，单调函数虽然有没有限多种间断点，仍不失其可积性.

注

19/33§4定积分性质一、定积分基本性质本节将讨论定积分性质,包括定积分线性性质、乘积可积性、有关积分区间可加性、积分不等性、绝对可积性与积分中值定理,这些性质为定积分研究和计算提供了新工具.二、积分中值定理20/33一、定积分基本性质性质1

若f在[a,b]上可积，k为常数，则kf在[a,b]上也可积，且（1）性质2

可积,且

合起来即为

注1性质１与性质２是定积分线性性质，其中、为常数.（线性性质）

21/33性质３若f﹑g都在［a,b］上可积，则f·g在［a,b］上也可积.(乘积可积性)

注在一般情形下f在[a,c]与[c,b]上都可积，此时又有等式

性质4

f在[a,b]上可积充要条件是：任给，

（3）（区间可加性）22/33大小次序都能成立.例如，当a＜b＜c时，只要f在时才故意义,而当a=b或a＞b时本来是没故意义.但为了利用上方便,对它作如下要求:有了这个要求之后，等式（3）对于a、b、c任何[a，c]上可积，则有按定积分定义,记号只有当a＜b要求1当a=b时，令要求2当a＞b时,令23/33则性质5设f为[a,b]上可积函数.若（4）推论（积分不等式性）若f与g为[a，b]上两个可积函数，且，则有（5）性质6若f在[a，b]上可积，则在[a，b]上也可积，且（6）（绝对可积性）

24/33二、积分中值定理定理9.7（积分第一中值定理）则最少存在一点，使得（7）若f在[a,b]上连续，定理9.8（推广积分第一中值定理）若f与g都在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则最少存在一点ξ∈[a,b]，使得（当g(x)=1时，即为定理9.7.）（8）25/33§5微积分学基本定理.定积分计算(续)

一、变限积分与原函数存在性

本节将介绍微积分学基本定理,并用以证明连续函数原函数存在性.在此基础上又可导出定积分换元积分法与分部积分法.三、泰勒公式积分型余项二、换元积分法与分部积分法26/33当函数可积性问题告一段落,并对定积分性质有了足够结识之后,§5(一)微积分学基本定理接着要来处理一种此前数次提到过问题——在定积分形式下证明连续函数肯定存在原函数.一、变限积分与原函数存在性设f在[a,b]上可积,根据定积分性质4,对任何x∈(a,b),

f在[a,x]上也可积.于是,由(1)定义了一种以积分上限x为自变量函数,称为变上限定积分.27/33(例如)以免与积分上、下限x相混同.与ψ统称为变限积分.类似地,又可定义变下限定积分:(2)注在变限积分(1)与(2)中,不可再把积分变量写成x形式变限积分