2022-2023学年宁夏银川重点中学九年级下期中数学试卷含解析

第第页2022-2023学年宁夏银川重点中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）2022-2023学年宁夏银川重点中学九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.的相反数是()

A.B.C.D.

2.同种液体，压强随着深度增加而增大．深处海水的压强为，数据用科学记数法表示为()

A.B.C.D.

3.一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是()

A.

B.

C.

D.

4.将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中与互为余角的是()

A.B.

C.D.

5.商场将进货价为元件的某种商品以元件出售时每天能卖出件，若每降价元，则每天可多卖出件，若降价元，每天盈利元，则可列方程为()

A.B.

C.D.

6.实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是()

A.B.C.D.

7.甲、乙两人分别从，两地相向而行，他们距地的距离与时间的关系如图所示，下列说法错误的是()

A.甲的速度是B.甲出发小时后与乙相遇

C.乙的速度是D.乙比甲晚出发小时

8.在同一直角坐标系中，函数和函数是常数，且的图象可能是()

A.B.

C.D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.因式分解．

10.计算：______．

11.如图，点，，，在同一条直线上，，若使∽，则还需添加一个条件是______只需填一个

12.如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，把沿轴向右平移得到，如果点的坐标为，则点的坐标为．

13.已知一元二次方程的两根、，则______．

14.如图，为的直径，，为上两点，若，则的大小为______．

15.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形其中的一个锐角为，一枚飞镖任意掷到如图所示的纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率为______．

16.如图，校园内有一株枯死的大树，距树米处有一栋教学楼，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶处，测得点的仰角为，点的俯角为小青计算后得到如下结论：米；米；若直接从点处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响；若第一次在距点的米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害．其中正确的是______填写序号，参考数值：，

三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．

以为位似中心，将在第二象限内放大倍得到；

将绕点顺时针旋转得到，请画出，并求出点经过的路径长．

18.本小题分

解不等式组．

19.本小题分

先化简，再求值：，其中，．

20.本小题分

为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如所示两幅不完整的统计图：

根据以上信息，解答下列问题：

参与此次抽样调查的学生人数是______人，补全统计图要求在条形图上方注明人数；

图中扇形的圆心角度数为______度；

计划在，，，，五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中，这两项活动的概率．

21.本小题分

如图，在中，．

用尺规作图作的垂直平分线，交于点，交于点；

延长到，使，连接，求证：四边形是平行四边形．

22.本小题分

某图书馆计划选购甲、乙两种图书已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的倍，用元单独购买甲图书比用元单独购买乙图书要少本．

甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？

如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的倍多本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过元，那么该图书馆最多可以购买多少本甲图书？

23.本小题分

如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点．

求证：与相切；

若，，试求的长．

24.本小题分

现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为．

求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点、处分别安装照明灯．已知点、到的距离均为，求点、的坐标．

25.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、．

求一次函数和反比例函数的表达式；

求面积的最大值．

26.本小题分

综合与实践

我们知道，三角形是初中几何学习的基本图形之一，在总复习三角形相关知识的时候，王老师启发学生将三角形的中线和中位线综合到一起做了专题探究，下面是某两个小组的探究内容．

知识储备

由三角形中位线的性质可知，三角形中位线不仅包括了位置关系，也包括了数量关系，是平行线分线段成比例的特例，也是相似三角形的典型模型之一．

知识应用

如图，在中，是边的中点，过点作交于点，当时，______．

问题探究

兴趣小组在探究学习时，在中，作出中线，，与交于点，如图，根据中位线的性质，得到请同学们结合所学证明这一结论．

兴趣小组在探究三角形中的线段时，他们将图形做了如下改动，如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，则一定有请结合所学证明这一结论．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数为．

故选：．

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．

本题主要考查相反数，关键是掌握相反数的定义．

2.【答案】

【解析】解：．

故选：．

科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

3.【答案】

【解析】解：从上面看，是一个矩形．

故选：．

找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．

本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．

4.【答案】

【解析】解：、与不互余，故本选项错误；

B、与不互余，故本选项错误；

C、与不互余，故本选项错误；

D、与互余，故本选项正确．

故选：．

根据图形，结合互余的定义判断即可．

本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．

5.【答案】

【解析】解：若降价元，则每件盈利元，每天可售出件，

根据题意得：．

故选：．

若降价元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售该商品获得的总利润每件的销售利润日销售量，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

6.【答案】

【解析】解：由图可知：，，

．

故选：．

直接利用数轴上，的位置，进而得出，，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．

此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．

7.【答案】

【解析】解：由图象可得，

甲的速度为：，故选项A正确，不符合题意；

甲出发小时后与乙相遇，故选项B正确，不符合题意；

乙的速度为：，故选项C错误，符合题意；

乙比甲晚出发小时，故选项D正确，不符合题意；

故选：．

根据函数图象中的数据，可以计算出各个选项中的结论是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意．

本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

8.【答案】

【解析】解：由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，对称轴为，则对称轴应在轴右侧，与图象不符，故A选项错误；

B.由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，与图象不符，故B选项错误；

C.由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为，则对称轴应在轴左侧，与图象不符，故C选项错误；

D.由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，对称轴为，则对称轴应在轴右侧，与图象相符，故D选项正确．

故选：．

根据各个选项先根据一次函数图象得到的范围，再通过判断二次函数的开口方向和对称轴即可求解．

本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．

9.【答案】

【解析】

【分析】

此题主要考查了提取公因式和公式法分解因式，解本题的关键是提取公因式．

先提取，然后用完全平方公式分解即可．

【解答】

解：，

故答案为：．

10.【答案】

【解析】解：原式

．

故答案为：．

直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．

此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．

11.【答案】，

【解析】解：需要添加：或根据两角对应相等两三角形相似证明即可．

故答案为：，．

根据两角对应相等两三角形相似判断即可．

本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．

12.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

利用平移的性质解决问题即可．

【解答】

解：，，

点向右平移个单位得到，

，

点向右平移个单位得到，

故答案为．

13.【答案】

【解析】解：一元二次方程的两根、，

，，

故答案为：．

由一元二次方程的两根、可得，，代入可得结果．

本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，关键是熟练掌握，是一元二次方程的两根时，，．

14.【答案】

【解析】解：连接，如图，

为的直径，

，

，

．

故答案为．

连接，如图，先利用圆周角定理得到，则利用互余计算出，然后再利用圆周角定理得到的度数．

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．

15.【答案】

【解析】解：直角三角形其中的一个锐角为，

设角对的直角边是，则斜边即大正方形的边长为，另一直角边为，小正方形边长为，

，，

，

飞镖落在阴影区域的概率为．

故答案为：．

针尖落在阴影区域的概率就是四个直角三角形的面积之和与大正方形面积的比．

此题主要考查了几何概率，含度角的直角三角形，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．

16.【答案】

【解析】解：过点作，垂足为，

则，米，

在中，，

米，

米，

米，

故不正确；

在中，米，

米，

故正确；

米，

，

若直接从点处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响，

故正确；

米，

米米，

若第一次在距点的米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害，

故正确；

小青计算后得到如上结论，其中正确的是：，

故答案为：．

过点作，垂足为，则，米，在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，即可判断；

再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可判断；通过比较与的长，即可判断，计算出的值，再和的长比较，即可判断．

本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．

17.【答案】解：如图所示：即为所求；

如图所示：即为所求，

点经过的路径长为：

【解析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案；

直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而利用弧长公式得出答案．

此题主要考查了旋转变换以及位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．

18.【答案】解：，

解不等式得：，

解不等式得：，

不等式组的解集为．

【解析】分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组解集的确定方法确定出不等式组的解集即可．

本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法以及解集的确定方法是解题的关键，不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．

19.【答案】解：

，

当，时，原式

．

【解析】先算括号里，再算括号外，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．

本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．

20.【答案】

【解析】解：调查学生总数为人，

选择“数学园地设计”的有人，

故答案为：，补全统计图如下：

，

故答案为：；

在，，，，五项活动中随机选取两项，所有可能出现的结果如下：

第项第项

共有种可能出现的结果，其中恰好选中，这两项活动的有种，

所以恰好选中，这两项活动的概率为．

从两个统计图中可得样本中选择“七巧板”的有人，占调查人数的，根据频率即可求出答案，进而补全条形统计图；

求出扇形所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；

用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可．

本题考查扇形统计图、条形统计图，列表法或树状图法求简单随机事件的概率，理解条形统计图、扇形统计图中数量之间的关系以及列举出所有可能出现的结果是正确解答的前提．

21.【答案】解：如图，为所作；

证明：垂直平分，

，，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

四边形是平行四边形．

【解析】利用基本作图作的垂直平分线即可；

先根据题意画出几何图形，再根据线段垂直平分线的性质得到，，则，所以根据平行线的性质得到，接着证明，，则利用三角形内角和定理得到，所以，然后利用可判断四边形是平行四边形．

本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的判定．

22.【答案】解：设乙图书每本价格为元，则甲图书每本价格是元，

根据题意可得：，

解得：，

经检验得：是原方程的根，

则，

答：乙图书每本价格为元，则甲图书每本价格是元；

设购买甲图书本数为，则购买乙图书的本数为：，

故，

解得：，

答：该图书馆最多可以购买本甲图书．

【解析】利用元单独购买甲图书比用元单独购买乙图书要少本得出等式求出答案；

根据题意表示出购买甲、乙两种图书的总经费进而得出不等式求出答案．

此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确表示出图书的价格是解题关键．

23.【答案】证明：过作于，

，

，

平分交于点，

，

与相切；

解：设圆的半径为，

，，，

，

，，是圆的切线，

，

，

，

，

在中，，

解得：，

．

【解析】过作于，利用角平分线的性质定理可得即可证明：与相切；

在直角三角形中由勾股定理可求出的长，设圆的半径为，利用切线长定理可求出，所以，，利用勾股定理建立方程求出，进而求出的长．

本题考查了圆的切线的判定、角平分线的性质、切线长定理以及勾股定理的运用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理列方程．

24.【答案】解：由题意抛物线的顶点，

可以假设抛物线的解析式为，

把代入，可得，

抛物线的解析式为；

令，得，