利用基本不等式求最值的类型及方法

利用基本不等式求最值的类型及方法)y98x23278x3(0x32)，由均值不等式x2322x2≥2x32，得x2(32x)x22x32≤98x23278x3，当且仅当x34时，“=”号成立，故y的最大值为2732。②由均值不等式可得sin2xcosx≤(sin2x+cos2x)cosx=cosx2，当且仅当sinx=cosx时，“=”号成立，故y的最大值为18。评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值时，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过因式分解、三角函数恒等式等方式进行构造。类型Ⅳ：条件最值问题已知正数$x,y$满足$\frac{81}{x}+y=1$，求$x+2y$的最小值。解法一：利用均值不等式，$x+2y=\left(\frac{8}{x}+1\right)(x+2y)=10+\frac{x}{8y}+\frac{16y}{x}\geq10+2\sqrt{\frac{x}{8y}\cdot\frac{16y}{x}}=18$。当且仅当$x=12,y=3$时取等号，故最小值为18。解法二：消元法，由$\frac{81}{x}+y=1$得$y=\frac{x-8}{x}$，由$y>0$得$x>8$，故$x+2y=x+2\cdot\frac{x-8}{x}=x+2-\frac{16}{x}\geqx+2-\frac{16}{12}=18-\frac{4}{3}\geq18$。当且仅当$x=12$时取等号，故最小值为18。解法三：三角换元法，令$\frac{8}{x}=\sin^2x$，则$x=\frac{8}{\sin^2x}$，$y=\frac{x-8}{x}=\frac{1}{\sin^2x}-1=\csc^2x-1$，于是$x+2y=8\csc^2x+2(\csc^2x-1)=10+8\cot^2x+2\tan^2x\geq18$。当且仅当$x=12$时取等号，故最小值为18。类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其他不等式求解的问题已知正数$x,y$满足$xy=x+y+3$，试求$xy$、$x+y$的范围。解法一：由$x>0,y>0$得$xy=x+y+3\geq2\sqrt{xy}+3$，即$(\sqrt{xy}-3)(\sqrt{xy}+1)\leq0$，解得$xy\leq3$或$xy\geq9$。又$x+y+3=xy\leq3$时，$x+y\leq0$，不符合条件，故$x+y\geq6$。当且仅当$x=y=3$时取等号，故$xy$的取值范围是$[9,+\infty)$，$x+y$的取值范围是$[6,+\infty)$。技巧一：应用基本不等式求最值已知5-4x+3≤-2+3=1，求y=x(5-4x+3)的最大值。解析：由基本不等式，有a²+b²≥2ab，即(a-b)²≥0，即a²-2ab+b²≥0。将y=x(5-4x+3)化简得y=-4x²+8x，即y=-4(x-1)²+4。因为-4(x-1)²≤0，所以y的最大值为4，当且仅当x=1时取得。技巧二：凑系数已知y=x(8-2x)，求最大值。解析：由基本不等式，有a²+b²≥2ab，即(a-b)²≥0，即a²-2ab+b²≥0。将y=x(8-2x)化简得y=-2(x-2)²+8，即y的最大值为8，当且仅当x=2时取得。技巧三：分离已知y=x²+7x+10/(x+1)，求值域。解析：将y=x²+7x+10/(x+1)化简得y=2(x+1)+9/(x+1)。因为2(x+1)≥0，所以y≥9，当且仅当x=1时取得等号。技巧四：换元已知y=(x-1)²+7(x-1)+10x²+5x+44/x，求值域。解析：将y=(x-1)²+7(x-1)+10x²+5x+44/x化简得y=t+2/t+5，其中t=x+1。因为t+2/t≥2，所以y≥9，当且仅当t=2即x=1时取得等号。技巧五：考虑函数的单调性已知y=x²+5/x²+4，求值域。解析：令t=x²+4，则y=t+1/t，其中t≥4。因为t+1/t≥2，所以y≥5，而且y随着t的增大而单调递增，所以y的最小值为5。技巧六：整体代换已知1/x+9/y=1，求x+y的最小值。解析：令u=1/x，v=1/y，则u+9v=1，所以x+y=1/u+1/v。因为1/u+1/v≥2√(1/uv)，所以x+y≥2√9=6，当且仅当u=3v时取得等号，即x=4,y=12。1、已知$x^2+y^2=a,m^2+n^2=b$且$a\neqb$，则$mx+ny$的最大值为()(A)$b^2/(a^2+b^2)$(B)$ab/(a^2+b^2)$(C)$a^2/(a^2+b^2)$(D)$2ab/(a^2+b^2)$2、若$a,x,y\inR^+$，且$x+y\leqax+y$恒成立，则$a$的最小值是()(A)2(B)2/2(C)2/2(D)13、已知下列不等式：①$x^3+3>2x$($x\inR^+$)；②$a^5+b^5\geqa^3b^2+a^2b^3$($a,b\inR^+$)；③$a^2+b^2\geq2(a-b-1)$。其中正确的个数是()(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个4、设$a,b\inR^+$，则下列不等式中不成立的是()(A)$(a+b)(11a^2+b^2)/(a+b)\geq4$(B)$ab\geq2ab$(C)$ab+1/ab\geq2$(D)$2ab/(a+b)\leqab$5、设$a,b\inR^+$且$2a+b=1$，$S=2ab-4a^2-b^2$的最大值是()(A)$2-1/\sqrt{2}$(B)$2-1/2\sqrt{2}$(C)$2+1/\sqrt{2}$(D)$2+1/2\sqrt{2}$6、若实数$a,b$满足