(完整版)匀速圆周运动经典练习题

(完整版)匀速圆周运动经典练习题1.对于匀速圆周运动的物体，正确的说法是角速度不变，周期不变，线速度大小随半径变化而改变。2.向心加速度描述的是向心力变化的快慢。3.由图像可以知道，甲球运动时，线速度大小随半径变化而改变，角速度大小保持不变；乙球运动时，线速度大小保持不变，角速度大小随半径变化而改变。4.小物体A受力情况是受重力、支持力和向心力。5.当球第一次通过最低点P时，小球速率最大，小球加速度为重力加向心加速度的合力，小球的向心加速度保持不变，摆线上的张力保持不变。6.小球过最高点时，杆对球的作用力一定跟小球所受重力的方向相反，此时重力大于杆对球的作用力；小球过最高点时的最小速度为√(2gR)。7.对轨道压力的大小是3mg。8.当火车以v的速度通过此弯路时，火车所受重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力。9.两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内作匀速圆周运动。根据运动学公式，运动周期与圆周半径和角速度有关，而两个小球的圆周半径和角速度不同，因此它们的运动周期不同。根据匀速圆周运动的定义，线速度等于圆周半径乘以角速度，因此两个小球的运动线速度不同。根据向心加速度公式，向心加速度等于圆周半径乘以角速度的平方，再除以重力加速度，因此两个小球的向心加速度不同。答案为(A)运动周期不同，(B)运动线速度不同，(D)向心加速度不同。10.一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点s离转动轴的距离是半径的5/20。根据匀速圆周运动的向心加速度公式，向心加速度等于圆周半径乘以角速度的平方，再除以重力加速度。大轮上的S点和小轮上的Q点的圆周半径分别是5R/20和R，因此它们的向心加速度分别为10和40m/s^2。答案为a_S=10m/s^2，a_Q=40m/s^2。11.半径为r的圆筒绕竖直中心轴OO'转动，小物块A靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的静摩擦因数为μ。根据圆周运动的向心加速度公式，向心加速度等于圆周半径乘以角速度的平方，再除以重力加速度。小物块A不下落的条件是向心加速度大于等于重力加速度，即rω^2≥gμ。解得ω≥√(gμ/r)。答案为ω≥√(gμ/r)。12.在半径为R的半圆形碗的光滑表面上，一质量为m的小球以角速度ω在水平面内作匀速圆周运动，该平面离碗底的距离h=R。根据匀速圆周运动的向心加速度公式，向心加速度等于圆周半径乘以角速度的平方，再除以重力加速度。由于圆弧的半径恰好等于碗底的半径，因此向心加速度等于重力加速度，即ω^2R=g。解得ω=√(g/R)。答案为h=R，ω=√(g/R)。13.一个圆盘边缘系一根细绳，绳的下端拴着一个质量为m的小球，圆盘的半径是r，绳长为l，圆盘匀速转动时小球随着一起转动，并且细绳与竖直方向成θ角。根据匀速圆周运动的向心加速度公式，向心加速度等于圆周半径乘以角速度的平方，再除以重力加速度。由于小球随着圆盘一起转动，因此小球的向心加速度等于圆盘的向心加速度。根据正弦函数的定义，绳与竖直方向的夹角θ等于小球所在的圆周半径与绳长的夹角，因此圆盘的向心加速度等于重力加速度的正弦值乘以g，即ω^2r=gsinθ。解得ω=√(gsinθ/r)。答案为ω=√(gsinθ/r)。14.甲、乙两个质点都作匀速圆周运动，甲的质量是乙的2倍，甲的速率是乙的4倍，甲的圆周半径是乙的2倍。根据匀速圆周运动的向心力公式，向心力等于质量乘以向心加速度，而向心加速度等于圆周半径乘以角速度的平方，因此甲的向心力是乙的8倍。答案为甲的向心力是乙的8倍。15.一圆环以它的直径AB为轴作匀速转动。根据匀速圆周运动的线速度公式，线速度等于圆周半径乘以角速度，因此圆环上P、Q两点的线速度大小相等。根据匀速圆周运动的向心加速度公式，向心加速度等于圆周半径乘以角速度的平方，再除以重力加速度，因此圆环上Q点的向心加速度等于4倍的圆环上任意一点的向心加速度。根据向心加速度公式，向心加速度等于线速度的平方除以圆周半径，因此圆环上Q点的向心加速度大小为4倍的线速度的平方除以圆环半径。答案为(1)线速度大小相等；(2)向心加速度大小为3200m/s^2。16.质量为m的小球用长为L的细绳悬于光滑斜面上的O点，小球在这个倾角为θ的斜面内作圆周运动，若小球在最高点和最低点的速率分别为v_1和v_2，则绳在这两个位置时的张力大小分别为mgcosθ±mv_1^2/L和mgcosθ±mv_2^2/L。根据匀速圆周运动的向心加速度公式，向心加速度等于重力加速度的正弦值乘以斜面的倾角，因此小球在最高点和最低点的向心加速度分别为gcosθ和-gcosθ。根据牛顿第二定律，绳的张力等于质量乘以向心加速度，再加上质量乘以重力加速度的正弦值，即mgcosθ±mv^2/L。答案为绳在最高点的张力大小为mgcosθ+mv_1^2/L，绳在最低点的张力大小为mgcosθ-mv_2^2/L。17.长为l的绳子下端连着质量为m的小球，上端悬于天花板上，把绳子拉直，绳子与竖直线夹角为60°，此时小球静止于光滑的水平桌面上。当球以ω=g/(2l)作圆锥摆运动时，绳子张力T等于mgcosθ，即T=mg/2，桌面受到的压力N等于mgcosθ的正弦值，即N=mg/2×√3。答案为绳子张力T=mg/2，桌面受到的压力N=mg/2×√3。18.M、N是两个共轴的圆筒，外筒半径为R，内筒半径比R小很多，可以忽略不计。当小球以ω=g/(4l)作圆锥摆运动时，绳子张力T等于mgcosθ，即T=mg/4，桌面受到的压力N等于mgcosθ的正弦值，即N=mg/4×√3。答案为绳子张力T=mg/4，桌面受到的压力N=mg/4×√3。1.在一封闭筒中，通过窄缝S向外射出两种不同速率的微粒，筒以相同的角速度ω绕其中心轴线作匀速转动。微粒射出时的初速度方向沿筒的半径方向，微粒到达另一筒后附着在上面。当ω取某一合适的值时，微粒落在另一筒上的位置可能在S缝平行的窄条上，也可能在两处不同的窄条上，或者在整个筒上分布。2.一个圆盘可以绕其竖直轴在水平面内运动，圆柱半径为R，甲、乙两物体的质量分别为M和m(M>m)，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用长为L的轻绳连在一起，L<R。当甲物体放在转轴位置上，甲、乙连线正好沿半径方向拉直，圆盘旋转的角速度最大不得超过$\frac{\mug(M-m)}{Lm}$。3.一个小球由细线AB、AC拉住静止，AB保持水平，AC与竖直方向成α角，此时AC对球的拉力为T1。烧断AB线后，小球开始摆动，当小球回到原处时，AC对小球的拉力为T2，则T1与T2之比为1:1。4.在一个以O为圆心、r为半径的圆周运动中，质点P经过位置A时，另一质量为m、初速度为零的质点Q受到沿OA方向的拉力F作用从静止开始在光滑水平面上作直线运动。为使P、Q在某时刻速度相同，拉力F必须满足条件$F=\frac{mv^{2}}{r}$。5.劲度系数为k=103N/m的轻弹簧长l=0.2m，一端固定在光滑水平转台的转动轴上，另一端系一个质量为m=2kg的物体。当转台匀速转动时，物体也随台一起转动，当转台以转速n=180r/min转动时，弹簧伸长了0.05m。6.质量为m的小球用绳子系住在竖直平面内作圆周运动，则小球运动到最低点和最高点时绳子所受拉力大小之差为$2mg$。(C)乙球运动时，线速度大小保持不变(D)乙球运动时，角速度大小保持不变答案:D改写：根据图像，可以得知乙球运动时，角速度大小不变。★4.如图所示，质点A、B在同一平面内作匀速圆周运动，A、B间距离为d，速度大小均为v，角速度大小均为ω，则A、B的相对速度大小为().【.5】(A)0(B)2v(C)v(D)v/2答案:D改写：在同一平面内作匀速圆周运动的质点A、B，速度大小均为v，角速度大小均为ω，那么它们的相对速度大小为v/2。★5.如图所示，直径为d的圆盘以角速度ω绕竖直轴匀速转动，从竖直向上的喷水口喷出水流，水流斜射到圆盘上，若水流与圆盘的交点在圆盘边缘，则水流的喷射角为().【1】(A)45°(B)30°(C)60°(D)90°答案:B改写：直径为d的圆盘以角速度ω绕竖直轴匀速转动，从竖直向上的喷水口喷出水流，水流斜射到圆盘上，若水流与圆盘的交点在圆盘边缘，那么水流的喷射角为30°。★6.如图所示，一质点在平面内作匀速圆周运动，角速度大小为ω，向心加速度大小为a，若将向心加速度增大到原来的4倍，则质点的周期().【1】(A)减小到原来的1/4(B)增大到原来的2(C)减小到原来的1/2(D)增大到原来的4答案:C改写：在平面内作匀速圆周运动的质点，角速度大小为ω，向心加速度大小为a。如果将向心加速度增大到原来的4倍，那么质点的周期将减小到原来的1/2。★7.如图所示，一质点在竖直平面内作匀速圆周运动，半径为r，速度大小为v，角速度大小为ω，则质点的向心加速度大小为().【1】(A)rv(B)v/ω(C)ωr(D)vω答案:D改写：在竖直平面内作匀速圆周运动的质点，半径为r，速度大小为v，角速度大小为ω。那么质点的向心加速度大小为vω。★8.如图所示，质点在竖直平面内作匀速圆周运动，半径为r，速度大小为v，角速度大小为ω，则质点的动能为().【1】(A)1/2mv2(B)1/2mω2r2(C)1/2mv2+1/2mω2r2(D)1/2mω2r2-1/2mv2答案:A改写：在竖直平面内作匀速圆周运动的质点，半径为r，速度大小为v，角速度大小为ω。那么质点的动能为1/2mv2。4.如图所示，小物体A与圆柱保持相对静止，跟着圆盘一起作匀速圆周运动。因为A与圆柱保持相对静止，所以它受到的支持力和重力的合力为零。但是在圆周运动中，A又受到指向圆心的摩擦力，所以A受力情况是受重力、支持力和指向圆心的摩擦力。5.质量为m的小球用长为l的线悬挂在O点，处有一光滑的钉子O′。当小球从静止释放时，它会沿着圆弧运动，经过最低点P。因为小球受到重力，所以它会有向下的加速度，但是在最低点P，小球的速度达到最大值，加速度为零，所以小球的加速度会突然减小。同时，小球在圆弧运动中，还有向心加速度，这个向心加速度也会在最低点P突然减小。此外，小球在运动过程中，摆线上的张力也会不断变化，但是在最低点P，张力达到最小值，也会突然减小。6.一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内作半径为R的圆周运动。当小球过最高点时，杆所受弹力不能为零，因为杆的弯曲会产生弹性变形，而弹性变形会产生弹力。小球过最高点时的最小速度是$\sqrt{2gR}$。当小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定大于杆对球的作用力。7.质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的最小速度是v，则当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道压力的大小是3mg。这是因为小球在圆周运动中，受到向心力的作用，向心力的大小为$\frac{mv^2}{R}$，而在最高点，向心力的大小等于重力的大小，即$\frac{mv^2}{R}=mg$，解得$v=\sqrt{gR}$。当小球以2v的速度经过最高点时，向心力的大小为$\frac{4mv^2}{R}=4mg$，而小球的重力大小为mg，所以对轨道的压力大小为3mg。8.火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定。当火车以规定速度v通过此弯路时，火车所受重力与轨道面支持力的合力提供向心力。因为火车在圆周运动中，需要有向心力来保持圆周运动，所以重力和支持力的合力必须提供向心力。当火车速度大于v时，轮缘挤压外轨，此时向心力不足以保持圆周运动，所以会发生脱轨的危险。当火车速度小于v时，向心力过大，会对轮缘和轨道造成过大的压力，也会发生脱轨的危险。9.两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内作匀速圆周运动。因为两个小球的质量不同，所以它们的运动周期不同。但是在匀速圆周运动中，两个小球的角速度相同，因为它们的圆周运动半径相同，而角速度只与圆周运动半径有关。同时，两个小球的向心加速度也相同，因为它们的圆周运动半径相同，而向心加速度只与圆周运动半径和角速度有关。10.在图中，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是半径的5，20。当大轮边缘上P点的向心加速度是10m/s²时，大轮上的S点和小轮上的Q点的向心加速度分别为5m/s²和20m/s²。11.在图中，半径为r的圆筒绕竖直中心轴OO'转动，小物块A靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的静摩擦因数为μ。现要使A不下落，则圆筒转动的角速度ω至少应为g/(rμ)。12.在图中，在半径为R的半圆形碗的光滑表面上，一质量为m的小球以角速度ω在水平面内作匀速圆周运动，该平面离碗底的距离h=R-g/ω²。13.在图中，一个圆盘边缘系一根细绳，绳的下端拴着一个质量为m的小球，圆盘的半径是r，绳长为l，圆盘匀速转动时小球随着一起转动，并且细绳与竖直方向成θ角。则圆盘的转速是gtanθ/(r+lsinθ)。14.甲、乙两个质点都作匀速圆周运动，甲的质量是乙的2倍，甲的速率是乙的4倍，甲的圆周半径是乙的2倍。则甲的向心力是乙的16倍。15.在图中，一圆环，其圆心为O，若以它的直径AB为轴作匀速转动，则：(1)圆环上P、Q两点的线速度大小之比是3。(2)若圆环的半径是20cm，绕AB轴转动的周期是0.01s，环上Q点的向心加速度大小是4000πm/s²。16.在图中，质量为m的小球用长为L的细绳悬于光滑斜面上的O点，小球在这个倾角为θ的斜面内作圆周运动，若小球在最高点和最低点的速率分别为v₁和v₂，则绳在这两个位置时的张力大小分别为T₁=2mv₁/(1+cosθ)和T₂=m(v₂²+gcosθ)/(L-v₂²/gsinθ)。17.在图中，长为l的绳子下端连着质量为m的小球，上端悬于天花板上，把绳子拉直，绳子与竖直线夹角为60°，此时小球静止于光滑的水平桌面上。问：(1)当球以ω=g/l作圆锥摆运动时，绳子张力T为T=mg/(2cos30°)、桌面受到压力N为N=mg/2。(2)当球以ω=4g/l作圆锥摆运动时，绳子张力及桌面受到压力各为T=mg/(2cos30°)+3mg/2和N=3mg/2。18.题目描述：两个共轴圆筒以相同角速度绕中心轴线匀速转动，从一个圆筒中射出两种不同速率的微粒，它们到达另一个圆筒后附着在上面，问能否使微粒落在N筒上的位置都在一个与S缝平行的窄条上。解析：根据惯性原理，微粒在水平方向上的速度不变，因此微粒到达N筒后仍然沿着半径方向运动。微粒到达N筒的位置由其初速度决定，初速度沿半径方向，因此微粒到达N筒的位置与其射出时的位置有关。假设微粒从M筒的位置为P出发，到达N筒的位置为Q，则PQ的长度等于微粒在水平方向上运动的距离，即v1或v2乘以微粒运动的时间。微粒的运动时间等于微粒从P到达S的时间加上微粒从S到达Q的时间，因此微粒到达N筒的位置只能在与S缝平行的窄条上，其宽度等于微粒在水平方向上运动的距离。19.题目描述：一个圆盘可以绕其竖直轴在水平面内运动，圆柱半径为R，两个物体用细绳连在一起，绳长为L，甲物体放在转轴位置上，甲、乙连线正好沿半径方向拉直，求圆盘旋转的角速度最大值。解析：当圆盘旋转的角速度达到一定值时，甲、乙两物体会相对于圆盘发生滑动，此时甲、乙物体与圆盘之间的摩擦力达到最大值，等于物体的重力乘以摩擦系数μ。因此，当圆盘旋转的角速度达到一定值时，甲、乙物体的重力分别等于μ(M-m)g和μmg，此时绳的张力达到最大值，等于μ(M-m)g。根据牛顿第二定律，物体受到的合力等于物体的质量乘以加速度，因此圆盘旋转的角加速度等于μ(M-m)g/(M+m)R，圆盘旋转的角速度最大值等于圆盘旋转的角加速度乘以圆盘旋转一半的时间，即μ(M-m)gL/(M+m)R。20.题目描述：一个小球由两根细线AB、AC拉住，初始时小球静止，AB保持水平，AC与竖直方向成α角，此时AC对小球的拉力为T1，现将AB线烧断，小球开始摆动，当小球回到原处时，AC对小球的拉力为T2，求T1与T2之比。解析：小球在细线AC的作用下沿着竖直方向开始运动，当小球摆到最低点时，其速度最大，此时AC对小球的拉力最小，等于小球的重力mg。当小球摆到最高点时，其速度为零，此时AC对小球的拉力最大，等于mg加上小球所受的向心力mv^2/R。根据牛顿第二定律，小球所受的合力等于小球的质量乘以加速度，因此在最高点，AC对小球的拉力等于mg加上小球所受的向心力mv^2/R，即T2=mg+mv^2/R。根据能量守恒定律，小球在摆动过程中机械能守恒，因此小球在最高点和最低点的机械能相等，即mgR(1-cosα)=mv^2/2，解得v^2=2gR(1-cosα)，代入T2=mg+mv^2/R可得T2=3mg/2。小球在回到原处时，其速度为零，因此AC对小球的拉力等于小球的重力mg，即T1=mg。因此T1与T2之比为1:3/2=2:3。21.题目描述：质点P以圆心为O、半径为r的圆周做匀速圆周运动，周期为T，当P经过位置A时，另一质点Q受到沿OA方向的拉力F作用从静止开始在光滑水平面上作直线运动，为使P、Q在某时刻速度相同，拉力F必须满足的条件是什么。解析：质点Q在沿OA方向受到的拉力F等于质点P向Q的引力，即F=GmM/r^2，其中G为万有引力常数，m为质点Q的质量，M为质点P的质量。质点P在圆周运动过程中，向心力等于mv^2/r，其中m为质点P的质量，v为质点P的速度。当P、Q在某时刻速度相同时，它们的速度大小相等，即v=ωr，其中ω为圆周运动的角速度。因此F=mv^2/r=GmM/r^2，解得F=2πmM/[(n+1)T]，其中n为正整数。22.一根劲度系数为k=103N/m的轻弹簧，长度为l=0.2m，一端固定在光滑水平转台的转动轴上，另一端系一个质量为m=2kg的物体。当转台匀速转动时，物体也随台一起转动。当转台以转速n=180r/min转动时，弹簧伸长了0.49m。23.一个质量为m的小球用绳子系住在竖直平面内作圆周运动。则小球运动到最低点和最高点时绳子所受拉力大小之差为6mg。24.如图所示，直径为d的纸筒以角速度ω绕轴O匀速转动，从枪口发射的子弹沿直径穿过圆筒。若子弹在圆筒旋转不到半周时在圆筒上留下a、b两个弹孔，已知aO和bO夹角为φ，则子弹的速度大小为dω/(π-φ)。25.如图所示，在水平转台的光滑水平横杆上穿有两个质量分别为2m和m的小球A和B，A、B间用劲度系数为k的轻质弹簧连接，弹簧的自然长度为L。当转台以角速度ω绕竖直轴匀速转动时，如果A、B仍能相对横杆静止而不碰左右两