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湘教·九年级上册正弦及30°角的正弦值新课导入下图是上海东方明珠电视塔的远景图,你能想办法求出该塔的高度吗?一艘帆船从西向东航行到B处时,灯塔A在船的正北方向,帆船从B处继续向正东方向航行2000m到达C处,此时灯塔A在船的北偏西65º的方向.试问:C处和灯塔A的距离约等于多少米?(精确到1m)北东65ºABC【分析】由题意,△ABC是直角三角形,其中∠B=90º,∠A=65º,∠A所对的边BC=2000m,求斜边AC=?为此,可以去探究直角三角形中,65º角的对边与斜边的比值有什么规律?探究新知做一做画一个直角三角形,其中一个锐角为65°,量出65°角的对边长度和斜边长度,计算65°角的对边斜边=_____________=_____________.与同桌和邻桌的同学交流,看看计算出的比值是否相等(精确到0.01).如下图所示,(1)和(2)分别是小明、小亮画的直角三角形,其中∠A=∠A′=65°,∠C=∠C′=90°.小明量出∠A的对边BC=3cm,斜边AB=3.3cm,算出:小亮量出∠A′的对边B′C′=2cm,斜边A′B′=2.2cm,算出:
由此猜测:在有一个锐角为65°的所有直角三角形中,65°角的对边与斜边的比值是一个常数,它等于.这个猜测是真的吗?若把65°角换成任意一个锐角α,则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢?探究如图,△ABC和△DEF都是直角三角形,其中∠A=∠D=α.∠C=∠F=90°,则成立吗?为什么?∵∠A=∠D=α,∠C=∠F=90°,∴Rt△ABC∽Rt△DEF.即BC·DE=AB·EF,这说明,在有一个锐角等于α的所有直角三角形中,角α的对边与斜边的比值是一个常数,与直角三角形的大小无关.小结:如图,在直角三角形中,我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦,记作sinα,即说明:1.sinα是在直角三角形中定义的,∠α是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinα是一个完整的符号,如:sinα不是sin与α的乘积,而是一个整体,表示∠α的正弦.3.sinα是线段的一个比值.注意比的顺序,且0<sinα<1,无单位.4.sinα的大小只与∠α的大小有关,而与直角三角形的边长无关.一艘帆船从西向东航行到B处时,灯塔A在船的正北方向,帆船从B处继续向正东方向航行2000m到达C处,此时灯塔A在船的北偏西65º的方向.试问:C处和灯塔A的距离约等于多少米?(精确到1m)北东65ºABC解:在Rt△ABC中,BC=2000m,∠A=65º,思考:在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有什么关系?在直角三角形中,30°所对应的直角边等于斜边的一半。例1:如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5.(1)求sinA的值;(2)求sinB的值.解(1)∠A的对边BC=3,斜边AB=5.于是例1:如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5.(1)求sinA的值;(2)求sinB的值.(2)∠B的对边是AC,根据勾股定理,得
AC2=AB2-BC2=52-32=16.于是AC=4.因此练习1.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,BC=5,AB=13.求sinA,sinB的值.解:∠A的对边BC=5,斜边AB=13.∠B的对边是AC,根据勾股定理,得
AC2=AB2-BC2=132-52=144.于是AC=12.于是因此2.如图,在平面直角坐标系内有一点P(3,4),连接OP,求OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值.解:如图,设点A(3,0),连接PA.A在Rt△APO中,由勾股定理得
OP2=AP2+AO2=42+32=25.于
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