抛物型方程的差分方程1课件

第二章抛物型方程的差分方法

偏微分方程（数理方程）分为三类：①抛②椭③双。数值解法分为差分方法和有限元素法。本书主要介绍差分方法，最后看有时间有可能再介绍一下有限元。差分的思想就是将连续问题离散化，以差分逼近微分，求出一些离散点上的数值解。一维线性抛物型方程的一般形式：(2.1)第二章抛物型方程的差分方法偏微分方程1(1)初值问题(Cauchy问题)(2.2)通常考虑的定解问题，有：(2)混合问题(初、边值问题)(2.3)(2.4)(1)初值问题(Cauchy问题)(2.2)通常考虑的定解问2§2.1差分格式建立的基础

差分方法又叫网格法。首先将Ω用二组平行于x轴、t轴的直线构成的网格覆盖，x方向上步长为h，t方向上步长为k，网格线的交点称为结点。对初值问题，网格是：§2.1差分格式建立的基础差分方法又3在t=0上的结点为边界结点，属于Ω内的结点为内部结点。对于混合问题：以差分方程逼近微分方程，先研究用差商表示导数在t=0上的结点为边界结点，属于Ω内的结点为内部结点。对于混4(2.5)(2.6)(2.7)(2.5)(2.6)(2.7)5(2.8)截断误差向后差商的截断误差阶也为，而中心差商的截断误差阶为介绍一些线性算子：(2.8)截断误差向后差商的截断误差阶也为，6(2.9)(2.10)(2.11)差分算子与导数算子的关系，由Taylor展式，得：(2.12)或(2.13)(2.9)(2.10)(2.11)差分算子与导数算子的关系，7(位移算子与差分算子的关系)(2.14)(2.15)(2.16)(2.17)以上(2.14)(2.15)(2.17)就是偏导算子分别与前差、后差、中心差之间的关系(级数表达式)(位移算子与差分算子的关系)(2.14)(2.15)(2.18以下是偏导数的差分表达式：(2.18.1)(2.18.2)(2.18.3)可得二阶偏导数的差分表达式以下是偏导数的差分表达式：(2.18.1)(2.18.2)(9(2.19.1)(2.19.2)(2.19.3)(2.19.1)(2.19.2)(2.19.3)10截断误差(2.22)截断误差(2.22)11(2.23)(2.24)(2.25)目前解(2.1)时所用的各种差分方程，都是(2.25)的近似表达式，故(2.25)重要。以后，掌握方法为重点，讨论稳定性、收敛性为其次重要。(2.23)(2.24)(2.25)目前解(2.1)时所用的12§2.2显式差分格式思想：对(2.1)的几种特殊情形，从(2.25)出发，构造其有限差分近似。一、一维常系数热传导方程(2.26)§2.2显式差分格式思想：对(2.1)的几种特殊情形，13(2.27)(2.28)(2.29)(2.27)(2.28)(2.29)14第(n+1)时间层上任一结点(mh,(n+1)k)或简记为(m,n+1)处的值，可由第n时间层上的三个相邻结点(m-1,n)(m,n)(m+1,n)上的值决定。(2.29)称为解热传导方程(2.26)的古典显式格式。如对初值问题令(∵为已知函数，∴可算出)。利用(2.29)沿着t方向逐层把结点上的值计算出来，以此作为在(m,n)处的值的近似值。对于混合问题(初边值问题)同样可用(2.29)把区域Ω中网格点上的值计算出来。说明：(2.29)方便，但有时不稳定第(n+1)时间层上任一结点(2.29)称为解热传导方程(215下面用导数的差商近似式来推导(2.29)(2.29)以下讨论误差问题：(2.30)下面用导数的差商近似式来推导(2.29)(2.29)以下讨论16前面三式可分别分离出：前面三式可分别分离出：17(2.31)(2.32)(2.31)(2.32)18(2.33)(2.34)(2.33)(2.34)19(2.35.1)(2.35.2)(2.35.1)(2.35.2)20二、系数依赖于x的一维热传导方程的显式格式(2.36)二、系数依赖于x的一维热传导方程的显式格式(2.36)21(2.37)(2.38)(2.37)(2.38)22(2.39)(2.39)23(2.40)(2.40)24§2.3隐式差分格式

显式格式是由第n层上的数个值求第n+1层上的一个值，而隐式格式中包括第n+1层上二个或二个以上的未知值。隐式格式的优点为稳定性对步长比的要求大为放宽。§2.3隐式差分格式显式格式是由第n25一、古典隐式格式(2.41)一、古典隐式格式(2.41)26二、Crank-Nicolson隐式格式二、Crank-Nicolson隐式格式27(2.42)(2.43)(2.44)(2.42)(2.43)(2.44)28抛物型方程的差分方程1课件29(2.45)(2.45)30例2.1求解初边值问题分别用Crank-Nicolson格式和Douglas格式求数值解，分别由(2.44)和(2.45)(还需进一步具体化)。两种方法都需解三对角方程组.例2.1求解初边值问题分别用Crank-Nic31三、加权六点隐式格式三、加权六点隐式格式32(2.46)(2.46)33四、系数依赖于x,t的一维热传导方程的隐式格式(2.47)(2.16)四、系数依赖于x,t的一维热传导方程的隐式格式(2.47)(34(2.48)(2.48)35(2.49.1)(2.49.2)(2.49.1)(2.49.2)36§2.4解三对角形方程组的追赶法§2.4解三对角形方程组的追赶法37(2.50)(2.50)38(2.51)(2.51)39抛物型方程的差分方程1课件40抛物型方程的差分方程1课件41抛物型方程的差分方程1课件42例2.2例2.243(2.52)(2.52)44抛物型方程的差分方程1课件45抛物型方程的差分方程1课件46§2.5差分格式的稳定性和收敛性一、问题的提出(2.53)§2.5差分格式的稳定性和收敛性一、问题的提出(2.5347抛物型方程的差分方程1课件48抛物型方程的差分方程1课件49(2.54)二、ε-图方法(2.54)二、ε-图方法50(2.55)(2.56)(2.55)(2.56)51抛物型方程的差分方程1课件52抛物型方程的差分方程1课件53三、稳定性的定义、稳定性分析的矩阵方法(2.57)三、稳定性的定义、稳定性分析的矩阵方法(2.57)54(2.58)(2.58)55定义：定义：56抛物型方程的差分方程1课件57(2.59)矩阵法（直接法）：(2.59)矩阵法（直接法）：58(2.60)(2.61)Th2.1(2.62)(2.63)(2.60)(2.61)Th2.1(2.62)(2.63)59抛物型方程的差分方程1课件60Th2.2Th2.3Th2.2Th2.361抛物型方程的差分方程1课件62抛物型方程的差分方程1课件631.古典显式差分格式的稳定性1.古典显式差分格式的稳定性64(2.64)(2.64)65抛物型方程的差分方程1课件662.Crank-Nicolson隐格式的稳定性(2.66)2.Crank-Nicolson隐格式的稳定性(2.66)67抛物型方程的差分方程1课件68(2.67)(2.67)693.加权6点隐式的稳定性3.加权6点隐式的稳定性70抛物型方程的差分方程1课件71抛物型方程的差分方程1课件724.Richardson格式——一个完全不稳定的差分格式(2.68)4.Richardson格式——一个完全不稳定的差分格式73