奈魁斯特稳定判据

主要内容幅角定理奈魁斯特稳定判据（极坐标）奈氏稳定判据在Ⅰ、Ⅱ型系统中的应用在波德图或尼柯尔斯图上判别系统稳定性

奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。第五节奈魁斯特稳定判据一、幅角定理：

设负反馈系统的开环传递函数为：，其中： 为前向通道传递函数，为反馈通道传递函数。闭环传递函数为：，如下图所示：令：则开环传递函数为：……………(a)闭环传递函数为：……………(b)

显然，辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为n阶，且分子分母同阶。则辅助方程可写成以下形式：。式中，为F(s)的零、极点。由上页(a)、(b)及(c)式可以看出：F(s)的极点为开环传递函数的极点；F(s)的零点为闭环传递函数的极点；将闭环特征方程与开环特征方程之比构成一个辅助方程，得：……………..(c)F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点都可以在F(s)平面上找到一个相应的点，称为在F(s)平面上的映射。

同样，对于s平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线，也可在F(s)平面上找到一条与之相对应的封闭曲线（为的映射）。[例]辅助方程为：，则s平面上点（-1，j1），映射到F(s)平面上的点为（0，-j1）,见下图：同样我们还可以发现以下事实：s平面上曲线映射到F(s)平面的曲线为，如下图：示意图

曲线是顺时针运动的，且包围了F(s)的一个极点（0），不包围其零点（-2）；曲线包围原点，且逆时针运动。再进一步试探，发现：若顺时针包围F(s)的一个极点（0）和一个零点（-2），则不包围原点顺时针运动；若顺时针只包围F(s)的一个零点（-2），则包围原点且顺时针运动。

这里有一定的规律，就是下面介绍的柯西幅角定理。[柯西幅角定理]：s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线移动一周时，在F(s)平面上相对应于封闭曲线将以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，z，p的关系为：N=z-p。若N为正，表示顺时针运动，包围原点；若N为0，表示顺时针运动，不包围原点；若N为负，表示逆时针运动，包围原点。二、奈魁斯特稳定判据：

对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。

我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此开环频率特性是已知的。设想：

如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为：当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。这里需要解决两个问题：1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性相联系？它可分为三部分：Ⅰ部分是正虚轴，Ⅱ部分是右半平面上半径为无穷大的半圆；；Ⅲ部分是负虚轴，。第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈魁斯特路径。如下图：ⅠⅡⅢF(s)平面上的映射是这样得到的：以代入F(s)并令从 变化，得第一部分的映射；在F(s)中取使角度由 ，得第二部分的映射；令从，得第三部分的映射。稍后将介绍具体求法。得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算，式中： 是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了N，可求出 。当时，系统稳定；否则不稳定。第2个问题：辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的的辅助方程为，为开环频率特性。因此，有以下三点是明显的：②F(s)对原点的包围，相当于对(-1,j0)的包围；因此映射曲线F(s)对原点的包围次数N与对(-1,j0)点的包围的次数一样。奈魁斯特路径的第Ⅰ部分的映射是曲线向右移1；第Ⅱ部分的映射对应，即F(s)=1;第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分映射的关于实轴的对称。③F(s)的极点就是的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是在右半平面的极点数。①由可求得，而是开环频率特性。一般在中，分母阶数比分子阶数高，所以当时，，即F(s)=1。（对应于映射曲线第Ⅱ部分）F(s)与的关系图。ⅠⅡⅢ

根据上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封闭曲线取奈魁斯特路径，则可将柯西幅角定理用于判断闭环控制系统的稳定性。就是下面所述的奈魁斯特稳定判据。[奈魁斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有个极点，且开环频率特性曲线对(-1,j0)点包围的次数为N，（N>0顺时针，N<0逆时针），则闭环系统在右半平面的极点数为：。若，则闭环系统稳定，否则不稳定。因为稳定性是看闭环，而F的零点数就是闭环的极点数，所以有此判断闭环的稳定性，即在右半面是否有极点[奈魁斯特稳定判据的另一种描述]：设开环系统传递函数在右半s平面上的极点数为，则闭环系统稳定的充要条件为：在 平面上的开环频率特性曲线极其映射当从变化到时，将以逆时针的方向围绕(-1,j0)点圈。对于开环系统稳定的情况，，则闭环系统稳定的充要条件是开环频率特性曲线极其映射不包围(-1,j0)点。不稳定的闭环系统在s右半平面的极点数为：。[例5-6]开环传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。首先要画极坐标图啊，根据型数哪里！！！！[解]：开环系统的奈氏图如右。在s右半平面的极点数为0，绕(-1,j0)点的圈数N=0，则闭环系统在s右半平面的个数： 。故闭环系统是稳定的。p是在右半平面的的极点数[例5-7]设开环系统传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。[解]：开环极点为-1，-1j2，都在s左半平面，所以。奈氏图如右。从图中可以看出：奈氏图顺时针围绕(-1,j2)点2圈。所以闭环系统在s右半极点数为： ，闭环系统是不稳定的。N>O是顺时针[例5-8]系统结构图如右：试判断闭环系统的稳定性并讨论稳定性和k的关系。-[解]：开环系统奈氏图是一个半径为，圆心在的圆。显然，k>=1时，包围(-1,j0)点，k<1时不包围(-1,j0)点。由图中看出：当k>1时，奈氏曲线逆时针包围(-1,j0)点一圈，N=-1，而，则闭环系统是稳定的。当k=1时，奈氏曲线通过(-1,j0)点，属临界稳定状态。当k<1时，奈氏曲线不包围(-1,j0)点，N=0，，所以，闭环系统不稳定。

上面讨论的奈魁斯特判据和例子，都是假设虚轴上没有开环极点，即开环系统都是0型的，这是为了满足柯西幅角定理的条件。但是对于Ⅰ、Ⅱ型的开环系统，由于在虚轴上（原点）有极点，因此不能使用柯西幅角定理来判定闭环系统的稳定性。为了解决这一问题，需要重构奈魁斯特路径。三、奈魁斯特稳定判据在Ⅰ、Ⅱ型系统中的应用：具有开环0极点系统，其开环传递函数为：

可见，在原点有重0极点。也就是在s=0点，不解析，若取奈氏路径同上时（通过虚轴的整个s右半平面），不满足柯西幅角定理。为了使奈氏路径不经过原点而仍然能包围整个s右半平面，重构奈氏路径如下：以原点为圆心，半径为无穷小做右半圆。这时的奈氏路径由以下四部分组成：Ⅰ部分：正虚轴，，Ⅱ部分为半径为无穷大的右半圆；Ⅲ部分负虚轴，，Ⅳ部分为半径为无穷小的右半圆，下面讨论对于这种奈魁斯特路径的映射：1、第Ⅰ和第Ⅲ部分：常规的奈氏图，关于实轴对称；2、第Ⅱ部分：，。假设的分母阶数比分子阶数高；3、第Ⅳ部分：(a)对于Ⅰ型系统：将奈氏路径中的点代入中得：ⅠⅡⅢⅣ(b)对于Ⅱ型系统：将奈氏路径中的点代入中得：所以这一段的映射为：半径为，角度从变到的整个圆（顺时针）。所以这一段的映射为：半径为，角度从变到的右半圆。[结论]用上述形式的奈氏路径，奈氏判据仍可应用于Ⅰ、Ⅱ型系统。[例5-9]设Ⅰ型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半平面没有极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。[解]：显然这是1型系统。先根据奈氏路径画出完整的映射曲线。从图上看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)一圈，逆时针包围(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，而，故，闭环系统是稳定的。[例5-10]某Ⅱ型系统的开环频率特性如下图所示，且s右半平面无极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。[解]：首先画出完整的奈氏曲线的映射曲线。如右图：从图上可以看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)两圈。因，所以，闭环系统是不稳定的。[特殊情况]：1、若开环系统在虚轴上有极点，这时应将奈氏路径做相应的改变。如下图：以极点为圆心，做半径为无穷小的右半圆，使奈氏路径不通过虚轴上极点（确保满足柯西幅角定理条件），但仍能包围整个s右半平面。映射情况，由于较复杂，略。2、如果开环频率特性曲线通过(-1,j0)点，说明闭环系统处于临界稳定状态，闭环系统在虚轴上有极点。通常，只画出的开环奈氏图，这时闭环系统在s右半平面上的极点数为：。式中，为变化时，开环奈氏图顺时针包围(-1,j0)点的圈数。不包围(-1,j0)点，0型系统包围(-1,j0)点，Ⅰ型系统和Ⅱ型系统对应的奈魁斯特路径分别为：这时奈魁斯特稳定判据可以描述为：设开环系统传递函数在右半平面的极点为P，则闭环系统稳定的充要条件是：当从 时，频率特性曲线在实轴段的正负穿越次数差为。

频率特性曲线对(-1,j0)点的包围情况可用频率特性的正负穿越情况来表示。当增加时，频率特性从上半s平面穿过负实轴的段到下半s平面，称为频率特性对负实轴的段的正穿越（这时随着的增加，频率特性的相角也是增加的）；意味着逆时针包围(-1,j0)点。反之称为负穿越。正穿越负穿越四、在对数坐标图上判断系统的稳定性：

开环系统的极坐标图（奈氏图）和对数坐标图（波德图）有如下的对应关系：1、奈氏图上单位圆对应于对数坐标图上的零分贝线； 。2、奈氏图上的负实轴对应于对数坐标图上的-180度相位线。

奈氏图频率特性曲线在上的正负穿越在对数坐标图上的对应关系：在对数坐标图上的范围内，当增加时，相频特性曲线从下向上穿过-180度相位线称为正穿越。因为相角值增加了。反之称为负穿越。对照图如下：正穿越负穿越正穿越负穿越相角方向为正

增加时，相角增大对数坐标图上奈氏稳定判据如下：

设开环频率特性在s右半平面的极点数为P，则闭环系统稳定的充要条件是：对数坐标图上幅频特性的所有频段内，当频率增加时，对数相频特性对-180度线的正负穿越次数差为P/2。闭环系统右半s极点数为：，式中为正负穿越次数差。若Z=0，闭环系统稳定；若Z>0，闭环系统不稳定。五、最小相位系统的奈氏判据：开环频率特性在s右半平面无零点和极点的系统称为最小相位系统。最小相位系统闭环稳定的充要条件可简化为：奈氏图（开环频率特性曲线）不包围(-1,j0)点。因为若N=0，且P=0，所以Z=包含了（-1,0）就不稳定，在就临界，不包含就稳定奈氏图幅值和相角关系为：当时，当时，式中，分别称为相角、幅值穿越频率上述关系在对数坐标图上的对应关系:当时，当时，小结

柯西幅角定理。满足该定理的条件。N=z-p

辅助方程。其极点为开环极点，其零点为闭环极点。奈奎斯特稳定判据。几种描述形式；Ⅰ、Ⅱ型系统的奈氏路径极其映射；最小相位系统的奈氏判据；对数坐标图上奈氏判据的描述。对数频率特性图和奈奎斯特频率特性图的关系。

当频率特性曲线穿过(-1,j0)点时，系统处于临界稳定状态。这时：

。对于最小相位系统，可以用 和来表示频率特性曲线接近(-1,j0)点的程度，或称为稳定裕度。稳定裕度越大，稳定性越好。[定义]：和为幅值稳定裕度和相位稳定裕度。在对数坐标图上，用表示的分贝值。即第六节稳定裕度显然，当时，即和时，闭环系统是稳定的；否则是不稳定的。对于最小相位系统，和是同时发生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的稳定裕度。常用相角裕度。[幅值稳定裕度物理意义]：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增加倍（奈氏图）或增加分贝（波德图），则系统处于临界状态。若增加的倍数大于倍（或分贝），则系统变为不稳定。比如，若增加开环放大系数K，则对数幅频特性曲线将上升，而相角特性曲线不变。可见，开环放大系数太大，容易引起系统的不稳定。[相位稳定裕度的物理意义]：稳定系统在幅值穿越频率处将相角减小度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。[例]设控制系统如下图所示k=10和k=100时，试求系统的相位稳定裕度和幅值裕度。-[解]：相位稳定裕度和幅值裕度可以很容易地从波德图中求得。当k=10时，开环系统波德图如右所示。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度大约是8dB和21度。因此系统在不稳定之前，增益可以增加8dB.相位裕度和幅值裕度的计算：记得这一章用的是尾1！！！！！相位裕度：先求穿越频率在穿越频率处，

，所以，解此方程较困难，可采用近似解法。由于较小（小于2），所以：穿越频率处的相角为：相角裕度为：

幅值裕度：先求相角穿越频率相角穿越频率处的相角为：由三角函数关系得：所以，幅值裕度为：当增益从k=10增大到k=100时，幅值特性曲线上移20dB，相位特性曲线不变。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度分别是-12dB和-30度。因此系统在k=10时是稳定的，在k=100时是不稳定的。[例5-11]某系统结构图如下所示。试确定当k=10时闭环系统的稳定性及其使相位稳定裕度为30度时的开环放大系数k。-[解]：当k=10时，开环传递函数为：手工绘制波德图步骤：1、确定转折频率：10、40，在(1,20log200)点画斜率为-20的斜线至；2、在之间画斜率为-40的斜线；3、后画斜率为-60的斜线。上图蓝线为原始波德图。，显然闭环系统是不稳定的。为了使相位稳定裕度达到30度，可将幅频曲线向下平移。即将开环放大系数减小，这时相频特性不变。截止频率左移至，移到哪里？

，从图中看出：。所以原始幅频曲线向下移动的分贝数为:所以当开环放大系数下降到15时，闭环系统的相位稳定裕度是30度，这时的幅频稳定裕度为：由图中看出，所以设新的开环放大系数为，原始的开环放大系数为k=200，则有 （讨论时较明显）。解得：带有延迟环节系统的相位裕度的求法：设系统的开环传递函数为：，我们知道增加了延迟环节后系统的幅值特性不变，相角特性滞后了。表现在奈氏图和波德图上的情况如下（假设Gk(s)）为最小相位系统。左图中，红色曲线为Gk(s)频率特性，兰色曲线为增加了延迟环节后的频率特性。其幅值和相角穿越频率分别为和，相角裕度分别为。显然增加了延迟环节后，系统的稳定性下降了。若要确保稳定性，其相位裕度必须大于零。即：[稳定裕度概念使用时的局限性]：1、在高阶系统中，奈氏图中幅值为的点或相角为-180度的点可能不止一个，这时使用幅值和相位稳定裕度可能会出现歧义；2、非最小相位系统不能使用该定义；3、有时幅值和相位稳定裕度都满足，但仍有部分曲线很靠近(-1,j0)点，这时闭环系统的稳定性依然不好。见下图：一、稳态性能指标分析：

如果通过频率特性曲线能确定系统的无差度阶数（即积分环节的个数）和开环放大系数k的话，则可求得系统的稳态误差。（见第三章第六节稳态误差分析）在波德图上，低频渐进线的斜率和的关系如下：由，可求得值；也可由 ，求。开环放大系数k的求法有两种：①低频渐进线为：当时，有：，故： 低频渐进线斜率=-20v第七节频率特性和时域性能指标的关系②当时，k也可由与横轴的交点来求。当时，，有：二、频域性能指标（一）、开环频率特性性能指标幅值稳定裕度系统开环相频特性为时，系统开环频率特性幅值的倒数定义为幅值稳定裕度。所对应的频率称为相角穿越频率。即 ，满足 。实际中常用对数幅值稳定