人教版高数必修五第2讲：正弦定理和余弦定理的应用

正弦定理和余弦定理的应用____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握正弦定理和余弦定理的应用，高度，距离，角度的准确判断教学难点：构造三角形，利用正、余弦定理进行解相关的边长、角度。与实际应用问题有关的名词、术语=1\*GB3①铅直平面：与_______的平面=2\*GB3②坡角：坡面与水平面的夹角=3\*GB3③坡比：坡面的垂直高度与水平长度之比=4\*GB3④仰角：在同一铅直平面内，视线在水平线_______时与水平线的夹角=5\*GB3⑤俯角：在同一铅直平面内，视线在水平线__________时与水平线的夹角=6\*GB3⑥视角：从某点看物体的最高点与最低点的两条视线的________=7\*GB3⑦方向角：从指定方向线到目标方向线的__________（指定方向线是指正北或正南方向，方向角小于=8\*GB3⑧方位角：从正北方向________转到目标方向线的水平角解三角形应用问题步骤准确理解题意，分清已知和所求，尤其是要理解应用题中的相关名词和术语；根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，即将实际问题抽象成数学问题；分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过运用正弦定理或余弦定理正确求解；检验求得的解是否具有实际意义，并对所求的解进行取舍。类型一：测量距离、高度问题例1.（2015山东潍坊月考）为了测量某湖泊的两侧间的距离，给出下列数据，其中不能唯一确定两点间的距离的是（）A.角和边B.角和边C.边和角D.边和角练习1.在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为()A．eq\f(400,3)mB．eq\f(400\r(3),3)mC．200eq\r(3)m D．200m练习2：要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为()A．10eq\r(2)mB．20mC．20eq\r(3)m D．40m例2：一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过eq\r(3)h，该船实际航程为________．练习3：在灯塔上面相距50m的两点A、B，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离________．练习4：两船同时从A港出发，甲船以每小时20nmile的速度向北偏东80°的方向航行，乙船以每小时12nmile的速度向北偏西40°方向航行，一小时后，两船相距________nmile.规律总结：求距离、高度时，牢牢抓住各已知边及角，理解名词、术语的应用。类型二：测量角度问题、三角形综合题例3：在某测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的()A．北偏西35°B．北偏东55°C．北偏东35°D．南偏西55°练习5：已知两座灯塔和与海洋观察站的距离相等，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔在灯塔的（）A.北偏东B.北偏西C.南偏东D.南偏西练习6：某观察站与两灯塔的距离分别为300米和500米，测得灯塔在观察站北偏东处，灯塔在观察站南偏东处，则两灯塔间距离为（）米米米米例4：在中，三个内角的对边分别为若的面积为，且，则（）A.B.C.D.练习7：在中，三个内角的对边分别为若的面积为，且，则（）练习8：在中，三个内角的对边分别为若的面积为，且，则（）1.在某测量中，A在B的北偏东45°，则B在A的()A．北偏西35°B．北偏东55°C．北偏东35° D．南偏西45°2.在某测量中，A在B的南偏西45°，则B在A的()A．北偏西35°B．北偏东45°C．北偏东35° D．南偏西45°3.在100m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为()B.200eq\r(3)mC.m4.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝60m，则电视塔的高度为()A．10eq\r(2)mB．20mC．20eq\r(3)mD．60m5.如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为eq\f(3,4)，设α为坡角，那么等于()A．B．C．D．6.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C的南偏东70°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东20°B．北偏西20°C．南偏东20° D．南偏西20°__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固某人向正东走Km，向右转，然后朝旋转后的方向走3km后，他离最开始的出发点的距离恰好为km，那么的值为__________2.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB．eq\r(3)akmC．eq\r(2)akm D．2akm3.有一长为10m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸()A．5mB．10mC．10eq\r(2)mD．10eq\r(3)m4.江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距()A．10eq\r(3)mB．100eq\r(3)mC．20eq\r(3)m D．30m5.如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为()A．50eq\r(2)mB．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)mD．eq\f(25\r(2),2)m6.一船以24km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是______km.(精确到0.1km)7.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20nmile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A．20(eq\r(2)＋eq\r(6))nmile/hB．20(eq\r(6)－eq\r(2))nmile/hC．20(eq\r(6)＋eq\r(3))nmile/hD．20(eq\r(6)－eq\r(3))nmile/h能力提升8.某海岛周围38nmile有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30nmile后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．9.甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以anmile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是eq\r(3)anmile/h，问甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇？10.在某海滨城市附近海面有一台风．据监测，当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南θ(cosθ＝eq\f(\r(2),10))方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？11.在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30m，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔走10eq\r(3)m，测得塔顶的仰角为4θ，试求角θ的度数．12.碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A处进行海上作业，“白