2024年天津市红桥区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年天津市红桥区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）cos30°等于（）A． B． C． D．12．（3分）如图图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝2x+1 B．y＝﹣ C．y＝2x2+x+1 D．y＝﹣4．（3分）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A． B． C． D．5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为E（）A．sinA＝ B． C． D．6．（3分）若一元二次方程2x2+3x﹣6＝0的两个根分别为x1，x2，则x1•x2的值等于（）A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．37．（3分）若两个相似多边形的面积之比为1：3，则它们的相似比为（）A．1： B．1：3 C．1：6 D．1：98．（3分）若点A（x1，﹣3），B（x2，﹣1），C（x3，1）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系为（）A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x2＜x19．（3分）如图，在▱ABCD中，E是边AB上一点，DE相交于点F．若，则等于（）A． B． C． D．10．（3分）已知一次函数y＝kx+m（k，m为常数，k≠0）的图象如图所示，则二次函数y＝kx2+m和反比例函数y＝在同一坐标系中的图象大致是（）A． B． C． D．11．（3分）如图，为测量旗杆高度，小亮在脚下P处水平放置一平面镜（保持脚、平面镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在平面镜中看到旗杆的顶端．若小亮的眼睛离地面的高度为1.6m，小亮与平面镜的水平距离为2m，则旗杆的高度为（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m12．（3分）已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）与x轴的一个交点的坐标为（6，0），对称轴为直线x＝2．有下列结论：①a﹣b+c＞0；②方程cx2+bx+a＝0的两个根为x1＝﹣，x2＝；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜2＜x2，且x1+x2＞4，则y1＞y2．其中，正确结论的个数是（）A．﹣0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）一个不透明的袋子里装有8个球，其中有5个红球，3个黑球，则摸出的球是红球的概率为．14．（3分）tan45°+2sin30°的值等于．15．（3分）反比例函数的图象经过点P（﹣1，2），则此反比例函数的解析式为．16．（3分）若二次函数y＝﹣x2+x+k（k为常数）的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，BD于点E，F，再分别以点E，大于EF长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，N，垂足为O，则CN的长为．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC内接于圆，C均在格点上，顶点B在网格线上．（Ⅰ）线段AC的长等于；（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个以AB为边的矩形ABPQ，Q的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，求sinC，tanC的值．20．（8分）如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，若AB＝8，AC＝6，AE＝4．（Ⅰ）求证：∠ADE＝∠ACB；（Ⅱ）若BC＝7，求DE的长．21．（10分）已知P（2，3）在反比例函数y＝（m为常数，且m≠﹣2）的图象上．（Ⅰ）求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限；（Ⅱ）判断点A（3，2），B（4，﹣2），C（﹣1，﹣6）是否在该反比例函数的图象上，并说明理由；（Ⅲ）若Q为x轴上一点，且OP＝PQ，求△OPQ的面积．22．（10分）已知AB与⊙O相切于点B，直线AO与⊙O相交于C，D两点（AO＞AC）的中点，连接OE并延长（Ⅰ）如图①，若E为OF的中点，求∠A的大小；（Ⅱ）如图②，连接BD与OF相交于点G，求证：∠D＝∠F．23．（10分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东61°方向上的A处，它沿正南方向航行70海里后（结果取整数）．参考数据：tan61°≈1.8，取1.4．24．（10分）在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（2，0），B（2，2），C，D分别为OA，逆时针旋转△OCD，得△OC'D'，D的对应点分别为点C′，D′．（Ⅰ）填空：如图①，当点D'落在y轴上时，点D'的坐标为，点C′的坐标为；（Ⅱ）如图②，当点C′落在OB上时，求点D'的坐标和BD'的长；（Ⅲ）若M为C'D'的中点，求BM的最大值和最小值（直接写出结果即可）．25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+4（a，b为常数，a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，其顶点为D．（Ⅰ）求该抛物线的解析式；（Ⅱ）求四边形ACDB的面积；（Ⅲ）若P是直线BC上方该抛物线上一点，且∠ACO＝∠PBC，求点P的坐标．

2024年天津市红桥区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）cos30°等于（）A． B． C． D．1【解答】解：cos30°＝．故选：C．2．（3分）如图图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；B．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；C．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；D．该图形既是轴对称图形，故此选项符合题意．故选：D．3．（3分）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝2x+1 B．y＝﹣ C．y＝2x2+x+1 D．y＝﹣【解答】解：A、y＝2x+1是一次函数；B、是正比例函数；C、y＝2x2+x+1是二次函数，故此选项不符合题意；D、是反比例函数；故选：D．4．（3分）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从正面看，一共有三列、1、3．故选：A．5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为E（）A．sinA＝ B． C． D．【解答】解：∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠ABC＝90°，A、sinA＝；B、结论正确；C、tanA＝；D、tanA＝．故选：B．6．（3分）若一元二次方程2x2+3x﹣6＝0的两个根分别为x1，x2，则x1•x2的值等于（）A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3【解答】解：∵一元二次方程2x2+7x﹣6＝0的两个根分别为x7，x2，∴x1•x6＝﹣＝﹣4．故选：C．7．（3分）若两个相似多边形的面积之比为1：3，则它们的相似比为（）A．1： B．1：3 C．1：6 D．1：9【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比为1：3，∴两个相似多边形的相似比为8：．故选：A．8．（3分）若点A（x1，﹣3），B（x2，﹣1），C（x3，1）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系为（）A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x2＜x1【解答】解：∵点A（x1，3）、B（x7，﹣1）、C（x3，8）在反比例函数y＝的图象上，又∵y＞0时，x＞6，x＜0，即x1＞6，x3＞0，x5＜0，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴x7＜x3，综上可知：x2＜x4＜x3，故选：B．9．（3分）如图，在▱ABCD中，E是边AB上一点，DE相交于点F．若，则等于（）A． B． C． D．【解答】解：∵，∴，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴＝，△AEF∽△CDF，∴．故选：C．10．（3分）已知一次函数y＝kx+m（k，m为常数，k≠0）的图象如图所示，则二次函数y＝kx2+m和反比例函数y＝在同一坐标系中的图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：根据一次函数y＝kx+m的图象可知，k＜0，∴反比例函数y＝在第二，排除选项B、D；二次函数y＝kx2+m图象开口向下，排除选项C，故选：A．11．（3分）如图，为测量旗杆高度，小亮在脚下P处水平放置一平面镜（保持脚、平面镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在平面镜中看到旗杆的顶端．若小亮的眼睛离地面的高度为1.6m，小亮与平面镜的水平距离为2m，则旗杆的高度为（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m【解答】解：如图，由题意得，BP＝2m，根据镜面反射可知∠APB＝∠EPD，∵AB⊥BE，DE⊥BE，∴∠ABP＝∠DEP＝90°，∴△ABP∽△DEP，∴，即，∴ED＝8（m），故选：B．12．（3分）已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）与x轴的一个交点的坐标为（6，0），对称轴为直线x＝2．有下列结论：①a﹣b+c＞0；②方程cx2+bx+a＝0的两个根为x1＝﹣，x2＝；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜2＜x2，且x1+x2＞4，则y1＞y2．其中，正确结论的个数是（）A．﹣0 B．1 C．2 D．3【解答】解：画出抛物线大致示意图：由图象可知：a＜0，b＜0，抛物线与x轴另一个交点为（﹣6，①当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0；②由cx2+bx+a＝0可得方程的两根关系为：x1+x6＝﹣，x1x2＝，∵方程ax5+bx+c＝0的两根为﹣2，8，∴﹣＝4，＝﹣，而若方程cx2+bx+a＝0的两个根为x7＝﹣，x6＝；则﹣＝﹣，，故方程cx2+bx+a＝0的两个根为x4＝﹣，x8＝；②正确；③抛物线开口向下，对称轴为直线x＝81＜2＜x8，且x1+x2＞2，则点P（x1，y1）到对称轴的距离小于点（x7，y2）到对称轴的距离，则y1＞y8．③正确．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）一个不透明的袋子里装有8个球，其中有5个红球，3个黑球，则摸出的球是红球的概率为．【解答】解：∵盒子中装有5个红球，3个黑球，∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是；故答案为：．14．（3分）tan45°+2sin30°的值等于2．【解答】解：tan45°+2sin30°＝1+5×＝5，故答案为：2．15．（3分）反比例函数的图象经过点P（﹣1，2），则此反比例函数的解析式为y＝﹣．【解答】解：设y＝，∵图象经过点P（﹣1，2），∴2＝，解得：k＝﹣2，∴y关于x的解析式为y＝﹣，故答案为：y＝﹣．16．（3分）若二次函数y＝﹣x2+x+k（k为常数）的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是k＞﹣．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+x+k（k为常数）的图象与x轴有两个公共点，∴b2﹣7ac＝12﹣2×（﹣1）×k＞0，解得k＞﹣，故答案为：k＞﹣．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，BD于点E，F，再分别以点E，大于EF长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，N，垂足为O，则CN的长为2．【解答】解：设BP交CD于K，过K作KH⊥BD于H，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCK＝∠CDN＝90°，CD＝AB＝4，∵BC＝3，∴BD＝＝5，∵△BCD的面积＝△BCK的面积+△BDK的面积，∴BC•CD＝BD•KH，由题意知：BP平分∠CBD，∵KH⊥BD，KC⊥BC，∴CK＝KH，∴6×4＝3CK+2CK，∴CK＝，∴BK＝＝，∵CO⊥BO，∴∠CBK+∠BCO＝∠DCN+∠BCO，∴∠CBK＝∠DCN，∵∠BCK＝∠CDN，∴△CDN∽△BCK，∴CN：BK＝CD：BC，∴CN：＝4：6，∴CN＝2．故答案为：2．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC内接于圆，C均在格点上，顶点B在网格线上．（Ⅰ）线段AC的长等于；（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个以AB为边的矩形ABPQ，Q的位置是如何找到的（不要求证明）取格点D，连接CD交圆于P，连接AP，取格点E，连接AE交圆于F，连接CF交AP于O，连接BO并延长交圆于Q．【解答】解：（1）由图可知，AC＝＝；故答案为：；（2）取格点D，连接CD交圆于P，取格点E，连接CF交AP于O，连接AQ，PB四边形ABPQ即为所求．理由：由图可知AC⊥CD，AE⊥AC，∴∠ACP＝∠FAC＝90°，∴AP，CF是圆的直径，∴圆的圆心为O，∴BQ是⊙O的直径，∴∠BAQ＝90°，∵AP是⊙O的直径，∴∠AQP＝∠ABP＝90°，∴四边形ABPQ是矩形．故答案为：取格点D，连接CD交圆于P，取格点E，连接CF交AP于O．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，求sinC，tanC的值．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，∴BC＝＝3，则sinC＝＝；cosC＝＝＝．20．（8分）如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，若AB＝8，AC＝6，AE＝4．（Ⅰ）求证：∠ADE＝∠ACB；（Ⅱ）若BC＝7，求DE的长．【解答】证明：（1）AB＝8，AC＝6，AE＝4，∴，又∵∠EAD＝∠BAC，∴△ADE∽△ACB，∴∠ADE＝∠ACB．（2）解：由（1）知，△ADE∽△ACB，∴，即，∴DE＝．21．（10分）已知P（2，3）在反比例函数y＝（m为常数，且m≠﹣2）的图象上．（Ⅰ）求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限；（Ⅱ）判断点A（3，2），B（4，﹣2），C（﹣1，﹣6）是否在该反比例函数的图象上，并说明理由；（Ⅲ）若Q为x轴上一点，且OP＝PQ，求△OPQ的面积．【解答】解：（I）∵P（2，3）在反比例函数y＝，且m≠﹣2）的图象上，∴m+2＝6×3＝6＞3，∴m＝4，且该反比例函数的图象在第一；（II）∵3×6＝6，4×（﹣2）＝﹣8≠6，∴点A（4，2）和C（﹣1，点B（3；（III）∵Q为x轴上一点，且OP＝PQ，∴Q（4，0），∴OQ＝2，∴△OPQ的面积＝×3×3＝6．22．（10分）已知AB与⊙O相切于点B，直线AO与⊙O相交于C，D两点（AO＞AC）的中点，连接OE并延长（Ⅰ）如图①，若E为OF的中点，求∠A的大小；（Ⅱ）如图②，连接BD与OF相交于点G，求证：∠D＝∠F．【解答】（Ⅰ）解：连接OB，如图①，∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AF，∴∠OBF＝90°，∵E为OF的中点，∴OE＝EF，∴OF＝2OB，在Rt△OBF中，∵cos∠BOF＝＝，∴∠BOOF＝60°，∵点E为的中点，∴∠DOE＝∠BOE＝60°，∴∠AOB＝60°，∴∠A＝90°﹣60°＝30°；（Ⅱ）证明：连接OB，如图②，∵点E为的中点，∴OE⊥BD，∴∠OGB＝90°，∵∠OBD+∠BOF＝90°，∠BOF+∠F＝90°，∴∠OBD＝∠F，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠D，∴∠D＝∠F．23．（10分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东61°方向上的A处，它沿正南方向航行70海里后（结果取整数）．参考数据：tan61°≈1.8，取1.4．【解答】解：过点P作PC⊥AB于P，设PC＝xnmile，由题意得，∠A＝61°，AB＝70nmile，在Rt△PCB中，∠B＝45°，∴BC＝PC＝x（nmile），PB＝x（nmile），在Rt△ACP中，∠A＝61°，则AC＝≈，由题意得，+x＝70，解得，x＝45，则PB＝x≈64（nmile），答：海轮距灯塔的距离BP约为64nmile．24．（10分）在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（2，0），B（2，2），C，D分别为OA，逆时针旋转△OCD，得△OC'D'，D的对应点分别为点C′，D′．（Ⅰ）填空：如图①，当点D'落在y轴上时，点D'的坐标为（0，2），点C′的坐标为（，）；（Ⅱ）如图②，当点C′落在OB上时，求点D'的坐标和BD'的长；（Ⅲ）若M为C'D'的中点，求BM的最大值和最小值（直接写出结果即可）．【解答】解：（1）过C'作C'H⊥x轴于H，如图：∵B（2，2），D为OB中点，∴D（1，），∴OD＝＝2，∵以点O为中心，逆时针旋转△OCD，∴OD'＝OD＝2，∵点D'落在y轴上，∴D'（5，2）；∵A（2，3），∴OC＝OA＝6＝OC'，∵A（2，0），4），∴AB⊥x轴，tan∠AOB＝＝，∴∠AOB＝60°＝∠COD＝∠C'OD'，∴∠C'OH＝90°﹣60°＝30°，∴C'H＝OC'＝C'H＝，∴C'（，）；故答案为：（0，4）；（，）；（2）当点C′落在OB上时，过D'作D'M⊥x轴于M由（1）知∠AOB＝60°，∠C'OD'＝60°，∴∠D'OG＝180°﹣∠AOB﹣∠C'OD'＝60°，∴∠GD'O＝30°，∴OG＝OD'＝1OG＝，∴D'（﹣1，）；∵B（5，2），∴BD'＝＝2；∴点D'的坐标为（﹣7，），BD'的长为2；（3）如图：∵C，D分别为OA，∴CD是△AOB的中位线，∴CD∥AB，CD＝×2＝，∴∠DCO＝∠BAO＝90°，∵以点O为中心，逆时针旋转△OCD，∴∠D'C'O＝∠