南山中学2024年春季2022级3月月考数学试题

2024年3月南山中学2024年春季2022级2024年3月命题人：梁泽建审题人：文媛张韬第Ⅰ卷单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．已知等差数列中，，，则=()A． B． C． D．2．已知等比数列，则数列的前10项和为()A．55 B．110 C．511 D．10233．某银行为客户定制了A，B，C，D，E共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如下的统计图：用该样本估计总体，以下四个说法错误的是()A．44~56周岁人群理财人数最多B．18~30周岁人群理财总费用最少C．B理财产品更受理财人青睐D．年龄越大的年龄段的人均理财费用越高4．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，，则()A．1 B．2 C．3 D．45．我国古代数学论著中有如下叙述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四．”意思如下：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层的下一层所挂灯数是上一层所挂灯数的2倍．下列结论不正确的是()A．底层塔共挂了128盏灯B．顶层塔共挂了2盏灯C．最下面3层塔所挂灯的总盏数比最上面3层塔所挂灯的总盏数多200D．最下面3层塔所挂灯的总盏数是最上面3层塔所挂灯的总盏数的16倍6．任意抛掷一次骰子，朝上面的点数记为X，则，定义事件：，，，则()A． B．C． D．B，C相互独立7．已知数列满足，则()A． B． C． D．8．已知各项都不为零的无穷数列满足:，若为数列中的最小项，则的取值范围是()二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知为等差数列，满足为等比数列，满足，则下列说法正确的是()A．数列的首项为4 B．C． D．数列的公比为10.已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为5，则()A.B.这组数据的众数和中位数均为4C.这组数据的方差为3.8D.若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的方差不变11.设是等差数列的前项和，若，且，则下列选项中正确的是()A． B．为的最大值C．存在正整数，使得 D．不存在正整数，使得12.某个足球俱乐部为了提高队员的进球水平，开展罚点球积分游戏，开始记0分，罚点球一次，罚进记2分，罚不进记1分．已知该俱乐部某队员罚点球一次罚进的概率为，罚不进的概率为，每次罚球相互独立．若该队员罚点球积分为的概率为.下列说法正确的是()A.B.C.D.积分为2分时的概率最大第Ⅱ卷三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）13．裴波那契数列的前7项是1，1，2，3，5，8，13，则该数列的第8项为．14．如图所示，电路原件，，正常工作的概率分别为，，，则电路能正常工作的概率为．已知数列满足(n∈N*)，且，则.16．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(满分10分)文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中的值；(2)求样本成绩的第75百分位数；(3)现从该样本成绩在与两个分数段内的市民中按分层抽样选取6人，求从这6人中随机选取2人，且2人的竞赛成绩之差的绝对值大于20的概率.18．(满分12分)已知等比数列的首项，公比，数列满足．(1)证明：数列为等差数列；(2)设数列前项和为，求使的所有正整数的值的和．19．(满分12分)某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答问题正确与否互不影响.(1)分别求甲队总得分为1分和2分的概率；(2)求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率.20．(满分12分)已知等差数列的前项和为，，其中、、成等比数列.等比数列的前项和为，且().(1)求数列、的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.21．(满分12分)已知数列，若，且.(1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式；(2)若，且数