2023-2024学年上海市黄浦区九年级上学期期中考试数学试卷含详解

九年级数学

（满分100分，考试时间90分钟）

一、选择题（本大题有6小题，每题4分，满分24分）

1如果5x=3y（X、均不为零），那么x：y的值是（）

5335

A.-B,-C.-D.一

3588

2.已知RtZ\ABC中，NC=90。，ZCAB=a,AC=7,那么BC（）

A.7sinaB.7cosaC.7tanaD.7cota

3.在一A5C中，点Z）、E分别在A3、AC上，如果AO=2,BD=3,那么由下列条件能够判定。石〃BC的

是（）

DE2DE2AE2AE2

A.-----=-B.-----=一-----=-D.-----——

BC3BC5AC3AC5

4.下列命题正确的是（）

A.如果|。|=|。|,那么a=）

B.如果4、力都是单位向量，那么

C.如果（左W0）,那么a〃。

D如果机=0或〃=0，那么洸。=0

5.如图，D、E分别是aABC的边A3、BC上的点，KDE//AC,AE.CD相交于点。，若SAQOE：SACOA=1：25,

则S"3E与的比是（）

A.1：3B,1：4C.1：5D,1：25

6.如图，。是一ABC边3c上的一点，N84O=NC,NA8C的平分线交边AC于点E，交AD于点尸，则图中

一定相似三角形有（）

A

E

BC

D

A.1对B.2对C.3对D.4对

二、填空题（本大题有12小题，每题4分，满48分）

x-y

7.如果x:y=5:3,那么--=.

y

8.如果在比例尺为1：1000000的地图上，A,B两地的图上距离是1.6厘米，那么A、3两地的实际距离是

千米.

9.若Q是线段延长线上一•点，已知MN=a，QN=b，则MQ=.（用含。、。表示）

10.设点P是线段45的黄金分割点（4。＜8夕），43=2厘米，那么线段3P的长是_________厘米.

2

11.如图，直线AO〃BE〃CF,BC=—AB,DE=6,那么EF值是______.

3

12.已知点G是等腰直角三角形ABC的重心，AC=BC=6,那么4G的长为.

13.如图，小红晚上由路灯A下的8处走到C处时，测得影子C。的长为1米，继续往走2.5米到达E处时，测得

影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A离地面的高度AB的长为米.

14.如图，四边形DEFG是-ABC的内接矩形，其中。、G分别在边AB、AC上，点E、P在边8C上,

DG=2DE,A”是的高，BC=20，A4=15,那么矩形QEFG的周长是.

15.边长分别为10,6,4三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为

10

16.如图已知在中，NC=90。，AB=5,cotB=-,正方形DEFG的顶点G、尸分别在边AC、BC

2

上，点O、E在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长为.

17.新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角

线”.已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4,它的面积是.

18.如图，在RtAiABC中，ZACB=90°,C£＞是"SC的角平分线，AC:3c=3:4.将RtZ\48C绕点A旋

转，如果点C落在射线CO上，点B落在点E处，连接。后，那么的正切值为.

三、解答题（本大题满分78分）

2sin30°

19.计算:+|cot300-l|.

2cos450-tan45°

20.如图，已知平行四边形ABC。，点M、N是边DC、8c的中点，设AB=a，AD=b-

（1）求向量MN；

（2）在图中求作向量MN在AB、AO方向上的分向量.（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）.

AB

21.已知：如图，在aABC中，AB=13,AC=8,cosZBAC=—,BD±AC,垂足为点D,E是BD的中点，连

13

接AE并延长，交边BC于点F.

（1）求NEAD的余切值；

(2)求B管F的值.

DEBD

22.如图，在_ABC中，点。、E分别在边A3、AC上，连接OE、BE,ZABE-ZAED，~BE~~CE

(1)求证：DE//BC；

(2)若SODE=1,S四边形DBCE—8，求.8D£的面积.

23.如图，四边形ABC。是平行四边形，AE_L8C于E，AF_LC£＞于求证:

(1)_ABESJADF；

(2)CDEF=ACAE.

24.已知：如图，ABC各顶点的坐标分别是A((),-4)、8(—2,0)、C(4,0).

(1)求/B4C的余切值；

(2)若点P在)'轴的正半轴，且△20。与幺08相似，请直接写出点P的坐标;

(3)已知点”在y轴上，如果NQWB—NQ46=NACB,求点M的坐标.

25.已知：如图，在矩形ABC。中，A3=3,AD=4,E是对角线5。上一点(与反。不重合)，EF平分

NAE£）交边AO于点REG_LAE,交AE于点G.

备用图

（1）当政工AD时，求所长；

（2）当4A产G与△BCD相似时，求NDE/的正切值；

（3）如果1）£尸的面积是一瓦6面积的2倍，求3E的长.

九年级数学

（满分100分，考试时间90分钟）

一、选择题（本大题有6小题，每题4分，满分24分）

1如果5x=3y（X、均不为零），那么x：y的值是（）

5335

A.-B.-C.—D.一

3588

【答案】B

【分析】等式两边同除以5y即可得到答案.

5r3vx3

【详解】解：等式两边同除以5y,可得：7=十，即一=三，

5y5yy5

故选B.

【点睛】本题考查比例式的性质，熟练掌握比例内项之积等于比例外项之积是解题关键.

2.已知RtZiABC中，ZC=90°,ZCAB=a,AC=7,那么BC为（）

A.7sinaB.7cosaC.7tanaD.7cota

【答案】C

【分析】根据题意画出图形，由锐角三角函数的定义解答即可.

解：・・・RtZiABC中，ZC=90°,ZCAB=a,AC=7,

BCBC

tana=----=

AC

.'.BC=7tana.

故选C.

【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜

边，正切为对边比邻边.

3.在中，点。、£分别在A3、AC上，如果AO=2，BD=3,那么由下列条件能够判定。?〃BC的

是（）

DE2DE_2AE2AE2

A.------B.-----=C.-=---—-D.—=

BC-3BC-5AC3AC5

【答案】D

【分析】利用如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形

的第三边可对各选项进行判断即可.

【详解】解：AD=2,BD=3,

AD_2

A8-5

…口ADAE2

理由是：,/——=—=—,NA=NA，

ABAC5

_ADE"ABC,

•••Z4DE=ZB，

:.DE//BC,

而其它选项都不能推出ADE^.ABC,即不能推出=或NA£D=NC,即不能推出。七〃8C，

即选项A、B、C都错误，只有选项D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

4.下列命题正确的是（）

A.如果lal=lbl，那么

B.如果a、b都是单位向量，那么。=匕

C.如果。=北匕（kWO）,那么q〃8

D.如果〃?=0或a=0，那么"2。=0

【答案】C

【分析】根据向量的定义和要素即可进行判断.

【详解】解：A.向量是既有大小又有方向，Ia1=16表示有向线段的长度，a=力表示长度相等，方向相同，所以

A选项不正确;

B.长度等于1的向量是单位向量，所以8选项不正确;

C.a=kb（kW0）〃匕，所以C选项正确;

D.如果加=0或4=0，那么帆a=0，不正确.

故选：c.

【点睛】本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键.

5.如图，。、E分别是AABC的边AB、BC上的点，KDE//AC,AE、CD相交于点0,若SAOOE：SACOA=1：25,

则SABOE与SACDE的比是（）

A.1：3B.1：4C.1：5D.1：25

【答案】B

【详解】解：,••£>£〃AC,

：./\DOE^/\COA,

又SADOE：SACOA=1：25,

.DE1

--=-f

AC5

■:DE//NC,

:ABDEs/XBAC,

*BEDE1

••——,

BCAC5

.BE1

••=—,

EC4

；.SA8DE与SACOE的比是1：4,

故选B.

6.如图，力是ABC边BC上的一点，/84。=/。,/，钻。的平分线交边4。于点后，交AD于点/，则图中

一定相似三角形有（)

B.2对C.3对D.4对

【答案】C

【分析】由已知条件和有两个角对应相等的三角形相似即可完成.

【详解】在与，。BA中,

,•*ZABD=ZABD,ZBAD=ZC,

jABCs^DBA,

在△AB/7与△€■班中，

VBF平分NABC,

：.ZABF=ZCBE,

又NBAF=/BCE,

:.」ABFsjCBE.

■:「ABCs_DBA,

：.ZBAC=ZADB,

ZABF=ZCBE,

AABES/^DBF,

所以图形中共有3对相似三角形.

故选C.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，角平分线的定义，根据条件寻找相似三角形是本题的难点.

二、填空题（本大题有12小题，每题4分，满48分）

X一V

7.如果尤：y=5:3,那么----二.

y

【答案】|2

【分析】根据x：y=5:3得到x=把它代入后面的式子求出比值.

【详解】解：♦.•x:y=5:3,

/.3x=5y,即工=全，

5

二工一＞_3_2.

）一y—§

_2

故答案是：—.

【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例基本的性质.

8.如果在比例尺为1：1000000的地图上，A,5两地的图上距离是1.6厘米，那么A、8两地的实际距离是

__________千米.

【答案】16

【分析】实际距离=图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离.

【详解】解：根据题意，1.6——5—=1600000厘米=16千米.

即实际距离是16千米.

故答案为：16.

【点睛】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的

转换.

9.若。是线段MN延长线上一点，已知MN=a，QN—b>则MQ=__.（用含a、8表示）

【答案】a—b

【分析】根据向量的线性运算法则进行计算即可.

【详解】解：•；QN=/?,

NQ=-QN=-h，

又MN=a,

•*-MQ=MN+NQ=a-h

故答案为：a—b

【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

10.设点P是线段的黄金分割点（AP<8P）,AB=2厘米，那么线段3P的长是厘米.

【答案】（石—1）##（-1+不）

【分析】根据黄金分割点的定义可知BP2=A8-AP，由此列出一元二次方程，即可求解.

【详解】解：点P是线段的黄金分割点，AP<BP,

..BP?=ABAP，SPBP2AB（AB-BP）,

令BP=x,则x2=2x（2-x）

即/+2%-4=0，

A=22-4xlx（-4）=20>0,

—2+G—4X1X（4）=«T，一27f）一飞（舍）

22

，线段BP的长是（石-1）厘米.

故答案为：（石—1）.

【点睛】本题考查黄金分割点、解一元二次方程，根据黄金分割点的定义列出一元二次方程是解题的关键.

2

11.如图，直线AD〃5E〃CRBC=-AB,DE=6,那么即的值是.

【答案】4.

2

【详解】：AD〃BE〃CF,BC^-AB,

3

.DEAB_3

•«---————,

EFBC2

63

即Hn=—,

EF2

解得EF=4.

故答案为4.

点睛：本题利用平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

12.已知点G是等腰直角三角形ABC重心，AC=BC=6,那么4G的长为.

【答案】2亚

【分析】根据等腰直角三角形的性质，求出CO的长，然后根据重心的性质可知。G=；CO,最后由勾股定理可

求得AG的长

【详解】连接CG并延长交AB于点。，

•••CO是等腰直角三角形ABC斜边的中线

CD=-AB=-VAC2+BC2=-XV36+36=372

222

；点G是等腰直角三角形ABC的重心，

•"DG=—CD=V2,且AD=CD=3-^2

在RtADG中，根据勾股定理得：

AG=y/Alf+DG2=J18+2=275

【点睛】本题考查的等腰直角三角形的性质，重心的性质，熟知重心的性质是解题的关键

13.如图，小红晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CO的长为1米，继续往走2.5米到达£处时，测得

影子EE的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A离地面的高度AB的长为米.

八।身图路灯的图度广工.5AB1.5AB_„।,1.5

分析】由讪”■一”“‘可得丁=、，—=—>解z得，A4BD=\.5BD,ADB=—DBrF,ni,则

影长路灯的影长IBD2BF2

BF=2BD,由BD=BF—BD=DF=CE-CD+EF=35,代入可求AB.

身高=路灯的高度

【详解】解：而一路灯的影长

.1.5AB1.5_AB

•.---------

1BD彳一茄’

解得，AB=1.5BD,AB^—BF,

2

BF=2BD，

■:BF-BD=BD=DF=CE—CD+EF=25—1+2=35,

AB=1.5x3.5=5.25,

故答案为：5.25.

身高一路灯的高度

【点睛】本题考查了相似三角形的应用.解题的关键在于熟练掌握:影《一路灯的影长.

14.如图，四边形DEFG是的内接矩形，其中。、G分别在边AB、AC上，点E、尸在边8C上,

DG=2DE,A”是一ABC的高，BC=20,A4=15,那么矩形。EFG的周长是

【答案】36

【分析】根据四边形。EFG是ABC的内接矩形，可得DG〃EF,/KDE=NDEH=90°,证明四边形

DEHK是的矩形，可推导出K"=DE，AK是△A0G的高，根据相似三角形的性质可得生=生，代入数

BCAH

据可得结论.

【详解】解：设AH交。G于点K，

：A”是一ABC的高，

ZAHB=90°,

V四边形DEFG是_A8C内接矩形，

ADG//EF,/KDE=ZDEH=9Q0,

四边形DE”K是矩形，

:.NDKH=90。,KH=DE，

ZAKD=1800-ZDKH=180°-90°=90°,即AK是△ADG的高,

VDG//EF,DG=2DE,BC=2Q,AH=15,

AADG^ZXABC,

.DGAKAH-KHAH-DE

~AH---AH-'

.IDE15-DE

••一,

2015

解得：DE=6,

：.DG=2DE=2x6=12,

四边形。EFG的周长是：2x(6+12)=36.

故答案为：36.

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质.掌握相似三角形的

判定和性质是解题的关键.

15.边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为

【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解.

【详解】解：如图，

10D

由题意可知AD=DC=10,CG=CE=GF=6,NCEF=ZEFG=90°,GH=4,

：.CH=\Q=AD,

•:ND=ZDCH=90°,ZAJD=ZHJC,

ADJ乌HCJg0,

CJ-DJ=5,

.•㈤=1,

•••GI//CJ,

/..HG"HCJ,

.GI_GH_2

"c7-CW-5'

:.GI=2,

；•FI=4,

・"梯形丽=g(&+H>E『=15；

故答案为15.

【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与

判定是解题的关键.

16.如图已知在。中，NC=90。，48=5,cot8=—,正方形OEFG的顶点G、尸分别在边AC、BC

2

上，点。、£在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长为.

【分析】由正方形。EFG,设.DE=DG=EF=x,由NA+NAG£>=90°=NA+N5,可得NAGD=N8,

,即型=股1xBE

则cotZAGD=cotB=—解得，AD=2x,BE=-X,根据

2ADEF2ADx22

AB=AD+DE+BE=5,代值计算求解即可.

【详解】解：..•正方形。瓦G,

\NADG=4BEF=9Q。，DE=DG=EF,

设DE=DG=EF=x,

：ZA+ZAGD^90°^ZA+ZB,

••ZAGD=ZB,

*.cotZ.AGD=cotB=—•,即——=――=—

2ADEF2

白=强=；，解得，

AD=2x,BE=­x,

ADx22

；AB=AD+DE+BE^5,

10

2x+xH—x-5,解得,x——

27

故答案为：—.

【点睛】本题考查了正方形的性质，余切，一元一次方程的应用.解题的关键在于正确表示余切，确定线段之间

的数量关系.

17.新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角

线”.已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4,它的面积是.

【答案】4+40或12

【分析】分两种情况，结合勾股定理，即可求解.

【详解】解：如图，在梯形ABC。中，AD^BC,二ABC是等腰直角三角形，AO=AC=4,

22

•••AB+BC=2AB2=AC?=16,

•••AB=2五,

梯形ABC。的面积为g（8C+AO）xA8；（2夜+4）x2夜=4+4夜;

如图，在梯形A3CO中，AD〃BC,是等腰直角三角形，CD=AC=4,

AD

：./BAD=/B=90°，ABAC=45°，

：.NG4O=NO=45。，

^ACD=90°,

A.AC£＞是等腰直角三角形，

；•AD=及AC=4拉，

梯形ABCQ的面积为g（BC+AD）xAB=g（2夜+4夜卜2a=12；

如图，在梯形ABCQ中，AD^BC,ABC是等腰直角三角形，CD=AC=4；

综上所述，它的面积为4+4夜或12.

故答案：4+4血或12

【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形，梯形，利用分类讨论思想解答是解题的关键.

18.如图，在Rtz^ABC中，ZACB=90°,C£＞是JSC的角平分线，4C:BC=3:4.将RtZ\48C绕点A旋

转，如果点C落在射线CO上，点B落在点七处，连接。E，那么/血＞的正切值为.

3

【答案】-

7

【分析】设点C落在射线CO上的点C处，设AC=3x,BC=4x,根据角平分线的性质和旋转的性质可得

90°=NE4B=NC4C',进而得到AC'〃3C，即可求解.

【详解】解：设点C落在射线CD上的点C'处，如图，

VZACB=90°,AC:BC=3:4,.

设AC—3x，BC=4x，

则AB=y/AC2+BC2=5x，

•••CD是的角平分线，

:.ZACD^ZDCB=45°,

；将RtZsABC绕点A旋转，

AAC^AC',ZCAB=ZC'AE,A8=A£=5x,

ZACD=ZAC'C=45°=ZDCB,ZEAB=ZCAC,

：.90°=ZEAB=ZCAC,

:.AC//BC,

.•a*、①，

DBBC4

:4)+8£>=5x②

由①②得：AD^—x,

7

由旋转的性质可知，AE=A3=5x,

.…cAD3

*•tanNAEZ)----——)

AE7

3

故答案为：

7

【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转

角；旋转前、后的图形全等；计算出AO的长是解决问题的关键.

三、解答题(本大题满分78分)

19.计算：——2Sin30°——+|cot300-l|.

2cos450-tan45011

【答案】V2+V3

【分析】先代入特殊角三角函数值，再利用二次根式的运算法则进行计算.

2x-

详解】解：原式=-+|V3-1|

2x----1

2

-7=---H-\/3—1

V2-1

=V2+1+V3-1

=y[2+5/3•

【点睛】本题考查了特殊角三角函数的值的运算，二次根式的运算，牢记特殊角三角函数值是解题的关键.

20.如图，已知平行四边形ABC。，点M、N是边。C、8C的中点，设A8=a，AD=b-

（1）求向量MN；

（2）在图中求作向量MN在A3、AO方向上的分向量.（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）.

AB

【答案】（1）MN——a-—b；（2）见解析

22

【分析】（1）由四边形A8C。是平行四边形，可得又由点M、N是边DC、8c的中点，根据三角形中位线

的性质，即可求得向量MN；

（2）首先平移向量MN，然后利用平行四边形法则，即可求得答案.

【详解】解：（1）AB-（i，AD~b，

DB=AB-AD=a-b-

•.•点M、N分别为OC、BC的中点，

I11

:.MN=—DB=—a-—b；

222

（2）作图：结论：AP、AQ是向量分别在A8、AO方向上的分向量.

Q

【点睛】本题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质以及三角形的中位线的性质.注意掌握平行四边形法则

与三角形法则的应用是解此题的关键.

21.己知：如图，在aABC中，AB=13,AC=8,cosZBAC=—,BD1AC,垂足为点D,E是BD的中点，连

13

接AE并延长，交边BC于点F.

（1）求NEAD的余切值；

BF

（2）求=的值.

CDpS

【答案】（1）NEAD的余切值为一；（2）—=—.

6CF8

【分析】（1）在RtAAO8中，根据48=13,cos/BAC=—，求出40的长，由勾股定理求出8。的长，进而可求

13

出OE的长，然后根据余切的定义求NEA。的余切即可；

（2）过。作DG〃A广交BC于G,由平行线分线段成比例定理可得CDAD=CGtFG=3:5,从而可设

CD=3x,AD=5x,再由E尸〃OG,BE=ED,可知BF=FG=5x,然后可求BF：CF的值.

【详解】（1）VBD1AC,

ZADE=90°,

“5

Rt^ADB中，AB=13,cos/BAC=——,

13

；.AD=5,由勾股定理得：BD=12,

；E是BD的中点，

；.ED=6,

...NEAD的余切=黑=之；

ED6

（2）过D作DG〃AF交BC于G,

VAC=8,AD=5,・・.CD=3,

VDG//AF,

•.C•—D二CG_二3一,

ADFG5

设CD=3x,AD=5x,

•.♦EF〃DG,BE=ED,

；.BF=FG=5x,

•BF_5x_5

•♦丽一菽一引

【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，平行线分线段成比例定理.解（1）的关键是熟练掌握锐角三

角函数的概念，解（2）的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理.

DEBD

22.如图，在一ABC中，点£>、£分别在边A3、AC上，连接£>E、BE,ZABE=ZAED,——=——

BECE

⑵若=1,S四边形08c£=8，求，BDE的面积.

【答案】（1）证明过程见详解.

（2）次>£的面积为2.

【分析】（1）利用Z46E=NA£D先判定△ADESZ^4EB,得到乙期花二乙四从而证明N8OE=N3EC,结

Z）EBD

合——=—,证明△5£>EsACE5,得到ND3E=NC即可.

BECE

（2）利用△ADEsAABC及面积比值得到3OE=8C,通过△BDEs/xCEB得到百OE=8E，最后利用

△ADE^/\AEB求解即可.

【小问1详解】

证明：VZABE=ZAED,ZA=ZA.

/\ADEsaAEB,

/.ZADE=ZAEB，

•：ZADE+ZBDE=ZAEB+ZBEC=180。,

NBDE=NBEC,

「DEBD

又♦--------,

BECE

：.△BDEsREB

：.ZAED=ZDBE=NC,

：.DE//BC.

【小问2详解】

解：,•,DE〃8C,

/XADE^ABC,

又,•*S&ADE=1，S四边形0BC£=8

,,S4ADE：S&ABC=1：9,

3DE=BC,

：△BDEsMEB,

.BEDEBD

"~BC~~BE~~CE

y/3DE=BE，

又,:公ADEs公AEB,

：

•,^AAD£S&AEB=1：3,

*"S&ADE=］，

,,S&AEB=3,

S&BDE~S/^BAE—^AADE=3-1=2.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质的应用，能够熟练的根据条件判定三角形相似，并利用相似的性

质得到线段的比值是解题关键.

23.如图，四边形A8CD是平行四边形，AEL3c于E，AF_LCD于尸.求证：

（1）_ABESdADF；

（2）CDEF=ACAE.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【分析】（1）由A8CO是平行四边形，可知"=/£）,由AF1CD,可得

ZAEB=90°=ZAFD,进而可证_；

ABAEABAE

由ABCQ是平行四边形，可知BC=AD,AB=CD,由_ABES_AQE，可得=,即=,

ADAFBCAF

A3BC

—=——，由N84£+NB=90°=N84£+N£4F,可得/R=/FAF,证明,ABCsEAF,贝U

AEAF

ABAC即

0=/进而结论得证.

~AE~EFAEEF

【小问1详解】

证明：：ABC。是平行四边形,

:.ZB=ZD，

'：AEYBC,AFLCD,

：.ZAEB=90°=ZAFD,

:,dABEs一ADF；

【小问2详解】

证明：；ABCO是平行四边形，

ABC^AD,AB=CD,

•；dABEs^ADF，

.ABAEABAE

••--=----,即nn---------,

ADAFBCAF

.ABBC

"'~AE~~AF'

ZBAE+ZB=90°=ZBAE+ZEAF,

•••ZB=Z£AF，

ABCsEAF,

ABACCDAC

..——=——，即Hn——=——，

AEEFAEEF

：.CDEF=ACAE.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质.解题的关键在于确定相似三角形的判定条

件.

24.已知：如图，各顶点的坐标分别是A((),-4)、8(—2,0)、C(4,0).

(1)求NB4c的余切值；

(2)若点p在V轴的正半轴，且△POC与一AOB相似，请直接写出点P的坐标;

(3)已知点M在y轴上，如果NOMB—NQ43=NACB,求点M的坐标.

【答案】(1)-

3

(2)(0,8)或(0,-8)

(3)呻

【分析】(1)由两点距离公式可求AO=4=CO,3O=2,8C=6,ZBC4=45°,由直角三角形的性质可求

的长，即可求解；

(2)分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解;

(3)根据题意可得NOA/3=NB4C,再由cot/BAC=」，可得cot/BM。=)

,即可求解.

32

【小问1详解】

解：♦.•A(0,T)、8(—2,0)、C(4,0),

AO=4=CO,BO=2,

8C=6,NBC4=45°,

二AC=4万

如图1,过点8作BHJ_AC于H,

：.ZBCA=ZCBH=A5°,

：.BH=CH,

•••BC=y[2BH=6>

BH=3近=HC，

•••AH=6,

...coSC嘲噜1；

【小问2详解】

解：♦.•点P在)，轴上，

NPOC=ZAOB=90。,

当=段时，则AOBS；.COP,

COPO

•4一2

•.—,

4PO

PO—2，

二点户的坐标为(0,2)或(0,—2)；

当42=也时，贝AQBS；POC,

OPco

,42

••___—，

OP4

OP=8,

.•.点P的坐标为（0,8）或（0,—8）；

综上所述：当点P的坐标为（0,2）或（0,-2）或（0,8）或（0,—8）时，△POC与AQB相似;

【小问3详解】

解：:/OMB-/OAB=ZACB,NACB=NQ4C,

ZOMB=ZOAB+ZACB=ZOAB+ZOAC=ABAC,

由（1）得：cotZBAC=-,

3

/.cotZBMO=-,

3

.MOMO

：.MO=~,

3

此时点M的坐标为（0,-g［或（o。］.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直角三

角形的性质是解题的关键.

25.已知：如图，在矩形A8CD