2022-2023学年江西省赣州市南康第八中学高二数学文下学期摸底试题含解析

2022-2023学年江西省赣州市南康第八中学高二数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在研究打酣与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“打酣与患心脏病有关”的结论，并且有以上的把握认为这个结论是成立的。下列说法中正确的是（

）A．100个心脏病患者中至少有99人打酣B．1个人患心脏病，那么这个人有99%的概率打酣C．在100个心脏病患者中一定有打酣的人D．在100个心脏病患者中可能一个打酣的人都没有参考答案：D2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若c=,b=,B=120o，则a等于

（

）A．

B．2

C．

D．参考答案：D3.已知方程的图象是双曲线，那么k的取值范围是（）A．B．C．或D．参考答案：C略4.“|x|<2”是“x2-x-6<0”的（

）A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

参考答案：A5.函数在处的切线与直线垂直，则的值为（

）（A）3

（B）2

（C）1

（D）－1参考答案：C略6.已知F1、F2为双曲线的左、右焦点，过F1、F2分别作垂直于x轴的直线交双曲线于A、B、C、D四点，顺次连接这四个点正好构成一个正方形，则双曲线的离心率为（

）A. B. C. D.参考答案：B由该图形为正方形可得，从而有，又，则双曲线的离心率为故选：B点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7.已知中心在原点，焦点F1、F2在x轴上的双曲线经过点P（4，2），△PF1F2的内切圆与x轴相切于点Q（2，0），则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据三角形内切圆的性质结合双曲线的定义，求出a，c即可得到结论．【解答】解：中心在原点，焦点F1、F2在x轴上的双曲线为﹣=1，作出对应的图象如图：设三个切点分别为A，B，C，∵△PF1F2的内切圆与x轴相切于点Q（2，0），∴|F1Q|=|F1C|=c+2，∴|F2Q|=|F2B|=c﹣2，∴由双曲线的定义得||F1P|﹣|F2P|=|F1C|﹣|F2B|=c+2﹣（c﹣2）=4=2a，∴a=2，∵双曲线经过点P（4，2），∴﹣=1，即=1，则b2=4，c===2，则双曲线的离心率e===，故选：A8.设A，B是全集的子集,,则满足的B的个数是（

）A.5 B.4 C.3 D.2参考答案：B试题分析：A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A?B的B为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．考点：集合的子集9.设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是(

)A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，α⊥β，则m∥βC．若m⊥α，α⊥β，则m⊥β D．若m⊥α，m∥β，则α⊥β参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择．【解答】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或者异面；故A错误；对于B，若m⊥α，α⊥β，则m∥β或者m?β；故B错误；对于C，若m⊥α，α⊥β，则m与β平行或者在平面β内；故C错误；对于D，若m⊥α，m∥β，则利用线面垂直的性质和线面平行的性质可以判断α⊥β；故D正确；故选：D．【点评】本题考查了线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理；注意定理成立的条件．10.方程表示的曲线是（）A．一条直线和一个圆 B．一条直线和半个圆C．两条射线和一个圆 D．一条线段和半个圆参考答案：C【考点】曲线与方程．【分析】将方程等价变形，即可得出结论．【解答】解：由题意方程可化为=0或x+y﹣2=0（x2+y2﹣9≥0）∴方程表示的曲线是两条射线和一个圆．故选：C．【点评】本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆周长为C1，外接圆周长为C2，则.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球表面积为，外接球表面积为，则__________．参考答案：分析：平面图形类比空间图形,二维类比三维得到,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.详解：平面几何中，圆的周长与圆的半径成正比，而在空间几何中，球的表面积与半径的平方成正比，因为正四面体的外接球和内切球的半径之比是，，故答案为.点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.12.《张邱建算经》记载一题：今有女善织，日益功疾.初日织五尺，今一月，日织九匹三丈.问日益几何？题的大意是说，有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天增加的长度都是一样的.已知第一天织了5尺，一个月(30天)后共织布390尺，则该女子织布每天增加了

尺.参考答案：13.已知向量，那么的值是

参考答案：114.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是

cm．参考答案：415.已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，则该三棱锥的侧视图面积为____________.参考答案：1略16.函数g(x)＝ax3＋2(1－a)x2－3ax(a<0)在区间（-∞，）内单调递减，则a的取值范围是_______．参考答案：∵g′（x）=3ax2+4（1-a）x-3a，g（x）在递减，则g′（x）在上小于等于0，即：3ax2+4（1-a）x-3a≤0，当a＜0，g′（x）是一个开口向下的抛物线，

设g′（x）与x轴的左右两交点为A（x1，0），B（x2，0）

由韦达定理，知x1+x2=x1x2=-1，

解得则在A左边和B右边的部分g′（x）≤0又知g（x）在递减，

即g′（x）在上小于等于0，

∴x1≥即：解得，

∴a的取值范围是．故答案为点睛：本题考察了函数的单调性，导数的应用，易错点是结合二次函数的图像可知二次方程对应的小根应大于等于，因为所以小根应改为而不是17.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于，则此抛物线的方程为．参考答案：x2=±3y【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．【分析】设出抛物线方程，利用抛物线与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于，确定弦的端点的坐标，代入抛物线方程，可得结论．【解答】解：由题意，开口向上时，设抛物线方程为x2=2py（p＞0）∵抛物线与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于，∴弦的端点的坐标为（±，1）代入抛物线方程可得2p=3，∴抛物线方程为x2=3y同理可得开口向下时，设抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0）∵抛物线与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于，∴弦的端点的坐标为（±，﹣1）代入抛物线方程可得2p=3，∴抛物线方程为x2=﹣3y故答案为：x2=±3y．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.用数学归纳法证明，参考答案：证明：当时，左边，右边，即原式成立

假设当时，原式成立，即

当时，

即原式成立，19.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．（I）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（II）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，线段BC的中点为M，求M到平面APB的距离d．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【分析】（I）根据条件和线面垂直的判定定理得：AD⊥平面PQB，再由面面垂直的判断定理证明出平面PQB⊥平面PAD；（II）运用等体积法VP﹣ABQ=VQ﹣PAB，求M到平面APB的距离d．【解答】（I）证明：连BD，四边形ABCD菱形，∵AD=AB，∠BAD=60°，∴△ABD是正三角形，Q为AD中点，∴AD⊥BQ，∵PA=PD，Q为AD中点，∴AD⊥PQ，又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD；（II）解：如图，连接QM，QB，显然QM∥平面PAB，∴M到平面PAB的距离就等于Q到平面PAB的距离，运用等体积法VP﹣ABQ=VQ﹣PAB，即，∴d=．20.（本小题满分12分）以椭圆的中心为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”.已知椭圆的离心率为,且过点．(1)求椭圆及其“伴随”的方程;(2)过点作“伴随”的切线交椭圆于,两点,记为坐标原点)的面积为,将表示为的函数,并求的最大值.参考答案：(1)椭圆的离心率为,则,

设椭圆的方程为

……………2分 ∵椭圆过点，∴，

∴，

…………….………..4分 ∴椭圆的标准方程为，

椭圆的“伴随”方程为.

………..6分(2)由题意知，.易知切线的斜率存在,设切线的方程为由得………..8分设,两点的坐标分别为,,则,. 又由与圆相切,所以,. 所以

……10分

,.(当且仅当时取等号)所以当时，的最大值为1.

………..12分21.（本小题满分12分）某同学在一次研究性学习中发现以下四个不等式都是正确的：；；；．请你观察这四个不等式：（1）猜想出一个一般性的结论（用字母表示）；（2）证明你的结论。参考答案：（1）一般性的结论：（4分（没写范围扣1分）（2）证明：要证只要证只要证只要证∵a、b、c、d∈R，∴显然成立.22.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，BD=4，AB=2CD=8．（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（2）求三棱锥P－BCD的体积．

参考答案：(1)证明:取AD中点E,连PE,因为△PAD是等边三角