福建省莆田市西厝中学高二数学文模拟试卷含解析

福建省莆田市西厝中学高二数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设数列{an}的前n项和为Sn，a4=7且4Sn=n（an+an+1），则S10等于（）A．90 B．100 C．110 D．120参考答案：B【考点】8E：数列的求和．【分析】由题意可得4S3=3（a3+7），4S2=2（a2+a3），4S1=a1+a2，运用数列的递推式可得a1=1，a2=3，a3=5，进而得到an=2n﹣1，，即可得到所求值．【解答】解：由数列{an}的前n项和为Sn，a4=7且4Sn=n（an+an+1），可得4S3=3（a3+7），4S2=2（a2+a3），4S1=a1+a2，∴a2=3a1，a3=5a1，从而4×9a1=3（5a1+7），即a1=1，∴a2=3，a3=5，∴4S4=4（a4+a5），∴a5=9，同理得a7=13，a8=15，…，an=2n﹣1，∴，经验证4Sn=n（an+an+1）成立，∴S10=100．故选：B．2.抛物线的准线方程是

（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D3.抛物线到直线距离最近的点的坐标是(

)A．

B．(1，1)

C．

D．(2，4)参考答案：B略4.已知全集，集合，那么集合的子集有（

）A.6个B.7个C.8个D.9个参考答案：C5.下列说法中正确的是（

）A．命题“若，则”的否命题是“若，则”B．命题“若，则”的否命题是“若，则”C．命题“”的否定是“”D．命题“”的否定是“”参考答案：C6.古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有A.5种 B.10种C.20种 D.120种参考答案：B【分析】根据题意，可看做五个位置排列五个数，把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替．根据相克原理，1不与2,5相邻，2不与1,3相邻，依次类推，用分布计数原理写出符合条件的情况.【详解】把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替．1不与2,5相邻，2不与1,3相邻，所以以“1”开头的排法只有“1，3，5，2，4”或“1，4，2，5，3”两种，同理以其他数开头的排法都是2种，所以共有种．选B.【点睛】本题考查分步计数原理的应用，考查抽象问题具体化，注重考查学生的思维能力，属于中档题.7.有一批种子，每一粒发芽的概率为，播下粒种子，恰有粒发芽的概率为

A.

B.

C.

D.参考答案：C略8.已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2参考答案：C【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题．【分析】题目中条件：“函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决．【解答】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．若f（x）有极大值和极小值，则△=4a2﹣12（a+6）＞0，从而有a＞6或a＜﹣3，故选C．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，导数的引入，为研究高次函数的极值与最值带来了方便．9.直线x=t分别与函数、g（x）=的图象交于P、Q两点，当实数t变化时，|PQ|的最大值为（）A．6 B．5 C．4 D．3参考答案：A【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用两角差的正弦函数公式将|PQ|表示成x的三角函数，利用正弦函数的有界性即可求出最大值．【解答】解：∵、g（x）=，∴|PQ|=|sin（2x﹣）+3﹣cos（2x﹣）+1|=|2sin（2x﹣）+4|≤6．故选：A．10.某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（

）A．个

B．个 C．个

D．个参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.抛物线的焦点坐标是____________参考答案：12.已知直线与垂直，则的值是

.参考答案：1或4略13.设x>0,y>0且x+2y=1,则的最小值为

.参考答案：14.交抛物线于A，B两点，若AB中点的横坐标是2,则________.参考答案：15.三角形的一边长为，这条边所对的角为，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为

.参考答案：16.不等式≤0的解集为．参考答案：{x|x＜0，或x≥1}【考点】其他不等式的解法．【分析】不等式即即，由此求得x的范围．【解答】解：不等式≤0，即≥0，即，求得x＜0，或x≥1，故答案为：{x|x＜0，或x≥1}．17.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则__________．参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分10分）如图，平面平面，四边形为矩形，．为的中点，．（1）求证：；（2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．参考答案：【知识点】线面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理；二面角的平面角的做法.【答案解析】（1）见解析（2）解析：解：（1）证明：连结OC,因AC=BC,O是AB的中点，故.又因平面ABC平面ABEF,故平面，

…………2分于是．又，所以平面，

所以，

…………4分又因，故平面，所以．

…………6分（2）解法一：由（1），得．不妨设，．

…………7分因为直线FC与平面ABC所成的角，故=，所以FC=EC=2，为等边三角形，…………9分设则O,B分别为PF,PE的中点，也是等边三角形.取EC的中点M,连结FM,MP,则所以为二面角的平面角.…………12分在中，…………13分故cos即二面角的余弦值为．

…………14分解法二：取的中点，以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．不妨设，，则，，，，

…………8分从而，.

设平面的法向量为，由，得，可取．

…………10分同理，可取平面的一个法向量为

．

………12分于是，

……13分易见二面角的平面角与互补，所以二面角的余弦值为．

…………14分【思路点拨】(1)连结OC再利用面面垂直的性质得到平面，再利用线面垂直的判定得到平面，最后再次利用线面垂直的判定得到结论；（2）解法一：结合已知条件找出为二面角的平面角，然后利用公式即可.解法二：取的中点，以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．不妨设，，然后找出相关点的坐标，然后分别求出两个半平面的法向量代入公式即可.19.设函数g(x)＝－1－ax，若当x≥0时，x(－1－ax)≥0，求a的取值范围．参考答案：【分析】g′（x）＝ex﹣a，根据a的取值范围利用导数性质能求出a的取值范围．【详解】由已知可得g′(x)＝－a．若a≤1，则当x∈（0，＋∞）时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即x(－1－ax)≥0．若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈（0，lna）时，g(x)＜0，即x(－1－ax)＜0．综上，得a的取值范围为(－∞，1]．【点睛】本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．20.已知数列{an}的通项公式an=2n﹣6（n∈N*）．（1）求a2，a5；（2）若a2，a5分别是等比数列{bn}的第1项和第2项，求数列{bn}的通项公式bn．参考答案：解：（1）由题意可得a2=2×2﹣6=﹣2，同理可得a5=2×5﹣6=4；（2）由题意可得b1=﹣2，b2=4，故数列{bn}的公比q==﹣2，故bn=﹣2×（﹣2）n﹣1=（﹣2）n考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）把n=2，n=5代入通项公式可得；（2）由题意可得b1=﹣2，b2=4，可得公比，可得通项．解答： 解：（1）由题意可得a2=2×2﹣6=﹣2，同理可得a5=2×5﹣6=4；（2）由题意可得b1=﹣2，b2=4，故数列{bn}的公比q==﹣2，故bn=﹣2×（﹣2）n﹣1=（﹣2）n，点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，属基础题21.已知函数u（x）＝xlnx，v（x）x﹣1，m∈R．（1）令m＝2，求函数h（x）的单调区间；（2）令f（x）＝u（x）﹣v（x），若函数f（x）恰有两个极值点x1，x2，且满足1e（e为自然对数的底数）求x1?x2的最大值．参考答案：（1）单调递增区间是（0，e），单调递减区间是（e，+∞）（2）【分析】（1）化简函数h（x），求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出（2）函数f（x）恰有两个极值点x1，x2，则f′（x）＝lnx﹣mx＝0有两个正根，由此得到m（x2﹣x1）＝lnx2﹣lnx1，m（x2+x1）＝lnx2+lnx1，消参数m化简整理可得ln（x1x2）＝ln?，设t，构造函数g（t）＝（）lnt，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最大值即可求出x1?x2的最大值．【详解】（1）令m＝2，函数h（x），∴h′（x），令h′（x）＝0，解得x＝e，∴当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，∴函数h（x）单调递增区间是（0，e），单调递减区间是（e，+∞）（2）f（x）＝u（x）﹣v（x）＝xlnxx+1，∴f′（x）＝1+lnx﹣mx﹣1＝lnx﹣mx，∵函数f（x）恰有两个极值点x1，x2，∴f′（x）＝lnx﹣mx＝0有两个不等正根，∴lnx1﹣mx1＝0，lnx2﹣mx2＝0，两式相减可得lnx2﹣lnx1＝m（x2﹣x1），两式相加可得m（x2+x1）＝lnx2+lnx1，∴∴ln（x1x2）＝ln?，设t，∵1e，∴1＜t≤e，设g（t）＝（）lnt，∴g′（t），令φ（t）＝t2﹣1﹣2tlnt，∴φ′（t）＝2t﹣2（1+lnt）＝2（t﹣1﹣lnt），再令p（t）＝t﹣1﹣lnt，∴p′（t）＝10恒成立，∴p（t）在（1，e]单调递增，∴φ′（t）＝p（t）＞p（1）＝1﹣1﹣ln1＝0，∴φ（t）在（1，e]单调递增，∴g′（t）＝φ（t）＞φ（