2022-2023学年湖北省襄阳市高三年级上册期中考试数学试卷2

2022-2023学年湖北省襄阳市高三年级期中考试

数学试卷

注意事项：i.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑;如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷

上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是符合题目要求的）

1.命题“小>0，炉+%2_2<0”的否定为（）

A.±>0,e'+x2-2..0B.立,0,ex+x2-2..0C.Vx>0,eA+x2-2..0D.

Vx,,0,e*+—2..0

7*

2.已知复数z在复平面内对应的点为（1,—2）,则一二（）

z

3_4.

A._3+1Z-B.3+4.D

55555555

3.已知集合A={x|/+x-2<0},B={x\x+m>0},且4u8={x[x>-2},则

〃，的取值范围为

A.[-1,2]B.(-1,2]C.[-2,1]D.[-2,1)

4.随着社会的发展，人与人的交流变得便捷，信息的获取、传输和处理变得频繁，这

对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.已知电磁波在空间中自由

传播时能损耗公式为L=32.4+20（lgO+lgF）,其中£>为传输距离（单位：km）,F

为载波频率（单位：MHz）,L为传输损耗（单位：M3）.若载波频率变为原来的100倍,

传输损耗增加了6048,则传输距离变为原来的（）

A.100倍B.50倍C.10倍D.5倍

下列结论正确的是

BFA.CE

433

8.某大学为了制作“迎新杯”篮球赛创意冠军奖杯，在全校学生中开展“迎新杯”篮

球赛奖杯的创意设计征集活动.同学甲设计的创意奖杯如图1所示，从其轴截面中抽象

出来的平面图形如图2所示，若圆。的半径为IO””，AB=BC=CD,BCHAD,

NA5C=NBC£)=120°.甲在奖杯的设计与制作的过程中发现，当OB越长时，该奖杯

图1图2

A.lOc/z/B.10A/2CTOC.10V3cmD.5>/6cm

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中有多项符合题

目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。)

9.已知函数=无2-4尤，贝］j

A.x=l是/(x)的极小值点B.，(x)有两个极值点C./(x)的极小值为1D./(%)

在［0,2］上的最大值为2

7TTT

10.将函数/(x)=sin(2x—］)的图象向左平移I个单位长度，得到函数g(x)的图象,

则下列结论正确的有()

A.直线x=-工是g(x)图象的一条对称轴B.g(x)在(-三，三)上单调递增C.若

626

2a仃29笈"TT7T

g(x)在(0,a)上恰有4个零点，则ce(——,——］D.g(x)在［工，工］上的最大值为

121242

］_

2

11.己知正三棱锥5-ABC的底面边长为6,体积为66，A,B,C三点均在以S为球

心的球S的球面上，尸是该球面上任意一点，下列结论正确的有()

A.三棱锥ABC体积的最大值为18gB.三棱锥尸-A6C体积的最大值为

276c.若B41.平面ABC,则三棱锥。—舫C的表面积为24+9百+3历D.若

Q4J_平面ABC,则异面直线AB与PC所成角的余弦值为主叵

26

12.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且S”<S’.若存在实数a",使得a+b=3,

且6"一26—掇lb。ln(a-2&+l),当〃=左时，5“取得最大值，则％+2。一人的值可能

为

A.13B.12C.11D.10

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

(口-4x0

13.若函数/(%)=r2'则/(/(-3))=.

x2-x+l,x>0,

14.已知tanc=4,/?满足①sin4>。，且sin尸=l+cos尸，②tan(2a+/?)=-£

两个条件中的一个，则tan(a+/?)的一个值可以为.

15.最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了一幅“勾股

圆方图”，他用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.如图，某数学探究小组

仿照“勾股圆方图”，利用6个全等的三角形和一个小的正六边形ABCOE凡拼成一个

大的正六边形GHMNPQ,若AB=AG=1,则.

16.已知实数x,y满足2/一3/一孙=1,贝IJ2/+3/的最小值为.

四、解答题(本大题共6题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

+(6!+1)%2+2iZ+4r〜，皿

17.已知/(%)=----——-----------是奇函数.

X

(1)求a的值；

(2)求/(%)的值域.

18.在益48。中，内角A,8,C的对边分别为a",c,已知®sin(5+C)+acos5=c.

(1)求角A的大小；

(2)若,/RC为锐角三角形，且〃=6,求,..ABC面积的取值范围.

19.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABC。是正方形，一皿)是等边三角形，平面

平面A8CQ,E,P分别是PC,A3的中点.

(1)证明：PC，平面。所.

(2)求二面角3-。£一斤的余弦值.

Ym

20.已知函数/(x)=——1.

mx

(1)若m=2,求/*)的图象在x=l处的切线方程；

(2)若证明：/(x)在(0,-8)上只有一个零点.

21.已知数列｛4｝满足2q+224++2"4=〃X2"2_2"+I+2.

(1)求｛”“｝的通项公式；

(2)设包=3%+?+4证_L.b+b++b,,<-.

2",%八672120

22.已矢口函数/(工)=4。/+(2-4ae)x-2Inx(a>0).

(1)求/(x)的单调区间；

(2)证明：/(%)..(2-4ae)x4-In«+3.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：存在量词命题的否定为全称量词命题，所以该命题的否定为“Vx>0,

,+/一2..0”.

2.【答案】4

【解析】解：由题意知z=l—2i,5=1+2/,则三=11^=—"+2"—=—°+」j.

z1—2i(1—2z)(l+2z)55

3.【答案】B

【解析】

解：因为A={x|-2<x<l},B={x\x>-m},AuB={x|x>-2},所以一幺，一加<1,

即—1</%,2.

4【答案】C

【解析】解：设〃是变化后的传输损耗，产是变化后的载波频率，是变化后的传输距

离，则L'=L+60,户=100户，

D'F'

60=-L=20lgDz+20lgFz-20lgD-20lgF=201g—+201g—,则

DF

力'p'力'

201g—=60-20Igy=60-40=20,即1g3■=1，从而D=10。，故传输距离变为

原来的10倍.

5.【答案】D

【解析】解：.由图象可知，该函数是奇函数，因为是偶函数，g(x)是奇函数，所以

/(x)土g(x)是非奇非偶函数，A,8不符合题意.因为当％=0时，y无意义，所以

g(x)

C不符合题意.故选D

6.【答案】B

E

B

【解析】解:如图,AF与平面BCE不平行,4错误.易知BC±平面AEDE,

AOu平面AFOE,:.BC±AD,同理EC_LAD,BCcEC=C,且

6Cu平面BCE,ECu平面BCE,,A。J_平面BCE,B正确.AEL5C,C错误.BF

与CE不垂直，力错误.

7.【答案】A

14

【解析】解：由a“a“+］=—1可知N0,得a“+i=1-因为4=—3,所以生=—，

a”3

14,1

%=4，%=一3，。5=］，，所以｛4｝是以3为周期的数列，则％05=《3+3x34=•

8.【答案】B

【解析】解：如图，过。点作QE-L5C,分别交BC,AO于E,尸两点，设Z4QF=8,

则。尸=lOcos。，A£>=20sin8,由3C〃A£>,ZABC=NBC。=120°,得

AB=BC=CD=-AD=\Qsm0,则6E=!8C=5sin。，EF=y/3BE=5y/3sin0,

22

OB2=OE2+BE2=25sin26+(5百sin^+10cos^)2=100+50>/3sin26,当2。=三，

2

即。=工时，08取得最大值，此时4O=2Osine=lO0c7〃.

4

9.【答案】ABD

【解析】解：因为/(x)=V+gx2—4x,所以((x)=3x2+x-4=(x-l)(3x+4).当

xe(-«),-1)u(1,+8)时，/，(x)>o；当xe(一1,1)时•，/'(x)<0.故f(x)的单调递增区

间为(-8,-$和(l,”o)，单调递减区间为(-21),则/(x)有两个极值点，B正确;且当

x=l时，f(x)取得极小值,A正确;且极小值为/⑴=—|,C错误.又/(0)=0,〃2)=2,

所以/(x)在［0,2］上的最大值为2,力正确.

10.【答案】AC

77IT

【解析】解：将函数/(x)=sin(2x-一)的图象向左平移一个单位长度，得到函数

34

TT57rTC37r57r

g(x)=sin(2x+<)的图象.当x=时，2x+-=-—,故直线x=—上是g(x)图象

66626

的一条对称轴，4正确.由x£(-工,1),得2%+]£(―,则g(x)在(—工,5)上不

2666226

单调，8不正确.由xw(O,a),得2x+5£(g,2a+工)，因为g(x)在(0,c)上恰有4个零

666

jr23乃297rTC冗

点，所以4%<2a+—,,5万，解得二一<a,,---，C正确.由xe[—,得

6121242

2XH—6[—,—]>则g(x)在]一,一]的最大值为。不正确.

636422

11.【答案】ACD

【解析】解：因为正三棱锥S-ABC的底面边长为6,所以三棱锥S-A5C的底面面积为

—x6x6=95/3,底面外接圆的半径r=2百.又三棱锥S—A5C的体积为6G，则三棱

4

锥S—A5c的高=2,所以球S的半径爪=5层+/=4,则三棱锥。―A3。

9V3

体积的最大值为:x96x(4+2)=18jiA正确，8不正确.若Q4,平面ABC,则根据对

称性可知，B4=4,PB=PC=2^,SABC=£X©=9上,

SPAB=S%c=；x6x4=12.取8c的中点。，连接PO,则PD=，PB2-BD2=如,

SPBC=；X6XJ石=3历，故三棱锥P—ABC的表面积为24+96+3届，C正确•

分别取PA,PB,AC的中点M,N,Q,连接MN,MQ,NQ,

A

Q

D

B

则易得MN=3,MQ=NQ=JR,/NMQ为异面直线AB与PC所成角的大小，且

八…MN3屈十以

cosZ.NMQ=----=-----,。正确.

2MQ26

12.【答案】BC

【解析】解：SH-S7-a^+a9+a^+a^=2(«9+al0)<0,即4+40<°•而

ea-2b_^17in(«-2/7+1),即有e"3+i一掇耳7ln(a—26+1).令％=。一3+1,则有

e'T-啜£7Inx,令函数/(x)=e'-x—1,则f'(x)="一1.当xe(—o,0)时,f\x)<0,

,/(x)单调递减;当xe(0,xo)时,f'(x)>0,/(x)单调递增.故/(x)../(0)=0,从而有

/(x-1)=e'-1-(x-1)-1=ex~'-x..0,则有e'T..x,当且仅当x=l时，等号成立.同理

，(1仙)=%-111工一1..0,即山1；,%-1,当且仅当工=1时，等号成立,则产-1-叨敢—1Inx,

当且仅当x=1时，等号成立.又"T_1领57Inx,所以e‘T-L,Inx,故有ex-'-\=lnx,

a+b—3,(a=2,

所以尤=1,，7=17%=0,则为=0•从而《解得，,又旬=0，

a-2b+l=1,[0=1.

%+4。<0,所以4。<0.故｛%｝是单调递减数列，当〃=8或〃=9时，S“取得最大值，

所以左+2a-Z?=ll或12.

13.【答案】13

【解析】解：因为f(—3)=(g)7—4=4,所以/(/(—3))=/(4)=42—4+1=13.

14.【答案】―工或6(答案只要是一,与6中的一个即可)

44

【解析】解：若/满足条件①，因为sin?=l+cosa，所以

(1+cosI)?+cos2/7=1+2cos/?+2cos2[3-1,解得cos£=0或cos尸=一1,则

71

sin，=1或sin/?=0(舍去)则,二万+2k兀,kGZ,故

JII|

tan(a+f3)=tan(cr+—)=------=--.若£满足条件②，则

2tana4

tan(a+/?)=tan[(2a+/?)—a]==6.

1+(一为)x4

15.【答案】1

【解析】解：在正六边形A8CDEF中，BEA.FD,则8£1・尸。=0,所以

BE,GD=BE・（GF+FD）=BEGF+BE*FD=BEGF.因为六边形GHMNPQ是正六

边形，所以NP=60。，且G,F,E,P四点共线,又A8=AG=1,所以GF=EE=1,

所以BEGF=5EFE=|3E||FE|cosNPFQ=lx2x；=l.

6【答案】华

【解析】解：因为2/—3y2一孙=1,所以（2元一3丁）0+y）=1・令加=2%—3、,〃=x+y,

…m+3n2n-m„一

贝ijx=-----,y=------,且=1,

55

2m*2*46+18/+I2mn3m2+12n2-12mnm2+6/?2.其5,当且仅当

所以2Y+3y2=----------------+----------------=--------

252555

m2=V6,时，等号成立.

6

17.【答案】解：（1）因为/（X）=*+①+1）『+2"+4,所以

x

c,a(—x)3+(Q+1)(—X)~+2Q+4CLX^一(Q+DX2-2a—4

J(一%)=--------------------------=----------------------

一XX

又/（%）是奇函数，所以/（—X）=—/（X），即

ax'—(。+l)f—2cl—4—QX^—(a+l)x^一2。—4

XX

则4=0.

x2+44

(2)由⑴可知，/(%)=-----=%+—，尤w0,

XX

44

当x>0时，尢+—..2J元・一=4,当且仅当x=2时，等号成立.

XVx

又/O）是奇函数，所以/（X）的值域为（YO,Y|54,+OO）.

22»2

18.【答案】解：(1)因为百bsin(3+C)+acos3=c,所以百Z?sin/+〃•"-----=c

2ac

2222222

则2y/3bcsinA+a+c-b=2cf即a=b+c-2辰csinA

又4=b2+c2—2bccosA,所以>/3sinA=cosA,即tanA=

兀

又A£（0,万），所以A=-.

6

⑵因为卷=白，所以"需

71

Q<B<-,

因为A5C为锐角三角形，所以12解得工<8〈工，则tanJi

八5万八乃32

故竽（竽+3^<66，即加。面积的取值范围为（竽4百）.

19.【答案】解：（1）证明：取A。的中点0,连接0P,

因为_24£）是等边三角形，所以POLAD

又平面P4Z5_L平面ABC。,平面HAOc平面ABCD=AO,尸Ou平面PAD,所以PO_L

平面ABCD,

因为底面ABCD是正方形，不妨令4?=2,连接OF,PF,CF,因为F是AB的中点，所

以0P=6，OF=42,PF=#）,CF=s/5.

又E是PC的中点，PD=CD,所以DE上PC,EF±PC.

因为DEcEF=E,且OE、EFu平面。EF,所以PC_L平面。EE

（2）解：以。为坐标原点，04的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,

则由⑴可得，0(—1,0,0),3(1,2,0),尸(1,1,0),

,P(0,0,V3),C(—l,2,0).08=(2,2,0),DE=

设平面BDE的法向量m=（玉，x,Z］）,

2x}+2y=0,

则《1V3

2%i+y+74=0,

令西=1,得加=

由(1)知n=CP=(1,-2,石)是平面DEF的一个法向量，

m-n4V42

所以COS=------=—r=------=-----.

|m||n|岛2逝7

J42

由图可知，二面角3-DE—尸为锐角，故二面角3-上一斤的余弦值为

7

x22x—In2-

20.【答案】解：因为加=2,所以/(x)=j-1,((幻，「”/.

22

又了⑴T，r⑴=秒畛

所以/(X)的图象在X=1处的切线方程为丁+万二一^1—(x—1),即

(2-In2)x-2y+In2-3=0.

x'"

(2)证明：当0<加<1时，mx>0,则函数/(x)=——1只有一个零点等价于函数

m

g(x)=x"'-*只有一个零点.

因为0(加<1,所以函数y=『'在(0,+8)上单调递增，函数y=加,在(0,+oo)上单调递减,

所以函数g(x)在(0,T8)上单调递增.

又g(*=0,所以函数g(x)在(0,+9。)上只有一个零点，即函数/(X)在(0,+8)上只有一

个零点.

21.【答案】解：⑴当〃=1时，2]=23-22+2=6,则4=3.

当〃..2时，则2"a„=nx2n+2-2n+l+2-(n-l)x2,,+l+2"—2=(2n+l)x2",

则an=2〃+1.

又4=2x1+1,所以｛%｝的通项公式为4=2〃+l.

(2)证明：由⑴可知，

b,—__________6_/_1_+__1_9__________-----------1------