备考2024年新高考数学一轮复习 互斥对立条件概率与独立事件

专题10.5互斥对立，条件概率与独立事件

题型一互斥与对立

题型二频率与概率

题型三古典概型

题型四独立事件的概率

题型五条件概率

题型六全概率公式

题型七贝叶斯公式

集练

题型一互斥与对立

例1.抛掷一枚质地均匀的骰子1次，事件A表示“掷出的点数大于2”，则与A互斥且不对立的事件是().

A.掷出的点数为偶数B.掷出的点数为奇数

C.掷出的点数小于2D.掷出的点数小于3

例2.一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环，7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,

0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：

⑴射中10环或9环的概率.

⑵至少射中7环的概率.

举一反三

练习1.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是()

A.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”B.“至少有一个黑球”与“都是红球”

C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D.“至少有一个黑球”与“都是黑球”

练习2.已知随机事件中，A与B互斥，B与C对立，且尸(A)=Q3,P(C)=0.6,则尸(AB)=()

A.0.3B.0.6C.0.7D.0.9

练习3.下列说法中正确的是（）

A.若事件A与事件6是互斥事件，则尸（A）+P（3）=l

B.对于事件A和3,尸（AB）=P（A）+P（B）

C.一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件

D.把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙

分得红牌”是互斥事件

练习4.（多选）已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1,2,3,4,乙罐中有五个相同的小球，标号为1,2,3,

5,6,现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A="抽取的两个小球标号之和大于5”，事件2="抽取的

两个小球标号之积大于8”，则（）

A.事件A与事件8是互斥事件B.事件A与事件2是对立事件

11?

C.事件发生的概率为三D.事件发生的概率为二

练习5.某射击运动员在一次射击中，射中10环的概率是射中9环的概率的2倍，运动员射中9环以下的概率为0.1,

求运动员在一次射击中，射中10环的概率.

题型二频率与概率

例3.在抛掷硬币试验中，记事件A为“正面朝上”，则下列说法正确的（）

A.抛掷两枚硬币，事件“一枚正面，一枚反面”发生的概率为g

B.抛掷十枚硬币，事件8为“抛掷十枚硬币，正面都朝上”没有发生，说明P（B）=0

C.抛掷100次硬币，事件A发生的频率比抛掷50次硬币发生的频率更接近于0.5

D.当抛掷次数足够大时，事件A发生的频率接近于0.5

例4.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米3285石，验得米内有夹谷，抽

样取米一把，数得261粒米内有夹谷29粒，则这批米内夹谷约为石.

圉二反三

练习6.在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球,

记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有个.

练习7.某制造商今年3月份生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个乒乓球的直径（单位：mm）,

将数据分组如下:

分组频数频率

[39.95,39.97)100.10

[39.97,39.99)200.20

[39.99,40.01)500.50

[40.01,40.03]200.20

合计1001.00

若用上述频率近似概率，已知标准乒乓球的直径为40.00mm,则这批乒乓球的直径误差不超过0.03mm的概率是

练习8.（多选）某校为了解学校餐厅中午的用餐情况，分别统计了食用大米套餐和面食的人次数，剩下的为食用米

线汉堡等其它食品（每人只选一种），结果如表所示：

总人次数大米套餐人次数面食人次数

1000550260

假设随机抽取一位同学，记中午吃大米套餐为事件吃面食为事件M吃米线汉堡等其他食品为事件H,若用频

率估计事件发生的概率，则（）

A.P（M）=0.55B.P（N）=0.26

C.P（H）=0.19D.P（N-H）=0.65

练习9.甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评价.甲在网站A查到共有

840人参与评价，其中好评率为95%,乙在网站2查到共有1260人参与评价，其中好评率为85%.综合考虑这两

个网站的信息，则这家健身房的总好评率为（）

A.88%B.89%C.91%D.92%

练习10.某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量

指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（）

A.。=0.005

B.估计这批产品该项质量指标的众数为45

C.估计这批产品该项质量指标的中位数为60

D.从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在［50,70）的概率约为0.5

题型三古典概型

例5.用0,1,2三个数字组成的没有重复数字的三位数中，其中三位数为偶数的概率是（）

23

A.B.C.D.

3324

例6.若从集合｛1,2,3,4,5｝中任取3个元素组成该集合的一个子集，那么取得的子集中，满足3个元素中恰好含有2

个连续整数的概率等于；

举一

练习H.江南的周庄、同里、用直、西塘、乌镇、南涔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代

表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一

帜，驰名中外，这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处.某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，

则至少选一个苏州古镇的概率为（）

练习12.一个不透明的袋中装有2个红球，2个黑球，1个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中一次

性随机抽取3个球，贝『‘这3个球的颜色各不相同”的概率为（）

练习13.2022年11月8日，江西省第十六届运动会在九江市体育中心公园主体育场开幕，这是九江市举办的规模

最大、规格最高的综合性体育赛事.赛事期间，有3000多名志愿者参加了活动.现将4名志愿者分配到跳高、跳

远2个项目参加志愿服务活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，贝『‘恰好有一个项

目分配了3名志愿者”的概率为.

练习14.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，

劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛,

胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为.

练习15.某校组织了600名高中学生参加中国共青团相关的知识竞赛，将竞赛成绩分成[50,60),[60,70),[70,80),

[80,90),[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据“，b,。成等差数列，成绩落在区间

[60,70)内的人数为300.

频率/组距

0.005

O5060708090100成绩

(1)求出频率分布直方图中。，b,c的值；

(2)估计该校学生分数的中位数和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；

⑶现采用分层抽样的方法从分数落在[80,90),[90,100]内的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行

现场知识答辩，求抽取的这2人中恰有1人的得分在区间[90,100]内的概率.

题型四独立事件的概率

例7.甲，乙，丙三人打靶，他们的命中率分别Pi，P2，；，若三人同时射击一个目标，甲、丙击中目标而乙没有击

14

中目标的概率为六，乙击中目标而丙没有击中目标的概率为x，己知“甲击中目标”，“乙击中目标”，“丙击中目标”

1o9

是相互独立事件，则R，小的值分别为()

]_2

3'23'3

J.121

2,33；2

例8.如图，已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为则灯亮的概率为

举一反三

练习16.抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件"第一枚骰子奇数面朝上"，事件3="第二枚骰子偶数面朝上”，

事件C="两枚骰子向上点数之和为7”.则下列结论正确的是（）

A.A与8对立B.A与C互斥

C.P（C）=|D.B与C独立

练习17.某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，如果一支队

伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶段比赛的概率均为：，

乙通过每个阶段比赛的概率均为丙通过每个阶段比赛的概率均为且三人每次通过与否互不影响，则这支队

伍进入决赛的概率为（）

*224-196「14

A.B.C.—D.—

2252251525

练习18.在东京奥运会乒乓球男子单打决赛中，中国选手马龙战胜队友樊振东，夺得冠军。乒乓球决赛采用7局4

胜制.在决胜局的比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在10:10平后，双方

实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在决胜局比赛中，马龙发球时马龙得分的概率为:，樊振东发球时马龙得

分的概率为g,各球的结果相互独立，在双方10:10平后，马龙先发球，则双方战至13:11的概率为（）

A.-B.-C.—D.-

46124

练习19.（多选）连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷结果向上的点数小于3”记为A事件，“第二次抛掷结果向上的点

数是3的倍数”记为8事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为偶数”记为C事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为

奇数”记为O事件，则下列叙述中不正确的是（）

A.C与。互斥B.「（斗）=：

C.A与C相互独立D.B与。不相互独立

41

练习20.甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为二，乙同学一次投篮命中的概率为

假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，恰有一人命中的概率是

题型五条件概率

例9.从1、2、3、4、5、6、7这7个数中任取5个不同的数，事件A：“取出的5个不同的数的中位数是4”，事

件B：“取出的5个不同的数的平均数是4"，则尸（引力=（）

A.iB.2C.1D.3

73537

例10.（多选）已知AB,C为随机事件，则下列表述中不正确的是（）

A.P（AS）=P（A）P（B）B.C|A）=P（B|A）+P（C|A）

C.P（A|A）=1D.P（A|B）＜P（AB）

举一

练习21.2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕，某中学为了贯彻学习“两会”精

神，举办“学两会，知国事”知识竞赛.高二学生代表队由A,B,C,D,E共5名成员组成，现从这5名成员中随

机抽选3名参加学校决赛，则在学生A被抽到的条件下，学生3也被抽到的概率为（）.

练习22.若B,C是互斥事件且P（8|A）=g,P（C|A）=：,则尸（（3uC）|A）=（）

练习23.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球冼从甲罐中随机取出

一球放入乙罐，分别以4、4和4表示从甲罐中取出红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出一球，以8表示从乙

罐中取出的球是红球，则下列结论中正确的是（）

A.（B.网8⑷C.网冏4）=（D.网冏4）=（

练习24.已知尸（可=:,尸（叫A）=|,尸他同=1,则尸（3）=

练习25.甲、乙两个袋子中，各放有大小、形状和个数相同的小球若干.每个袋子中标号为。的小球为1个，标号

为1的2个，标号为2的w个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是

⑴求n的值；

（2）从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1的条件下，求另一个标号也是1的概率.

题型六全概率公式

例11.甲单位有3名男性志愿者，2名女性志愿者；乙单位有4名男性志愿者，1名女性志愿者，从两个单位任抽

一个单位，然后从所抽到的单位中任取2名志愿者，则取到两名男性志愿者的概率为（）

1939

A.-B.—C.-D.—

510520

例12.已知尸（A）=0.4，尸国A）=0.2，尸（用,）=0.3,则尸（可=.

第二反三

练习26.甲口袋中有3个红球，2个白球，乙口袋中有4个红球，3个白球，先从甲口袋中随机取出1球放入乙口

袋，分别以A，4表示从甲口袋取出的球是红球、白球的事件；再从乙口袋中随机取出1球，以8表示从乙口袋取

出的球是红球的事件，则P（&|3）=（）

8「6-17「5

AA.—B.—C.—D.一

2323408

练习27.某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的

概率为0.15.邻居浇水的概率为0.8.则该人回来盆栽没有枯萎的概率为（）

A.0.785B.0.72C.0.765D.0.67

练习28.有一批同一型号的产品，其中甲工厂生产的占40%,乙工厂生产的占60%.已知甲、乙两工厂生产的该型

号产品的次品率分别为3%,2%,则从这批产品中任取一件是次品的概率是.

练习29.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%,第2,3台加工的次品率均为3%,加工出

来的零件混放在一起，第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的15%,25%,60%.随机取一个零件，记4="零

件为次品"，用="零件为第1台车床加工"«=1，2,3),则下列结论：

①P(A)=0.033

3

②》尸(瓦)=1

i=l

③P(4|A)=P(&A)

@P(B1\A)+P(B2\A)=P(B3\A).

其中正确的序号为.

练习30.“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证“青团”之称大约始于唐代，已有1000多年的历史.现

有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”，已知甲箱中有3个蛋黄馅的“青团”，2个肉馅的“青团”和5个

青菜馅的“青团”.乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”，3个肉馅的“青团”和4个青菜馅的“青团”.问：

⑴从甲箱中取出一个“青团”是蛋黄馅的的概率是多少？

(2)若依次从甲箱中取出两个“青团”，求第一个是蛋黄馅的条件下，第二个是肉馅的概率；

(3)若先从甲箱中随机取出一个“青团”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个“青团”，从乙箱取出的“青团”是蛋黄馅的

概率.

题型七贝叶斯公式

(尸(4)尸(叫可)

例13.托马斯・贝叶斯(ThomasBayes)在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：

尹⑷明可)

这个公式被称为贝叶斯公式(贝叶斯定理)，其中夕尸(4)尸(用4)称为8的全概率.假设甲袋中有3个白球和2个

红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取

出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为()

A3709仆18

A.D.—C.—D.-

15075372

例14.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A,8有如下关系：

尸但)=尸⑻(6尸(A町某地有48两个游泳馆，甲同学决定周末两天都去游泳馆游泳，周六选

择48游泳馆的概率均为05如果甲同学周六去A馆，那么周日还去A馆的概率为0.4；如果周六去B馆，那么

周日去A馆的概率为0.8.如果甲同学周日去A馆游泳，则他周六去A馆游泳的概率为.

举一反三

练习31.设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占g,另外2,3,4,5号4个袋子中白球都占;，

今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

4323

练习32.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1,货车中途停车修理的概率为0.02,客车为0.01,今有一

辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（）

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.3

练习33.某货车为某书店运送书籍，共10箱，其中5箱语文书、3箱数学书、2箱英语书.到达目的地时发现丢失

一箱，但不知丢失哪一箱.现从剩下的9箱书中随机打开2箱，结果是1箱语文书、1箱数学书，则丢失的一箱是英

语书的概率为（）

练习34.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%,第2台加工的次品率为3%,第3台加工

的次品率为2%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的10%,40%,50%,

从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为.

练习35.某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为80%,当生

产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为95%；否则，第一件产品合格的概率为60%,某天生产线启动时,

生产出的第一件产品是合格品，则当天生产线初始状态良好的概率为（精确到0.1%）.

专题10.5互斥对立，条件概率与独立事件

题型一互斥与对立

题型二频率与概率

题型三古典概型

题型四独立事件的概率

题型五条件概率

题型六全概率公式

题型七贝叶斯公式

才

题型一互斥与对立

例1.抛掷一枚质地均匀的骰子1次，事件A表示“掷出的点数大于2”，则与A互斥且不对立的事件是（）.

A.掷出的点数为偶数B.掷出的点数为奇数

C.掷出的点数小于2D.掷出的点数小于3

【答案】C

【分析】根据已知写出对应事件的基本事件，根据互斥、对立概念判断各项与事件A的关系.

【详解】由题意，£1={1,2,3,4,5,6},而事件A={3,4,5,6）,

“掷出的点数为偶数”对应基本事件有{2,4,6},与A不互斥，

“掷出的点数为奇数”对应基本事件有{1,3,5},与A不互斥，

“掷出的点数小于2”对应基本事件有田，与A互斥且不对立，

“掷出的点数小于3”对应基本事件有{1,2},与A对立.

故选：C

例2.一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环，7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,

0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：

⑴射中10环或9环的概率.

⑵至少射中7环的概率.

【答案】⑴0.52

（2）0.87

【分析】（1）利用互斥事件的概率求解;

（2）利用对立事件的概率求解.

【详解】（1）设“射中10环”“射中9环”“射中8环璘射中7环”“射中7环以下”的事件分别为的B,C,D,E,

可知它们彼此之间互斥，且P（A）=0.24,P（B）=0.28,P（C）=0.19,P（D）=0.16,P（E）=0.13,

所以P（射扪。或9环）=P（A。3）=尸（A）+P（3）=0.24+0.28=0.52,

所以所以射中10环或9环的概率为0.52.

（2）事件“至少射中7环”与事件射中7环以下”是对立事件，

则P（至少射中7环）=1-P（E）=1-0.13=0.87,

所以至少射中7环的概率为0.87.

举一反三

练习1.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）

A.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”B.“至少有一个黑球”与“都是红球”

C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D.“至少有一个黑球”与“都是黑球”

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断作答.

【详解】对于A,恰好有一个黑球的事件与恰好有两个黑球的事件不能同时发生，可以同时不发生，

因此“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而不对立的两个事件，A是；

对于B,至少有一个黑球的事件与都是红球的事件是对立事件，B不是；

对于C,至少有一个黑球的事件与至少有一个红球的事件可以同时发生，不互斥，C不是；

对于D,至少有一个黑球的事件与都是黑球的事件可以同时发生，不互斥，D不是.

故选：A

练习2.已知随机事件A,B,C中，A与B互斥，5与C对立，＞P（A）=0.3,P（C）=0.6,则尸（）

A.0.3B.0.6C.0.7D.0.9

【答案】C

【分析】由对立事件概率关系得到B发生的概率，再由互斥事件的概率计算公式即可..

【详解】因为尸（C）=0.6,事件B与C对立，

所以尸（8）=04,

又尸⑷=0.3,A与B互斥,

所以P（AB）=P（A）+P（B）=0.3+0.4=0.7,

故选：C.

练习3.下列说法中正确的是（）

A.若事件A与事件8是互斥事件，则尸（A）+P（3）=l

B.对于事件A和8,P（AB）=P（A）+P（B）

C.一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件

D.把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙

分得红牌”是互斥事件

【答案】D

【分析】根据互斥事件、对立事件以及事件的关系与运算逐一判断即可.

【详解】选项A,因为事件A与事件5是互斥事件，但不一定对立，所以P（A）+P（3）=1不一定成立，故选项A错

误；

选项B,因为事件A和8不一定是互斥事件，所以没有尸（AB）=P（A）+P（B）,故选项B错误；

选项C,因为事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”，可以同时发生，故选项C错误；

选项D,因为件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生，所以这两事件是互斥事件，故选项D正确.

故选：D.

练习4.（多选）已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1,2,3,4,乙罐中有五个相同的小球，标号为1,2,3,

5,6,现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A="抽取的两个小球标号之和大于5"，事件8="抽取的

两个小球标号之积大于8”，则（）

A.事件A与事件8是互斥事件B.事件A与事件8是对立事件

11°

C.事件发生的概率为与D.事件发生的概率为不

【答案】CD

【分析】根据已知，利用列举法列出基本事件，再利用交事件、并事件以及古典概型进行求解.

【详解】由题可知，事件A的所有基本事件为：甲1乙5,甲1乙6,甲2乙5,甲2乙6,甲3乙3,

甲3乙5,甲3乙6,甲4乙2,甲4乙3,甲4乙5,甲4乙6,共H个；

事件8的所有基本事件为：甲2乙5,甲2乙6,甲3乙3,甲3乙5,甲3乙6,甲4乙3,

甲4乙5,甲4乙6,共8个；所以事件A与事件B有“公共部分”，故A、B错误；

所以事件AuB的所有基本事件为：甲1乙5,甲1乙6,甲2乙5,甲2乙6,

甲3乙3,甲3乙5,甲3乙6,甲4乙2,甲4乙3,甲4乙5,甲4乙6,共H个；

又从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共4x5=20个基本事件，

所以事件发生的概率为三，故C正确；

20

事件Ac3发生的概率为：甲2乙5,甲2乙6,甲3乙3,甲3乙5,甲3乙6,甲4乙3,甲4乙5,甲4乙6,

Q9

共8个，所以事件发生的概率为故D正确；

故选：CD.

练习5.某射击运动员在一次射击中，射中10环的概率是射中9环的概率的2倍，运动员射中9环以下的概率为0.1,

求运动员在一次射击中，射中10环的概率.

【答案】0.6

【分析】根据互斥事件、对立事件的知识求得正确答案.

【详解】设事件A设C分别表示“射中10环”“射中9环”“射中9环以下”,则心=Au8，

因为P（A）=2尸（B）,所以尸（0=P（Au8）=P（A）+P（B）=l-0.1=0.9,

得3P（3）=0.9,P（3）=0.3,P（A）=0.6.

即运动员在一次射击中，射中10环的概率为0.6.

题型二频率与概率

例3.在抛掷硬币试验中，记事件A为“正面朝上”，则下列说法正确的（）

A.抛掷两枚硬币，事件“一枚正面，一枚反面”发生的概率为:

B.抛掷十枚硬币，事件B为“抛掷十枚硬币，正面都朝上”没有发生，说明尸（3）=0

C.抛掷100次硬币，事件A发生的频率比抛掷50次硬币发生的频率更接近于0.5

D.当抛掷次数足够大时，事件A发生的频率接近于0.5

【答案】D

【分析】根据古典概型判断AB,利用概率与频率的关系判断CD.

【详解】抛掷两枚硬币，出现的基本事件为（正，反），（正，正），（反，正），（反，反），所以事件“一枚正面，一

枚反面”发生的概率为尸=；,故A错误；

“抛掷十枚硬币，正面都朝上”没有发生，不能说明P（3）=0,应有尸（3）=/，故B错误；

抛掷100次硬币，事件A发生的频率与抛掷50次硬币A发生的频率不能判断谁更接近于0.5,故C错误；

根据频率与概率的关系知，当抛掷次数足够大时，事件A发生的频率接近于05故D正确.

故选：D

例4.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米3285石，验得米内有夹谷，抽

样取米一把，数得261粒米内有夹谷29粒，则这批米内夹谷约为石.

【答案】365

【分析】用样本频率估计总体频率，按比例计算.

r29

【详解】设这批米内夹谷约为x粒，则3=言，解得x=365,

3285261

则这批米内夹谷约为365.

故答案为：365.

举1-1反㈢

练习6.在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，

记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有个.

【答案】8

【分析】利用频率结合古典概型的计算公式代入即可得出答案.

【详解】因为摸到红球的频率稳定在0.8附近，

估计袋中红球个数是X,0.8=—=,"=8.

x+2

故答案为：8.

练习7.某制造商今年3月份生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个乒乓球的直径（单位：mm）,

将数据分组如下：

分组频数频率

[39.95,39.97)100.10

[39.97,39.99)200.20

[39.99,40.01)500.50

[40.01,40.03]200.20

合计1001.00

若用上述频率近似概率，已知标准乒乓球的直径为40.00mm,则这批乒乓球的直径误差不超过0。3mm的概率

是.

【答案】0.90

【分析】根据表格提供数据以及概率、频率的知识求得正确答案.

【详解】标准尺寸是40.00mm,并且误差不超过0.03mm,即直径需落在［39.97,40.03］范围内.

由频率分布表知,频率为0.20+0.50+0.20=0.90,

所以直径误差不超过Q03mm的概率约为0.90.

故答案为：0.90

练习8.（多选）某校为了解学校餐厅中午的用餐情况，分别统计了食用大米套餐和面食的人次数，剩下的为食用米

线汉堡等其它食品（每人只选一种），结果如表所示：

总人次数大米套餐人次数面食人次数

1000550260

假设随机抽取一位同学，记中午吃大米套餐为事件吃面食为事件M吃米线汉堡等其他食品为事件H,若用频

率估计事件发生的概率，则（）

A.尸（M）=0.55B.尸（N）=0.26

C.P（H）=0.19D.P（N=0.65

【答案】ABC

【分析】利用频率求各事件对应的概率，应用互斥事件加法求尸（NT/）,判断各项正误.

【详解】用频率估计概率得：尸（四）=蒜=0.55,P（N）=：^g=0.26,网切=败彘32=0.19,故A,B,

C正确；

P（NH）表示事件N发生或事件”发生，且N与”互斥，

故P（NH）=P（A^）+P（H）=0.19+0.26=0.45,故D错误，

故选：ABC.

练习9.甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评价.甲在网站A查到共有

840人参与评价，其中好评率为95%,乙在网站8查到共有1260人参与评价，其中好评率为85%.综合考虑这两

个网站的信息，则这家健身房的总好评率为（）

A.88%B.89%C.91%D.92%

【答案】B

【分析】根据已知数据直接计算可得.

840x95%+1260x85%

【详解】由已知可得这家健身房的息好评率为-----------------------=8o9ri%n/.

840+1260

故选：B.

练习10.某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量

指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（）

A.a=0.005

B.估计这批产品该项质量指标的众数为45

C.估计这批产品该项质量指标的中位数为60

D.从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在［50,70)的概率约为0.5

【答案】C

【分析】利用各组的频率之和为1,求得。的值，判定A；根据众数和中位数的概念判定BC；根据频率估计概率值，

从而判定D.

【详解】(4+0.035+0.030+0.020+0.010)x10=1,解得。=0.005,故A正确；

频率最大的一组为第二组，中间值为"誓=45,所以众数为45,故B正确；

质量指标大于等于60的有两组，频率之和为(0.020+0.010)xl0=0.3<0.5,所以60不是中位数，故C错误；

由于质量指标在［50,70)之间的频率之和为(0.03+0.02)x10=0.5,可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其

质量指标在［50,70)的概率约为0.5,故D正确.

故选:C

题型三古典概型

例5.用0,1,2三个数字组成的没有重复数字的三位数中，其中三位数为偶数的概率是()

A.-B.-C.1D.-

3324

【答案】D

【分析】根据题意，用列举法可写出所有基本事件，再利用古典概型可解.

【详解】根据题意，用0,1,2三个数字组成的没有重复数字的三位数有：102,120,210,201共四种情况，

其中三位数是偶数有：102,210,120,共3种情况，

故用0,1,2三个数字组成的没有重复数字的三位数中，其中三位数为偶数的概率是p

4

故选：D.

例6.若从集合｛1,2,3,4,5｝中任取3个元素组成该集合的一个子集，那么取得的子集中，满足3个元素中恰好含有2

个连续整数的概率等于;

3

【答案】1./0.6

【分析】根据古典概型的概率公式，即可求得答案.

【详解】从｛1,2,3,4,5｝中任取3个元素形成的子集共有C；=10个，

当连续整数为1,2时，此时符合条件的子集有2个；

当连续整数为2,3时，此时符合条件的子集有1个；

当连续整数为3,4时，此时符合条件的子集有1个，

当连续整数为4,5时，此时符合条件的子集有2个，

故有6个子集中恰好含有两个连续整数.

故所求概率为4=|，

3

故答案为：—

举一反三

练习11.江南的周庄、同里、用直、西塘、乌镇、南涪古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代

表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一

帜，驰名中外，这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处.某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游,

则至少选一个苏州古镇的概率为（）

A.-B.1C.-D.-

5255

【答案】C

【分析】应用组合数求出所有可能情况数，应用古典概型的概率求法、对立事件概率求法求概率即可.

【详解】从这6个古镇中挑选2个去旅游的可能情况有点=15种情况，

至少选一个苏州古镇的概率为尸=1一G=±.

155

故选：C

练习12.一个不透明的袋中装有2个红球，2个黑球，1个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中一次

性随机抽取3个球，则“这3个球的颜色各不相同”的概率为（）

A.|B.—C.-D.-

21055

【答案】D

【分析】列举出所有可能的结果，并找出其中符合题意的情况即可得解.

【详解】由题意设2个红球分别用｛44｝表示，2个黑球分别用｛4,表示，1个白球用｛CJ表示，

则取出的三个球的组合有以下10种情形:

（A,4,用）、（4,4,，2）、（A,4,G）、（A,4,，2）、（A,4,G）、（'%。1）、

（4,4也）、（4,耳C）、（4也C）、（为%G）,

其中符号条件的有以下四种情形：

（A，4，G）、（A&G）、（4,4，G）、（4，%G）.

49

因此从袋中一次性随机抽取3个球，贝IJ“这3个球的颜色各不相同”的概率为尸=5=亍

故选：D.

练习13.2022年H月8日，江西省第十六届