第3章　双变量模型假设检验

1Reviewofsimpleregressionmodel:estimationPopulationregressionmodel:E(Y|X)=b0+b1XYi=b0+b1Xi+uiSampleregressionmodel:“Linear”regressionLinearwithparameters2Estimationofsimpleregressionmodel:OLS3第3章双变量模型：假设检验Simpleregressionmodel:Inferencey=

b0+b1

x+u4目录3.1经典线性回归模型基本假设3.2

OLS估计量的方差与标准差3.3

OLS估计量的性质3.4

OLS估计量的分布3.5假设检验3.6判定系数：R23.7回归分析结果的报告3.8正态性检验3.9例子：简单工资决定模型3.10预测53.1经典线性回归模型的基本假设解释变量(X)与随机误差项(u)不相关。即cov(X,u)=0，如果X是非随机的，上述假定自动成立。随机误差项的均值为0，即E(u)=0平均来说，随机项的影响可以相互抵消，其实该假设只是为了便于处理。随机误差项同方差(homoscedasticity)，即Var(ui)=s2,所以Var(Y|X)=var(b0+b1X

+u|X)=s2Var(Y)=var(b0+b1X

+u)=s26同方差性(Homoscedasticity)..x1x2E(y|x)=b0+b1xyf(y|x)7异方差(Heteroscedasticity).x

x1x2yf(y|x)x3..E(y|x)=b0+b1x83.1经典线性回归模型的基本假设随机误差项无自相关(noautocorrelation)，又称序列相关，即Cov(ui,uj)=0forallij，等价于E(ui,uj)=0随机误差项服从正态分布，即u~N(0,s2)上述几条假设称为经典线性模型基本假设（CLRM）93.2OLS估计量的方差与标准差OLS估计量103.2OLS估计量的方差与标准差113.2OLS估计量的方差与标准差s2的估计量回归标准差(standarderroroftheregression)123.2OLS估计量的方差与标准差133.3

OLS估计量的性质Gauss-MarkovTheorem如果满足经典计量经济学模型基本假设，则在所有无偏估计量中，OLS估计量具有最小方差性；即OLS估计量是最优线性无偏估计量(BLUE)。线性：模型参数估计量是样本观察值的线性函数。143.3

OLS估计量的性质无偏性最小方差性：OLS估计量是所有无偏估计量中方差最小的估计量。153.4

OLS估计量的分布

首先，由于解释变量iX是确定性变量，随机误差项iu是随机性变量，因此被解释变量iY是随机变量，且其分布（特征）与iu相同。其次，0ˆb和1ˆb分别是iY的线性组合，因此0ˆb、1ˆb的概率分布取决于Y。在u是正态分布的假设下，Y是正态分布，因此0ˆb和1ˆb也服从正态分布，其分布特征（密度函数）由其均值和方差唯一决定。163.4

OLS估计量的分布经典模型假设ui~N(0,s2)X~N(a,s12),Y~N(b,s22),相互独立X+Y~N(a+b,s12+s22)因此，OLS估计量也服从正态分布173.4

OLS估计量的分布18例3.1在收入-消费支出例子中，参数估计及其标准差的计算如下19(64.1382)(0.0357)203.5假设检验在模型估计中，我们往往关注某些变量是否对被解释变量有关系，如果关系不大，我们估计出的参数应该比较小，接近于零。因此，在假设检验中，我们往往关注这样的原假设，H0:b1=0比如居民消费函数Y＝

b0+b1X+u213.5假设检验223.5假设检验233.5假设检验243.5假设检验:例子(64.1382)(0.0357)253.5假设检验:例子263.5假设检验:例子事实上，我们可以进行其他形式的假设检验，不只是考虑为0的假设。比如：273.5假设检验:例子283.5假设检验:例子如果我们现在要检验斜率的标准差是否为0.03，我们将使用卡方分布。29SummaryfortheclassClassicallinearmodelassumption(CLM)Cov(X,u)=0E(Xu)=0E(u)=0Var(u)=s2,homoskedasticityCov(ui,uj)=0,noautocorrelationui~N(0,s2),normaldistributionGuass-MarkovTheorem:

OLSestimatesareBLUEunderCLMassumption.30VariancesandstanddeviationsofOLSestimates31EstimateofvariancesandstanddeviationsofOLSestimates32ThedistributionofOLSestimates333.6判定系数R2343.6判定系数R2353.6判定系数R2....eixy363.7回归分析结果的报告373.7回归分析结果的报告(STATA)383.7回归分析结果的报告(Eviews)393.8正态性检验我们CLM假设误差项服从正态分布，如果不服从正态分布，我们就无法推出OLS估计量的分布，也就无法进行假设检验。那么我们的数据是不是正太分布呢，有一些检验方法：残差直方图Jarque-Bera检验403.8正态性检验Jarque-Bera检验H0：变量服从正态分布。从上面的式子可以看出，如果为正态分布，则JB值为0。如果通过计算，JB值大于临界值c2a(2)，则拒绝原假设，认为变量不服从正态分布。SK检验H0：变量服从正态分布。如果通过计算，JB值大于临界值c2a(2)，则拒绝原假设，认为变量不服从正态分布。413.9例子：简单工资决定模型考虑两种形式的工资决定模型wage=b0+b1educ+ulog(wage)=b0+b1educ+u数据(wage1.raw)结果wâge=-0.905+0.541educ

(0.685)(0.053)[0.187][0.000]n=526,R2=0.1648Skewness=1.861Kurtosis=7.797JB=807.843

SK=212.55log(wâge)=0.583+0.083educ(0.097)(0.0076)[0.000][0.000]n=526R2=0.1853Skewness=0.268Kurtosis=3.586JB=13.811SK=11.80c20.05=5.99423.9例子：美国的进行支出模型我们考察1968-1987年间美国的进口支出（Y）（或购买外国商品，包括耐用品或非耐用品的支出等）与个人的可支配收入（X）之间的关系。凯恩斯的消费函数理论：个人的消费支出与个人可支配收入正相关。而对进口支出是对国外商品的消费支出，是总支出的一部分，所以我们预期美国的进口支出与个人可支配收入之间也会正相关。构建模型：Y=b0

+b1

X+u433.9例子：美国的进行支出模型yearyxyearyx1968135.71551.31978274.12167.41969144.61599.81979277.92212.61970150.91668.11980253.62214.31971166.21728.41981258.72248.61972190.71797.41982249.52261.51973218.21916.31983282.22331.91974211.81896.91984351.12469.81975187.91931.71985367.92542.81976229.920011986412.32640.91977259.42066.619874392686.3443.9例子：美国的进行支出模型453.9例子：美国的进行支出模型从散点图看，美国的进口支出（Y）与个人可支配收入（X）之间近似线性相关关系，因此我们前面假设的模型形式是合适的。即Y=b0

+b1

X+u参数的意义数学上:b1

是斜率，b0是截距。经济学:

b1是进口支出的边际消费倾向，即个人可支配收入每增加1美元，所增加的进口支出。如果b1

＝0.25，表示个人可支配收入增加1美元，对国外商品的平均消费支出将增加0.25美元。根据经济理论，0＜b1

＜1。b0表示个人的支配收入为0时，对国外商品的平均消费支出。463.9例子：美国的进行支出模型473.9例子：美国的进行支出模型对回归结果的解释与我们的预期相同，进口支出（Y）与可支配收入（X）之间正相关。样本回归曲线的斜率为0.245，表示个人的可支配收入每增加1美元，对国外商品的需求支出将增加0.245美元。即对国外商品的边际消费倾向为0.245。同时，0.245＜1，符合经济理论的要求。R2＝0.9388，表示我们的样本回归模型对数据的拟合程度达到93.88%。即进口支出波动性的93.88%被我们的模型解释了，说明我们的模型是比较好的模型。注意：在实际估计中，并不是说R2越高越好，更重要的是看模型的参数估计是不是能够通过t检验和F检验（下一章内容）。483.9例子：美国的进行支出模型显著性检验下面，我们要检验我们的回归系数是不是显著的不为0。首先，对于斜率是否为0进行检验。容易计算出其t检验值为0.245/0.0148＝16.616，给定显著性水平a=0.05,我们计算出双侧检验临界值t0.05/2(20-2)=2.101,对于本例，我们的斜率显著为不0。如果，我们考察的备选假设是斜率大于零，我们将使用右侧检验，侧给定a=0.05，我们的单侧临界值则为t0.05(20-2)=1.734,同样我们会拒绝原假设，认为我们的斜率是大于0的。我们可以计算出我们斜率的置信区间，给定置信水平1－a＝0.95，有即0.2142

b1

0.2762493.10预测我们利用1968-1987年的数据，估计出了美国的进口支出模型，那么我们能不能对未来的进行支出进行预测呢？比如，我们知道1988年的美国的个人可支配收入为2800美元，那么它1988年的平均进口支出为多少呢？利用我们前面的估计模型，我们可以计算出Ŷ1988＝-261.09+0.245×2800＝425.556Ŷ1988在CLRM假设下，是E(Y1988|X)的无偏估计量，但存在预测误差。那么如何估计我们的预测误差呢，我们需要求出预测值的分布。在CLRM假设下，我们的预测值也是服从正态分布的，因此，我们计算出其均值和方差，则其分布也就得到了。下面，我们看如何求解其均值与方差。503.10预测513.10预测课本（6-58）丢掉平方523.10预测值的分布533.10预测值的分布543.10预测值的置信区间我们知道了Ŷ*的分布，则可以求解给定置信水平1-a下的置信区间，满足而对于每一个X，我们都可以计算出一个预测值Y，从而可以计算出其置信区间。从而我们可以得到针对整条总体回归线的真实平均值E(Y|X)的置信区间，或置信带。553.10预测值的置信区间：例子给定预测值的分布，我们可以计算1988年总体平均消费支出的置信水平为95%的置信区间(425.556-2.101*11.47,425.556+2.101*11.47)即(401.46,449.65)其中，自由度为20-2=18，5%显著性水平的双侧分位数ta/2=2.101如果我们求出总体回归曲线上的所有平均消费支出的置信区间，这些置信区间将组成一个置信带，见下文图。563.10预测值的置信区间：例子95%CI2800425.556401.46449.65从图上可以看出，置信带在处是最窄。而离样本均值点越远，置信区间会越宽，因此，我们进行预测时，X值不能离均值太远。Ŷ*=-261.09+0.245X57AnExample:DeterminantsofCollegeGPA(wooldridge,p128)Variables:colGPA,collegeGPAskipped,theaveragenumberoflecturesmissedperweekACT,achievementtestscorehsGPA,highschoolGPA58AnExample:DeterminantsofCollegeGPA(wooldridge,p128)1.高中成绩对大学成绩的影响colGPA=1.42+0.48hsGPA(0.3069)(0.0898)se.[4.61][5.67]t{0.000}{0.000}p-valuen=141fd=141-2=139R2=0.1719高中成绩每提高1分，大学成绩平均来说会增加0.48分。即高中学习好，大学成绩也不会太差。H0:b1=0H1:b1

0|T|=0.48/0.0898=5.67>ta/2(139)=1.96,拒绝原假设，说明在5%的水平下，高中成绩的高低显著影响大学成绩。置信区间为(0.30,0.66)59AnExample:DeterminantsofCollegeGPA(wooldridge,p128)高考成绩对大学成绩的影响colGPA=2.40+0.027ACT(0.2642)(0.0109)[9.10][2.49]{0.000}{0.014}n=141fd=141-