成理工核辐射测量方法讲义07核辐射测量统计学与误差预测

ttI(I(cps)7.1.1二项式分布性地归于A类或B类。设归于A类的概率为p，归于B类的概率为q,显然p与q满足关系从N0个客体中取n个的组合数。P(n)=C0p从N0个客体中取n个的组合数。对每种分布，都有两个最重要的数字特征：数学期望，方σ= D(ξ)E(ξ)=nP(n)=N0⋅p1=(n−n)2P(n)2=N0pq=任何一个核在t时间内衰变的概率为p1－e-λt不衰变的概率为q＝1－p＝e-λt。式中λ是该核素的放射性衰变常数。将衰变概率、不衰变概率代入（7.1）式，可以得到在tN0−nn=E(ξ)=N0⋅p=N0(1−e−λ⋅t)σ=n(1−p)=ne−λ⋅tσ=nP（n）n=1n=2nP（n）n=1n=2n=3n=6σ≈n（7.7）7.1.2泊松分布在二项式分布中，当N0很大而p又很小时，这时作为二项式分布的一种极限情况就当满足N0很大而p很小条件时，有n＝N0pN0。对于在n值附近的n值，得N!N0−0n)=N0(N0−1)(N0−2)•••(N0−n+1)≈NN0−n≈(e−p)N0−n≈e−p⋅N0（7.8）代入（7.1）式并注意到n＝N0p，就得到P(n)≈pne−p⋅N0= n−n−n e泊松分布可以很好地近似于二项范围为所有的正整数（0，1，分布逐渐趋于对称，如图7.2所为0nσ= (n−n)2P(n)=n7.1.3正态分布正态分布可以看作是泊松分布中n有较大数值时的一种极限情况。P(n)=σ12πe−(n−n)2/2σ2（7.11）上式中，n和σ分别是高斯分布的数学期望和标inin=（7.12）σ= =N δ12+δ22+...+δN2=Nδi2i=1Nv2ii=1(ni−nv2ii=1σσ=N−1NN−1P(n1≤n≤n2)=σ12πe−(n−n)2/2σ2dn（7.15）φ(t)=πe−t2/2dt令t=nn，dt=,于是得t2 P(t2 1t1t21131213141−λ⋅t)εP(N)=(N0)!N!pnq(N0−N)o−λ⋅t)εσ2=Nopop，（P(N)= 1e−(N−M)2/2σ2σ2π7.3.1电离的统计涨落中所损失的能量为E0，则所产生离子对数的平均值为n n=E 0Ew质中做了N次碰撞（N是个很大的数平均产生了n子的概率是n/N，不产生一对离子的概率是1－n/N。按照二项式分布，我们可以写出结P(n)=n!(n)!n1－N−nP(n)=e−n（7.24）σ=n=E0wE0E0 σn=σn=1 nw2/2σ2也并不遵从泊松分布。法诺第一个对此做了较仔细的考σ2＝F⋅n法诺的基本考虑是：假定入射粒子在介质中通过一系列的碰撞事件把能量传递给介0wkwkw=N〈(nk−)2〉 式中N为平均碰撞的总次数。为了与泊松分布比较，令 F=N〈(nk−Ek)nw323并且N1∝σe，N2∝σj1，N3∝σj2。按照平均值的计算方法7.29）式中的N10−2+N2012302〉=N2N3N12+N21−12+N31−2DD=σe2+σj11−12+σj21−2的计算也有相应的改进。最新的计算表明，三、电离涨落对谱线的影响y(n)dn=σ12πe−(n−n)2/2σ2dn（7.31）2令dEdn=dEdn=n=，wwwσ2=Fn=FE 0Ewy(E)dE=2πE0/we−(−)2/(2FE0/w)D= FE0/w=1e−(E−E0)2/(2σ)dE 2πσ,它是由离子对数涨落造成的以能量单位表示的峰的宽度参数。y(E)dE=Y(E)2σDe−(E−E0)2/(2σ)dE（7.33）如果原来的谱线Y(E)为高斯分布，其方差用σ表示，则卷积结果谱线仍服从高斯分布，且总的方差σt2为σt2=σ+σ（7.34）FWHM＝22ln2σ=2.36σ（7.35）7.3.2倍增过程统计学后将这些ξ2的取值加起来，于是得到了ξ的一个取值。按这种规则定义的随机变数ξ称ξ=ξ2iiE(ξ)=E(ξ1)E(ξ2)D(ξ)=E(ξ1)D(ξ2)+E2(ξ2)D(ξ1) 1D(ξ2)E(ξ1)E2(ξ2) D(ξ)E2(ξ)= D(ξ1)E2(ξ1)+ξK)⋅=+E()＋E(ξ1)(ξ2)())++QNMσ2=M2σ2+NQNM2=2+2（7.44）进一步的计算需要代入σN和σM的数值。根据（7.28）式，有(σN/N)2=F/N；又根P(M)=e−M/M∞σ=(M−M)2P1(M)dM=M202=Nσ2=+=均值M为7.46）2=假如除第一联级的增益等于δ1外，其它各联级的增益都等于δ,则上式要改为2=2=δ12=1+7.4.1核辐射脉冲的时间间隔分布P(t)=e−mtdP(tdP(t)/dtP(dt)=mdtdP(t)=P0(t)P1(dt)=me−mtdt（7.51）但P0(t)， mt=tdP(t)=tme m0SS=1S=2S=4mtσt2=(t−t)2dP(t)=(t−)2me−mtdt7脉冲时间间隔的分布P(t≥T)=dP(t)=me−mtdt=e−mTTTm7.4.2包括多个脉冲的时间分布间间隔就是一个包括了S个输入脉冲的时间(t)=PS−1(t)(dt)PdPS(t)=e−mtmdt=e−mtd(mt)可以计算S倍脉冲的平均时间间隔ts，和间隔ts的方tS=tdPS(t)=te−mtd(mt)=σ=(t−tS)2dPS(t)=(t−)2e−mtd(mt)=Sm2−mtm=00S=1=P(t≤T)=e−mtmdtP(t≤T)=1−e−mT−mTe−mT(mT)2−mT−e(mT)S−1−mTPP，（7.4.3分辨时间和漏计数校正其特点是：每个脉冲都使测量装置在一个分辨时间τ1内失效，而不论此脉冲是否能又使装置在它之后的一个τ1内失效，即延续了装置的失效时间。在这种情况下，凡与上e−mτ1。因此，在单位时间内能测到的脉冲计数n为n=me−mτ1（7.62）不能引起计数，但也不会进一步引起分辨时间的延续。这类分辨时间用τ2来表示。在分辨时间τ2内所损失的脉冲数，可以直接利用泊松分布公式来计算。考虑位时间内所记录的实际上是由K个脉冲组成但C(K)=nP(K−1)=nm=n(mτ2+1)m=n1−nτ2在这段时间内进入的脉冲数是m(nτ2)，它也m−n=m(nτ2)装置不会阻塞，这时具有最大的计数率：为单位时间内所能包括的τ2的最大数目，即为7.4.4脉冲重叠数的计算P(K−1)＝e−mτC(K)=fP(K−1)式中f为一常数。它可以这样来确定，即各堆积脉冲中组成的脉冲数累加起来应等于单位=f=f(mτ+1)f=C(K)=fP(K−1)=e−mτC(K≥K0)=0C(K)=0去估计间接测得的元素含量的误差呢?上述问题是一个由直接量的误差7.5.1函数系统误差的计算y=fy=fx1,x2,...,xn7.5.2函数随机误差计算,x2,...,xn)对x1:δx11,δx12,...,δx1N对x2:δx21,δx22,...,δx2N⋅⋅⋅对xn:δxn1,δxn2,...,δxnNdy=dx1+dx2+...+dxn21n1dy222n2dyN1NnN2δx1+21δxi1δxj12δx2δx21δxi2xj22δx2δxN2δxN1δxiNxjN2N+2+δx2+2+δx2N+nNnN2δi=12δi=1 ninσ== δ12+δ22+...+ ninσ==σ=2σ1+2σ2+•••+2σn+21m=ρijσxiσjij=ijNK σσxixj式中ρij——第i个测量值和第j个测量值之间的误差的相关系数。σ=NσximσxjmNK=m=1N=0σ=2σ1+2σ2+...+2σnσy=2σ1+2σ2+...+2σni=ai有σ=y 1x12x2...1x12x2...nxn7.5.3系统误差与随机误差的合成2+2+Ri=1 e+δi2测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随总=总=1,2,,S1,2,,Sσ1,σ2,qσ=u+σi2+Rσ=u+σi