南华大核反应堆物理讲义第4章 均匀反应堆的临界理论

南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材第四章均匀反应堆的临界理论在前面二章中，我们仅一般地讨论了中子在介质内的扩散和慢化问题，并没有强调中子源或介质的增殖特性。本章将研究由燃料和慢化剂组成的有限均匀增殖介质（反应堆系统）内的中子扩散问题。这时，中子在介质内一方面不断地吸收，同时又将由于核裂变反应而断地有新的中子产生，也就是说，与中子在介质内扩散过程的同时，还发生着链式反应过程，例如，均匀反应堆便属于这种情况。在讨论增殖介质内的中子扩散问题，最感兴趣的是：这种链式裂变反应过程的状态如何？链式裂变反应是不断地衰减，还是继续地进行下去？在什么条件下这种链式反应过程能够保持稳态地以一定速率继续地进行下去？这也就是在第一章中所提到的反应堆临界理论问题。在反应堆临界理论中，主要是研究下面的两个问题：(1)各种形状的反应堆达到临界状态的条件（临界条件）；临界时系统的体积大小和燃料成分及其装载量。(2)临界状态下系统内中子通量密度（或功率）的空间分布。研究反应堆临界的方法有许多种。处理多区反应堆最有效和常用的方法之一是分群扩散模型。在这种处理方法中，将中子能量自源能量到热能之间分成为若干个能量区间（叫做“能群”然后，把每一能群内的中子放在一起来处理，并将它们的扩散、散射、吸收以及其他反应的特性，用适当平均的扩散系数和相应截面（群常数）来描述。在分群扩散理论中，最简单的是“单群”理论，但是它只能提供一种比较近似的结果。在热中子反应堆中，常常采用双群扩散理论，尤其是以石墨或重水作慢化剂的反应堆。这时，只要群常数选得当，就能给出比较好的结果。但是近年来随着电子计算机、计算技术的发展、新的堆型（如快堆）的出现以及对反应堆计算提出的更高要求，则采用少群（2-4群）或多群理论进行计算。但是，鉴于单群和双群理论简单明了，可以解析求解，有利于初学者理解和掌握分扩散理论的一些基本概念和方法，因此本章将着重介绍单群和双群扩散理论的计算。第一节均匀裸堆的单群理论通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材所谓单群，是指认为反应堆中所有的中子都具有相同的能量，列为一群。例如，对于热中子反应堆，由于引起核裂变的主要是热中子，因此自然可以近似地认为所有中子的能量都等于热能。尽管由单群理论所得到的结果在精度上是不够理想的，仅仅是一个近似的结果，但它却是最简单的方法，同时它的一些结果和方法却带有普遍意义的，因此对它的讨论是有意义的。本节将首先讨论均匀裸堆（均匀介质）的临界问题，对与有反射层的反应堆将在下一节中讨论。1.1均匀裸堆的单群扩散方程及其解在（2-27）式中，已经给出了单群中子扩散为=D2φaφ这里扩散系数D和Σa是对中子能谱平均后的数值。现在要把这个方程应用于由燃料-慢化剂构成的有限大小的均匀裸堆系统。在单群近似情况下，假设所有裂变中子都是瞬发的，热中子反应堆内单位时间、单位体积内产生的中子数等于将其代入上式便得到其中，a为芯部的宏观吸收截面；D为芯部的扩散系数；k∞为芯部的无限介质增殖系数。（4-2）上式称为芯部单群中子扩散方程。它的边界条件为：（1）在反应堆为推边界处，中子通亮密度为零；（2）在不同介质的交界面上，中子通量密度相等，中子流密度相等。通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材单群扩散方程（4-2）式为一个二阶偏微分方程，通常对这种方程可以应用分离变量法求解，即可以把中子通量密度φ(r,t)写成空间坐标r的函数φ(r)及时（4-3）（4-4）上式左端是仅含r的函数，而右端是仅含t的函数，因此等式两端必须都等于某一常数（例如，−B2）。这样有或（4-5）这里，B2为一常数。（4-5）式为典型的波动方程。B2称为方程的“特征值”。一般地讲，对于给定的几何形状系统，在满足给定的边界条件下，可以得到一系列按大小排列的特征值B，B,对应于这些特征值，方程（4-5）之解叫做特征函数。例如，φn(r)是对应与第n个特征值B的解。便叫做第n个特征函数。对应于n=1的特征函数通常叫做基波特征函数或一阶谐波，其余的特征函数称为高阶谐波。一般把最小特征值B记作B，并把它称为反应堆的几何曲率，因为它只与反应堆形状和大小有关。得通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材用L21+L2B)乘上式的每一项，便可以通过简化得到下列等式式中方程（4-8）之解为根据单群特征函数的正交性，可以把任何具有良好性质的函数用特征函数的级数来表示。这样（4-5）式的完全解可以用下列级数形式来表示，即故有将（4-9）式代入（4-10）式中，便得到中子通量密度φ(r,t)之解为式中，An为待定常数，φn(r)系对应于特征值B的波动方程（4-5）的特征函数。这种利用特征函数来展开任意函数的方法，在反应堆物理分析中是常常应用的。下面举例以说明。为了简化问题，讨论一个长、宽为无限大，厚度（包括外推距离在内）等于a的平板形裸堆（图4-1）。通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001由于对称性。这时通量密度分布仅仅是x的函数。将坐标原点取在平板的中心面上，这时，波动方程（4-5）式可以写成+B2ϕ(x)=0上述方程能满足对称性条件的解为2（2)ϕ|=Acos=0因而就要求B应等于Bn=,n=1,3,5……（4-12）或Bn=,n=1,2,3……所以有方程（4-12）所确定之B(n=1,2,3……)，即为波动方程的特征值，其对应之特到n=∞的所有整数的总和，即通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材这样，对于无限平板反应堆，中子通量密度φ(x,t)（（4-11）式）具有如下形式有中子源情况为方便起见，仍然讨论图4-1所示无限平板形反应堆。设在x=0处有一源强为S中子/米2·秒的平面源，这时中子扩散方程中的源项应表示为因而方程（4-1）将为非齐次方程。由数理方程知道它的解为（具体过程作为练习留给读者完成）1.2热中子反应堆的临界条件通过前一小节的讨论可以知道，特征值B随n的增加而单调增大。最小特征值是n=1时的B值，而同时又从（4-8）式可以看出。当n增加时，kn单调递减，也就是说对应与最小特征值B之k1是k1，……,kn中的最大值。另外，考虑到B与系统尺寸有关，当系统尺寸加大时，B便减小，因而改变系统的尺寸就可以改变B值，从而也就改变了kn值。现在分以下几种情况对（4-11）或（4-15）式进行讨论：第一种情况：对于一定几何形状和体积的反应堆芯部，若B对应的k1小于1，那么，其余的k2，……，kn都将小于1，这时的（kn都是负值。从（4-11）式可以看出，这时，ϕ(x,t)将随时间t按指数规律衰减，因而系统处于次临界状态。反应堆将处于超临界状态。通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材第三种情况：若通过调整反应堆堆芯尺寸，使k1恰好等于1，则其余将与时间无关，而n＞1的各项将随时间的衰减。因而当时间足够长时,n＞1各项都已衰减到零，系统达到稳态，这时中子通量密度按基波形式分布，反应堆处于临界状态。因而反应堆维持临界的条件是k1=1显然k1便是前面定义的有效增殖系数。最后，我们讨论有外中子源时的情况。如果k1＜1，那么对所有kn−1都是负数，于是（4-16）式括号内第一项随时间按指数律衰减，很短时间以后便趋近于零。这时中子通量密度便趋于如下稳定值这就是有外中子源的次临界堆内的中子通量密度分布，由此可以看到，它只取决于中子源的强度。如果k1=1，也就是当反应堆于临界时，这时经过一段时间后的（4-16）式中第一项将趋于常数，但是第二项有外中子源存在时将趋于无限大。因而反应堆要实现稳态临界时外中子源必须移去。对于k1＞1超临界情况，和前面一样，中子通量密度将随时间而不断增长。从上面的讨论，我们得到两个重要结果：(1)裸堆单群近似的“临界条件”为：(4-17)这里B2系波动方程（4-5）的最小特征值B（几何曲率4-17）式称为单群理论的临界方程。通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材(2)当反应堆处于临界状态时，中子通量密度系按最小特征值B所对应的基波特征函数分布，也就是说稳态反应堆的中子通量密度空间分布系满足波动方程(4-18)的解。这里B是最小特征值，即几何曲率。这两点结论是非常重要的。也就是本节所研究的主要问题。现在我们来讨论一下（4-17）式中各项的物理意义。首先我们证明（4-17）1+L2B2)项的物理意义是热中子在扩散过程中的不泄漏几率PL。在反应堆单位时间、单位体积内的热中子泄漏率等于−D∇2φ,根据（4-18）式有−D2φ=DBφ;而单位体积内中子的吸收率为Σaφ。显然，以单群理论观点来看，反应堆内的中子不是从堆内泄漏出去，就是在堆内被吸收，因而有这样4-17）式可以写成k1=k∞PL=1(4-20)它与第一章中的临界条件（1-101）式完全一样。由此可见，这里的k1也就是前面所定义的反应堆有效增殖系数可。同时，由（4-7）式可知，l1为考虑热中子泄漏影响后的中子寿期。最后，从（4-19）式可看到，反应堆的中子泄漏不仅与扩散长度有关，而且与几何曲率有关。从前面平板状反应堆的例子中可以看到，当反应堆体积增大时，B就减小，因而正如所预料的那样，不泄漏几率也就增大。同样，扩散长度L愈大，通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材意味着中子自产生到被吸收所穿行的距离也愈大，因而从反应堆中泄漏出去的几率也就增大，不泄漏几率PL就要就小，这和（4-19）式的结果是一致的。下面就图4-1的简单例子说明上述结果的应用例题：设有如图4-1所示一维石墨慢化反应堆，k∞=1.06,L2=0.03米2，λth=0.028米。试求：（i）达到临界时反应堆的厚度H和中子通量密度的分布；（ii）设取H=2.5米，试求反应堆的有效增殖系数k。解（i）根据（4-17）式临界条件，求得临界时反应堆的几何曲率B应等于因而Bg=1.414米−1。另一方面根据（4-12）式有Bg=πa，因而有ππa==Bg1.414=2.222米外推距离d=0.7104λth=0.7104×0.028≈0.02米。因而求得临界时反应堆的厚度H=a−2d=2.222−0.04=2.182米临界时中子通量密度分布为（ii）若H=0.25米，则反应堆的几何曲率B=2=1.530米−2反应堆的不泄漏几率P和有效增殖系数分别等于通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材1.3各种几何形状的裸堆的几何曲率和中子通量密度分布从前面讨论可以看到，裸堆临界计算的关键在于求出各种几何形状和大小的反应堆系统的几何曲率B及其波动方程（4-18）式的基波解。下面推导几种最常见的形状反应堆的几何曲率及中子通量密度分布函数。考虑一个半径为R（包括外推距离在内）的球形裸堆。应用球坐标系统，并把原点取在球心上。根据对称性条件，这时的波动方程（4-18）式为（4-21）上式的普遍解（见表2-1）为(4-22)为了满足当r趋近与零时，中子通量密度为有限值的条件，常数E必须为零。所以(4-23)根据满足当r=R时，φ(R)=0的边界条件的要求，必须使BgR=nπ,n=1,2,3,…。因此对应于n=1时的最小特征值，或几何曲率B便等于B2=(2(4-24)g（R)于是中子通量密度分布为式中C为常数，它由中子通量密度的归一化条件或反应堆的输出功率决定。（2）长方体形反应堆考虑一个长方体形反应堆，其边长分别为a,b,c（均包括外推距离在内）。这时采用直角坐标系，原点取在反应堆的中心点（图4-2）通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材。波动方程可以写成如下形式(4-26)(4-27)(4-28)上式左端头三项分别是x,y及z的函数，而且其和等于常数，这只有当每一项本身是常数时才是可能的，于是有将以上三式代入（4-28）式中，便得到(4-29)(4-30)(4-31)(4-32)考虑到中子通量密度对于x轴是对称的，所以（4-29）式之解为通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材同样可以求得X(x)=ACOSB,x(4-33)处中子通量密度为零的边界条件得出x方向的几何曲率为~(4-34)(4-35)从（4-32）式可以得出反应堆的几何曲率为稳态时的中子通量密度分布形式如下(4-36)(4-37)(4-38)式中，C是由中子通量密度归一条件或由反应堆输出功率决定的常数。根据条件极值原理可以证明，对于各种不同的长方体形的裸堆。在给定了Bg值的条件下，以正方体的裸堆的体积最小。而由（4-37）式可以得出(4-39)（3）有限高圆柱形反应堆圆柱形为最常见的反应堆形状。设圆柱形反应堆的半径为R，高度为H（R，H均包括外推距离在内）,见图4-3。通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材采用柱坐标系统，原点取在圆柱体轴线的中点上，这时中子通量密度只取决于r和z两个变量，波动方程便写成边界条件是(i)中子通量密度在堆内各处均为有限值；采用分离变量法求解，把φ(r,z)分离变量写成因而可以令左端每一项均等于常数，有(4-40)(4-41)(4-42)(4-43)(4-44)通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材(4-45)现在求解（4-43）式。令x=Br，将其代入（4-43）式中去，便得到我们所熟悉的零阶贝塞尔方程其普遍解为此处J0,Y0分别为第一类及第二类零阶贝塞尔函数。如果假设（4-43）式右端等于正数，则它将化成一个零阶修正贝塞尔方程它的普遍解是J0,Y0,I0和K0的曲线。根据边界条件（i）和（ii从这些曲线上可以看出，Y0,I0和K0均应从上述解中消去。因而在（4-43）式右端必须取−B值，故（4-43）式的允许解为通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材(4-46)其中常数A不能为零，故只能是J0(BrR)=0，由图4-4知贝塞尔函数J0的第一个零点是2.405，因而(4-47)(4-48)接着求解方程（4-44由长方体反应堆的讨论已经知道它的解为Z(2)=FCOSB2z其中这样，圆柱形裸堆的几何曲率为式中B称为径向几何曲率，B称为轴向几何曲率。中子通量密度的分布形式为(4-49)(4-50)(4-51)(4-52)利用求条件极值的方法可以求出，在给定的B值下，当直径D=1.083H时，圆柱形反应堆具有最小临界体积。通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材（4-52）、（4-38）和（4-25）式中的常数C是由中子通量密度的归一条件或反应堆的输出功率来确定的。设反应堆的功率为P，芯部的体积为V，每次裂变放出的能量为Ef，则有把有关反应堆内中子通量密度表达式（4-52）、（4-38）或（4-25）式代入上式积分之，便可确定出常数C。最后将上述各种几何形状反应堆的几何曲率与中子通量密度分布总结列于表1.4反应堆曲率和临界计算任务从前面的讨论知道，中子通量密度的空间分布满足波动方程（4-18即(4-53)通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材这里，B为方程的最小特征值，即几何曲率。对于裸堆来讲，几何曲率只与反g（R)它与反应堆的材料成分和性质没有关系。另一方面，对于临界状态的反应堆，它的几何曲率应能满足临界方程（4-17）。由于几何曲率只取决于反应堆的几何形状与大小，因而对于任意给定材料成份和几何大小的反应堆，它的几何曲率B并不一定都能满足临界方程（4-17）。事实上，由于k∞、L2等都仅仅决定于反应堆芯部材料特性，显然，对于一定材料成份（即给定k∞、L等值）的反应堆，只能有一个确定的B2值能满足临界方程（4-17）。为了计算和讨论方因而，对于单群扩散理论，材料曲率B等于B=(4-54)显然，材料曲率B反映增殖介质材料的特性，它的数值只取决于反应堆的材料成分和特性（如L2，τ,k∞等而与反应堆的几何形状及大小无关。引进了材料曲率的概念之后，反应堆的临界条件可以描写如下：反应堆达到临界的条件是材料曲率等于几何曲率，即B=B(4-55)例如，对于裸堆情况，利用单群理论，可以将临界条件（4-55）式的具有形式写成通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号(对球形反应堆)（对圆柱状裸堆）南华大学核科学技术学院(4-56)(4-57)邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材在一般情况下，对于给定的尺寸的反应堆，其几何曲率不一定等于材料曲率B则反应堆处于次临界状态。最后，由上面的讨论可清楚地看到，反应堆临界问题的计算可以归纳为下面两类问题：第一类问题：给定反应堆材料成分，确定它的临界尺寸当反应堆材料成分给定以后，k∞、L2等物理参数便可以很容易地计算出来。因而，材料曲率就成为已知的量，问题便变成了求临界尺寸问题。根据临界时，B=B，可以根据表4-1所给出B与尺寸的关系公式计算出临界尺寸来。第二类问题：给定反应堆的形状和尺寸，确定临界时反应堆的材料成分这时，事先给定反应堆的几何形状和尺寸（例如，由热工计算给出），而要求临界时所需的材料成分（一般是燃料的富集度）。事实上这是第一种情况的逆问题，因为这时几何曲率B是已知的，所需要的是改变反应堆的燃料慢化剂成分和比例，以使得临界方程（4-17）得到满足。在具体计算中，有时还会遇到这样的情况，即不仅反应堆的材料成分（如，燃料-慢化剂）已经给定，而且反应堆的几何尺寸已由工程或热工的需要所确定。这时需要求的是反应堆的有效增殖系数k[（4-17）式]k∞k=221+LBg或(4-58)k−1(4-58)ρ=k式中，ρ通常称为反应性。对于临界反应堆，ρ=0；若ρ>0，则反应堆处于超临界状态；ρ<0，则反应堆处于次临界状态。因此|ρ|的大小表示反应堆偏离临界状态的程度1.5单群理论的修正前面提到，单群理论是一种近似的方法。计算表明，对于热中子反应堆，直接应用（4-17）或（4-54）式进行计算，将带来比较大的误差。但是，若用通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材M2=L2+τ来替换上述中[包括（4-56）和（4-57）式]的L2，则可以改善计算结果，并且其结果是令人满意的。这样，临界条件和材料曲率便改写成下列形k=(4-59)B=(4-60)这就是所谓的热中子反应堆的修正单群理论。修正单群理论之所以能改善计算结果，其主要原因可以从物理上解释如下：在单群理论中，把所有中子都看成为热中子，因而该理论没有考虑慢化过程对泄漏的影响；我们知道，L2与中子自变成热中子地点到它被吸收为止所移动过的距离有关，1(1+L2B)为热中子扩散过程中的不泄漏几率，但是，在反应堆内，中子由裂变中子到慢化成为热中子之前，已经移动过了一个距离τ;这样正如在（3-137）式中所指出的，M2=L2+τ是描述中子由裂变产生直到它被热吸收所穿行距离的均方值。故该用徙动面积M2=L2+τ来代替L2，这样，便初步地考虑了慢化过程对泄漏的影响，因而使精确度得到了改善。实际计算结果也证明了这一结论。因此，以后提到单群理论一般地都是应用修正的单群理论公式。它即简单又具有较好的精确度。最后，在本节结束前我们通过了一个例子来说明这些公式的应用。L2=4.710−4米2,τ=48×10−4米2,λth=0.097米，加硼后k∞=10.72。(i)设芯部高度H=3.55米，试求堆芯的临界半径。(ii)如果给定堆芯半径R=1.56米，那么试求堆芯的反应性。解：首先计算临界半径。已知芯部的外推距离.d=0.7104λth=0.0689米，根据修正单群理论，有通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材‘因而有效增殖系数k等于而反应性2.有反射层反应堆的单群扩散理论2.1反射层的作用上一节讨论了裸堆的临界计算。但是，在实际情况下，几乎所有的反应堆均有不同厚度的反射层。因而，研究有反射层的反应堆是更为必要的。在裸堆的情况下，堆内的中子一旦逸出芯部外，就不可能再返回到芯部来，这一部分中子就损失掉了。如果在芯部的外围包上一层散射性能好，吸收截面小的非增殖材料（如，石墨等这时由芯部逸出的中子会有一部分将被这一层介质散射而返回到芯部中来。从经济利用中子的观点来看，这是十分有利的。这种包围在芯部外面用以反射从芯部泄漏出来的中子的材料结构称作反射层。反射层的作用，首先是可以减少芯部中子的泄漏，从而使得芯部的临界尺寸要比无反射层时的小，这样便可以节省一部分燃料。另外，反射层还可以提高反应堆的平均输出功率。这是由于包有反射层的反应堆，其芯部的中子通量密度分布比裸堆的中子通量密度分布更加平坦的缘故。关于这点，将在下边讨论。对反射层材料，首先要求它的散射截面Σs大，因为当Σs大时中子逸出芯部进入反射层后在很短距离发生散射的几率就大，因而返回到芯部的机会也就增多。其次，反射层材料的吸截面Σa要小，以减少中子的吸收。最后，当然还希望通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材反射层具有良好的慢化能力，以便使能量较高的中子在从反射层返回到芯部时，已经被慢化为能量较低的中子了，从而减少了中子在堆芯内共振吸收的几率。综合以上所述，可看出，良好的慢化剂材料，通常也是良好的反射层材料。常用的反射层材料有：水、重水、石墨和铍等。2.2一侧带有反射层的反应堆有反射层反应堆是一个多区的问题，在不同区内，材料参数不同，中子扩散方程也不相同。因而它不可能象前面所讨论的单区裸堆那样，根据边界条件求出几何曲率与芯部尺寸关系的简单表达式。下面讨论用单群理论解一侧带有反射层的反应堆的临界问题。首先列出芯部及反射层中的单群扩散方程，设以角标“c”及“r”分别表示芯部及反射层的参数。芯部稳态单群扩散方程已知反应堆在临界时，其芯部的中子扩散方程为显然，它只是对于临界系统才是成立的，对于给定的方程参数Dc，Σac和k∞, 只有在一定几何形状和尺寸的情况下，系统才能达到稳态，方程才能成立，并且有解。一般来说，对于任意给定的系统大小和材料特性，系统不一定处于稳态，方程（4-61）式不一定都成立。但是，从物理上，这可以借助引进一个特征参数k来进行调整使其达到临界，即把k∞（或每次裂变放出的中子数v）除以参数k。改变k值大小便可以使系统达到临界。因为若原来的问题是次临界的，则我们将k∞除以一个小于1的正数k，亦即人为地提高裂变产生的中子数。改变k值大小必然可以使得系统恰好达到临界。反之，系统是超临界的，则应除以大于1的k值，也可以使其达到临界。当系统临界时，k=1这样，对于任意系统，都可以写出它的稳态单群扩散方程如下：或者写成通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材其中这里，L是芯部的扩散长度。从物理上我们可以看到，这里引进的k就是系统的有效增殖系数。这可以证明如下：把（4-62）式对整个芯部体积积分，注意到(4-65)它就是中子从整个芯部表面泄露出去的速率，这样由（4-62）式有这正是前面所定义的有效增殖系数。发射层的稳态单群扩散方程由于反射层是非增殖介质，所以在方程中不出现中子源项。这样，根据（2-36）式，反射层内中子扩散方程为式中Lr为反射层的扩散长度。方程（4-63）及（4-66）便是芯部及反射层的稳态单群扩散方程，其边界条件为：(i)在芯部与反射层的交界面上crφ=φcrDφ=式中，φc、φr分别是φc、φr在交界面的法线方向上的导数。通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材(ii)在芯部或反射层的外推边界上ϕc=0;ϕ=0r（4-69）下面，我们把单群扩散方程（4-63）及（4-66）应用到几种不同几何形状的反应堆上，求出其边界方程及中子通量密度的分布。(1)有反射层的球形堆考虑一个芯部半径为R，带有厚度为T（包括外推距离在内）的反射层的球形堆。采用球坐标系，并把坐标远点取在球心上。根据中子通量密度在堆内处处为有限值的条件，得到芯部方程（4-63）式之解为反射层方程（4-66）之解为这个解要满足在反射层的外推边界r=R+T处中子通量为零的条件，由此有A"'=-C"K,(R+T)（4-72）'将A代入（4-71）式中可以求出式中，C为一新的待定常数。方程（4-70）及（4-73）中有两个常数A和C，它们由芯部与反射层交界面通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材将以上两式相除得到方程（4-74）就是带有反射层的球形反应堆的单群临界方程。它给出了反应堆的外形尺寸（R，T）与材料特性(Lr,Dr,Dc,等)之间在临界时所应满足的关系。它和裸堆的临界条件（4-56）式的意义是一样的，只是它不像（4-56）式那样，各参数（如k∞和几何尺寸R）之间有显式的函数关系。根据它便可以对球形反应堆进行临界计算。例如，在给出了燃料与慢化剂成分及比例后，Bc,Dc,Dr,Lr等参数均可算出，若反射层厚度T已经给定，令k=1这样，从（4-74）式就可以算出带反射层的球形堆的临界半径R，不过这时需要解一个超越方程式。反之，若球形堆的半径R及反射层厚度T等尺寸已经给定，那么，就可以求出临界时的燃料-慢化剂的成分比例，以使材料参数B等满足方程（4-74）。对于材料特性和芯部及反射层的尺寸（R，T）都已经给定的情况，那么，从（4-74）方程可以确定出满足方程的k值。它就是系统的有效增殖系数。通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材出了用单群扩散理论计算得到的裸堆及带反射层的反应堆的中子通量密度分布图形。从图中可以清楚地看到，在靠近堆芯的中心部分，裸堆的中子通量密度分布与带反射层的反应堆的中子通量密度分布基本上一样。但在靠近反射层处，由于一部分中子自反射层返回到堆芯内，因而有反射层时堆芯的中子通量密度分布要比裸堆的平坦一些，从而便提高了反应堆的输出功率。(2)侧面带有反射层的圆柱形反应堆考虑一个圆柱形反应堆，半径为R，高度为H，在侧面带有厚度为T的反射层。采用柱坐标系，原点取在圆柱体轴线的中点上（图4-6）。通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001这时芯部及反射层的扩散方程分别为：芯部反射层边界条件为：(i)在z=±处(ii)在r=R+T处(R+T,Z)=0;（4-78）(iii)在r=R处=:D=D（4-79）通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材现用分离变量法解芯部扩散方程（4-75令式中，并加以整理后得出：因此有并且B2=B2+B2ze(z)=A'COSB.z方程（4-82）满足中子通量密度在r=0处为有限值的解为其中现在来求解反射层的扩散方程（4-76），同样地令并将其代入（4-76）式中可以得到式中通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材最后解之得而ϕr其中由此得出（4-88）式之解为R1处中子通量密度为零的边界条件，可得把它代入方程（4-90）中便得)=Drϕr（4-74）式相类似的侧面带反射层的圆柱形反应堆的单群临界方程：它和裸堆的临界方程（4-57）式的意义是一样的，可以用图解法或试凑法求解。(3)上、下端部带有反射层的圆柱形反应堆设圆柱形反应堆的高度为H，半径为R，在轴向的上、下端带有厚度均为T的反射层（R，T均包括外推距离在内）。通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材这时边界条件为(i)在r=R处φc=φr=0；（4-92）(ii)在z=±+T处，φr=04-93）H''(iii)在z=±2处，φc=φr;Dcφc=DrφH''现用分离变量法求解芯部及反射层的扩散方程。令以及(v,z)=(r,z)z,()，将其代入（4-63）及（4-66）式中去，应用边界条件（4-92）及（4-93）式，可以得出其中其中再利用边界条件（4-94）式最后得到通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材DcABzsinBz=DrGrchrT,4-100）将以上二式相除，并经整理得出（4-101）BztgrT。（4-101）这便是上、下端带反射层的圆柱形反应堆的单群临界方程。以上的讨论，仅限与在一个方向上带反射层的反应堆，这时，可以采用分离变量法把二维（r，z）或三维（x，y，z）问题化成一维问题来求解。但实际上，反应堆的四周均围有反射层，这样的反应堆不能用分离变量法求出其解析解，而只能用其它近似方法或数值方法求解。2.3反射层节省从前面的讨论知道，当芯部周围有了反射层以后，由于一部分泄漏出的芯部的中子被反射层反射而返回芯部，这样就减少了中子的泄漏损失，提高了中子的不泄漏几率。因而有了反射层以后，在芯部材料相同的情况下，它的临界体积要比裸堆的临界体积小。这样，在芯部包有反射层以后，芯部临界大小尺寸的减少量通常可以用反射层节省δ来表示。例如，对于给定芯部成分的球形反应堆，当它是裸堆时，其临界半径为R，则反射层节省δ为δ=R0−R（4—102）对于圆柱形反应堆，反射层节省通常分别用径向和轴向的反射层节省来表示，即δr=R0−R，δz=+其中，R0、H0分别为圆柱形裸堆时的临界尺寸（包括外推距离而R、H则是带有侧、端面反射层的圆柱形堆的临界尺寸，δr称为径向反射层节省，δz称为轴向反射层节省。通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材这样，反射层对临界的影响可以用反射层节省这个量来表示。它表示反应堆由于加上反射层所引起的临界尺寸的减少。于是我们可以把有反射层反应堆的几何曲率用芯部外形尺寸增大2δ后的等效裸堆的几何曲率来表示。例如，对于给R=2（4—104）将其代入（4—102）式，设具有反射层时芯部的临界半径为R，则δ=−R因而对有反射层的球形堆有B这样，我们就可以把有反射层的球形堆的几何曲率用一个尺寸等于R+δ的等效裸堆的几何曲率来表示。同样，对于圆柱形反应堆有B=B+B=2+22+24—107）通常称式中的Reff=R+δr及Heff=H+2δz为等效半径和等效高度（图4—8）δr和δz分别为径向和轴向反射层节省。最后，讨论一下反射层节省δ与哪些因素有关。为了简化问题，以球形反应堆为例（它的结果对于其它形状的反应堆也是适用的）。通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材为了讨论方便，设Dc=Dr。这时带反射层的球形堆的临界方程（4—74）可以写成设反射层节省为δ,用R=R0−δ=−δ带入上式则得δ=arctgBcLrth。（4—109）解出δ为由上式看出，反射层节省δ与材料性质（Lr，Bc）以及反射层厚度T有关系。在一般情况下，反应堆外形尺寸是比较大的，而δ本身也是一个很小的量，所以通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材BCδ亦是一个很小的量。这时（4—109）式中的tgBCδ=Bcδ故方程（4—109）可以写成δ=Lrth（4—111）下面讨论两种情况：th=TLr。于是反射层节省可以写成δ=T（4—112）上式说明，对于反射层很薄（T〈〈Lr）的大型反应堆，其反射层节省δ近似地等于反射层的厚度。δ=Lr（4—113）上式说明当反射层增加到一定值后，反射层节省δ就达到一个常数值（大约等于中子在反射层中的扩散长度而与反射层厚度无关。这时即使再增加反射层的厚度，也不会使反射层节省增加。因而在反应堆设计中过大地增加反射层厚度是没意义的。2.4中子通量密度分布不均匀系数和中子通量密度分布展平的概念（1）热中子通量密度不均匀系数堆内某点发出的功率是和该点的核裂变率Σfφth成正比的。当各点的热中子宏观变截面是常数时，功率分布和中子通量密度分布是一致的。在反应堆的设计中经常用到“热中子通亮密度分布不均匀系数”这个概念其定义是：芯部内中子通量密度的最大值于热中子通量密度平均值之比，并以KH表示，通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材KH=r)dv式中，V是堆芯的体积。KH愈大，则芯部的热中子通量密度部分愈不均匀，所以，KH是表征对芯内热中子通量密度分布不均匀程度的一个系数。对于不同形状的裸堆只要将通量密度分布函数带入（4—115）式的积分中去（令φmax=1就可得出KH的表达式。例如对于圆柱形裸堆有zdzJ0r2πrdrrKH=zdzJ0r2πrdrr式中，Kr称为径向通量密度不均匀系数，Kz称为轴向通量密度不均匀系数，而Kr==2.31K==πK==π2=1.57用同样的方法，可以求出球形裸堆和长方体裸堆的热中子通量密度不均匀系数为对于球形裸堆KH=≈3.27对于长方体裸堆KH=≈3.88（2.）通量密度展平的概念及展平措施从（4—114）式可以看到，对于给定提及的反应堆，对芯中的功率输出是和量通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材ϕmaxVKH成比例的。然而ϕmax又受到热工的条件限制，因此整个反应堆内取出的总功率也就愈少。为了提高总的功率输出，就要采取一系措施使得堆内中子通量密度分布变得平坦一系，这通量称为通量密度展平。以压水堆为例，展平中子通量密度分布的措施主要有；（i）芯部分区布置将堆芯按径向分为几个区，每一区用不同富集度的燃料，把富集度低的燃料放在中心内区，把富集度高的燃料装在外区。这样，可以达到展平中子通量密度的目的。（ii）可燃毒物的合理布置在中心区中子通量密度比较高的区域，插进一些吸收截面比较大的可燃毒物吸收体（可燃毒物棒）或用贴附在燃料元件棒的表面。通过对可燃毒物的合理布置，同样可以达到展平中子通量密度分布的目的。（iii）采用化学补偿溶液及部分长度控制棒以及展平轴向通量分布使用化学溶液控制以后，可以减少控制棒的数目与提升下插得次数，从而也减少了由于提升或下插控制棒而引起的对轴向功率的扰动。另外，采用部分长度控制棒，可以事先安排好合理的提棒程序，在轴向出现功率峰的位置上，可用部分长度控制棒加以抑制。（ix）采用束棒控制可以减少水隙既每根控制棒的价值，使径向及轴向的中子通量分布受控制棒的扰动减少，因而中子通量密度分布更为均匀。此外，反射层的应用，合理地安排提棒程序，控制棒的合理布置等措施对展平中子通量密度分布有益。2.5曲率迭代法前面讨论了裸堆和一个方向有反射层的反应堆的临界和中子通量密度分布的计算问题。但实际上，反应堆四周都是围有反射层的，这时不能采用前面介绍的分离变量法求解。因为这时不能找到满足芯部—反射层交界处的边界条件的扩散方程的解析解。在这种情况下，一般是借助于数值方法或其他近似方法求解。下面介绍一种简便的近似方法-----曲率迭加法（或条件分离变量法）。曲率迭加法的实质在于把四周有反射层反应堆的二维或三维问题的计算，化为逐次交替迭代计算几个只有在一个方向上带有反射层的反应堆。例如对于圆柱形反应堆，则简化为交替计算一个颈向带有反射层轴向为裸的反应堆和另一个只通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材有轴向带反射层的反应堆（图4--9）。一个方向有反射堆则可以应用前面所介绍的分离变量法进行计算现在，我们考虑求解四周都有反射层的圆柱形反应堆的临界成分问题。例如，已知对新高度为H，半径为R，四周反射层厚度为b..由于反应堆的尺寸已经给定,此问题就成为求解反应堆的曲率B,而根据方程（4—54）确定系统的临界成分的问题.用曲率迭代法计算是步骤如下;首先计算一个径向带有反射层的反应堆[图4—9(b)],为了考虑去掉端部反射层对曲率的影响,将轴向H加上一个按经验随意估计的反射层节省δH,即等效高度H(0)=H+2δH.换句话说,我们假定[Bo)]射层的圆柱形堆的单群临界方程（4—91）式对图4--9（b）堆进行临界计算。在目前的情况下，在（4—91）式中，除B以外，其余的参数是均为已知的。计算2，和径向中子通量密度分布。这样就求出了反应堆曲率的第一次近似值2+2接着计算只在端部带有反射层的反应堆[图4—9(c)]，这个堆的侧面为裸的，其半径R(1)由求得的R1)来确定，R(1)=2.405/B0)。然后通过求解端部带发射层的反通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材应堆单群临界程（4-101可以求出一个新的B1)及轴向通量密度分布。这时曲率的第二次近似值为czr2=2+czr然后根据B1)渴求的一个新的等效高度H(1)=πB1)，再用H(1)代替原来的H0[图4-9(d)]，再对其作径向临界计算。这样重复进行计算下去。这样的计算过程将一直进行下去，直到前后两次计算所得的曲率B值之差满足要求的精确度为止。实际计算表明，这样的计算很快就收敛。这是所得到的B就是我们说要求的曲率。一旦知道了曲率B，就可以根据（4—54）是确定达到临界时的反应堆的堆芯材料成分。最后必须指出，用曲率迭代法所计算的曲率数值能和精确的数值很好地符合，但是，对于中子通量密度分布则符合得比较差些，特别是在反射层与活性区交界面的”顶角”区域附近，误差更大，精确的结果则必须通过数值计算方法求得。关于分群扩散方程的数值解法将在下册第十一章中详细讨论。3.双群扩散理论3.1双群常数与双群方程单群理论虽然简单，但是它只能给出一些近似的结果。对于热中子反应堆，应用双群理论可得到较好的结果。所谓双群就是把堆内中子按能量划分成两群：热中子归为一群，简称热群；能量高于分界能Ec的中子归为一群，简称快群。这两群的分界能，对于水堆，约为0.6到1点子伏，而对于高温气冷堆，约为2.5电子伏。双群扩散理论是热中子反应堆设计中最常用的基本方法，在一些简单情况下可以用解析方法求解，而且这些解析求解的方法及其结果，对于核反应堆物理分析来说，是基本的和具有重要意义的。下面我们首先讨论双群常数和双群方程的建立。考虑一个由堆芯和反射层组成的双区均匀反应堆。以角标c和r分别表示堆芯和反射层的参数。快群和热群的中子通量密度分别定义为φc通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材r)=Cφc式中，E0、Ec分别为裂变中子的最高能量和分界能；通常取E0=10兆电子伏。以下用角标1和2分别表示块群和热群的参数。芯部双群方程在热中子堆内，快群中子主要是由热中子所引起的裂变产生的，它又通过慢化和泄漏而消失；而热中子则来源于快群中子的慢化，并主要由于吸收和泄漏而消失。根据第三章第五节关于多群扩散模型的讨论，并根据中子平衡可以给出反应堆稳态时的芯部的快群及热群的扩散方程如下D1,C2,cφ2,c=0D2,C2φ2,C−式中，=k∞k，k∞为无限增殖系数，k∞=ηεpf，k为有效增殖系数。若k〈1或〉1，则系统处于次临界或超临界状态。Σ2,c为芯部热群宏观吸收截面，1,c为芯部的快群向热群的转移宏观截面；Σ1,cφ1,c等于单位时间单位体积内，中子自快群慢化到热群的中子数。方程（4—122）和（4—123）左端的一项分别表示快群和热群的泄漏，第二项为损失项，第三项则为中子产生项。这里我们略去了快群内的弱吸收，仅考虑了慢化过程中的共振吸收。下面讨论上群常数的计算。双群常数D1,C，D2,C以及Σ2,C可根据第三章第五节定义的群常数公式计算。快群向热群的转移界面Σ1可根据（3—109）式计算，即EsfEs随能量变化很弱，这样（4—124）式积分后得到1=1+lnα=（4—125）通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材注意到s=1λs以及λtr/3=D1，令τ=λsλtrln(E0Ec)/3ε,最后得到1=（4—126）式中，D1为快群扩散系数；τ为热中子年龄。应该指出4—124）式是一种近似的计算公式，这里没有考虑非弹性散射的影响。对几种常用慢化剂的快群有关参数列表于4—2内。关于热群常数，可根据第一章第五节所介绍的，按麦克斯韦谱平均计算。最后应强调指出，这里介绍的群常数计算方法是较粗糙的。关于群常数的精确计算，将在本书下册中给与详细讨论。1）Ec=0.625电子伏反射层的双群方程假定反射层内没有增值效应，因此在快群的扩散方程中没有中子源项，并假定反射层内无共振吸收剂，于是反射层内的双群方程为rφr)+φ其中kr==2,rrk2=2,rr2,rDL2通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：4210013.2双群方程的解芯部方程的解方程（4—122）和（4—123）是芯部的双群方程，它们是一个联立二阶微分方程组。下面讨论对它的求解。可以先通过方程（4—122）解出φ2,c即把上式代入（4—123）式便得到只含有φ1,c的四阶微分方程−1φ=0，其中τ=D1,cL2=D2,ccc它可以用因式分解的方法来求解，即上式可写成2+µ2)(∇2−ν2)φ1,c=02+µ2)(∇2−ν2)φ2,c=0式中µ2=−+++|ν=2]（4—133）由于临界反应堆的k∞必定大于1，所以µ2和ν2均为正的实数值。由（4—131）和（4—132）式可以看出，φ1,c和φ2,c均满足下列波动方程：2φ+B2φ=0（4—135）其中，B2等于µ2及-ν2。事实上就是前面所提到过的曲率。用-B2φ1,c、-B2φ2,c通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001，联立解（4—122）和（4—123）式便得到kkcc1+τB2cc=1（4—136）式便是双群理论的临界方程。现在我们来讨论方程（4—131）和（4—132）的解，可以看到，它是下列两个波动方程解的线性组合2Xr)+µ2X(r)=0（42Yr)−ν2Yr)=0（4由于（4—137）和(4—138)式都是二阶微分方程，所以，其解X和Y一般都是有两个独立的函数组成。例如，对于圆柱形反应堆，它们分别是J0(r)I0r)。但是，利用中心处种子通量密度对称性和有限性等条件，X和Y中的两个独立函数通常只有一个[例如，而φ和φ2,c的一般解可以写成φr)=AX(r)+CY(r)r)=A'X(r)+C'Y(r)J0这里，A、C、A’和C’为四个待定的系数。关于波动方程(4—137)和（4—138）在一个座标方向上有反射层的不同几何形状下的求解方法和结果，在第三章内衣较详细地讨论过了，这里不再重复，而直接饮用其结果，见表4—3。通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001其次，可以证明上述四个待定常数中只有两个是独立的。由于φ1,c(r)=AX(r)和φ2,cr)=A'X(r)都是方程的允许解，因而∇2φ2,c(r)=A'∇2X(r)=−µ2A'X(r)，则根据方程（4—123）可得−µ2A'X(r)−A'X(r)+AX(r)=0令s1=A'A,则上式可得s1==（4—141）通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材同样可以求得s2==pD1,cτcD2,c−ν2(4—142)D2,C、τC、L、µ2和ν2，而这些量都是芯部材料性质的参数，不是任意定的，因此A、A’、C和C’四个常熟实际上只相当于两个任意常数。这样，芯部中子通量密度的普遍解为φr)=AX(r)+CY(r)φ2,Cr)=s1AX(r)+s2CY(r)其中A、C为待定系数，将由边界调节来确定。现举一个具体例子来加以说明。假定我们讨论的是一个芯部半径为R，高为H的侧面带有反射层的圆柱形堆，则它的解根据表4—3可以写成φr,z)=[AJ0(µr)+CI0(νr)]cosαzzφ2,Cr,z)=[s1AJ0(µr)+s2CI0(νr)]cosαzz式中 µ=µ2−α; 2 2v=ν+αzαz反射层方程的解方程（4—127）为一齐次方程，其解为φr)=FZ1(r)Z1(r)应该满足在外推边界处φ1,c=0的边界条件，对于不同几何形状的仅在一个坐标方向有反射层的反应堆的Z1(r)列于表4—3中。通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材方程(4—128)为非齐次方程，其解可以写成齐次部分的通解与方程的φ2,Cr)=GZ2(r)+s3φ1,r(r)=GZ2(r)+s3FZ1(r)（4—一样，只是用k2,r去替代k1,r而已。对于不同形状仅在一个坐标方向上具有反射层的反应堆的Z2(r)列于表4—3中。（4—146）式中的s3为反射层的耦合系数。把（4—146）式代入方成（4—148s32φ1,r=krφ1,r，将它带入上式，整理后便得到s3为s3=（4—147）对于上面提到的侧面具有无限厚反射层圆柱形堆例子来说，解得的反射层内中子通量密度为 φr,z)=FK0(k1,rr)cosαzz φ2,Cr,z)=GK0(k2,rr)cosαzz式中kr=kr+α，k,r=k,r+αα=()23.3双群临界方程级中子通量密度分布3.3.1双群临界方程前面我们求出了φ1,c、φ2,c、φ1,r和φ2,r的解。其中共有四个待定常数A、C、通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材F和G,它们由芯部与反射层交界面上的四个边界条件来确定，这些边界条件为=φ]φ2,c=2,rD2,c[φ2,c']=D2,r[φ这里带撇的角标时表示对x和r或z（视情况而定）的一阶导数。所有方括号项—145）和（4—146根据上述边界条件便得出下列方程A[X]+C[Y]—F[Z1]=0,s1A[X]+s2C[Y]−s3F[Z1]−G[Z2]=0,(4—152)A[X']+C[Y']−ρ1F[Z1']=0s1A[X']+s2C[Y']−s3ρ2F[Z1']−Gρ2[Z2']=0其中ρ1=4—153）ρ2=4—154）方程（4—152）是关于A、C、F和G的其次方程组，根据克拉姆法则，为使其有非零解，亦即A、C、F、G部同时为零，则其系数判定式必须等于零，亦即∆=|X']Y]s2Y]s2−−s3−ρ1−ρ1s3−2−ρ22'通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材注：γ及δ函数在形式上完全相同，只须将表中kr分别以k1,r和k2,r来替换即可。当νR或krR较大时，有下列近似公式I0(vR)≈v−−;krK1(krR)Ka(krR) ≈k+r−r这可以看作是带有反射层的反应堆的双群理论的临界方程，他给出了一个临界状态的反应堆（以及在稳定时）所必须满足的条件。若令X']Xα=X[Z1']γ=，β=，δ=，则双群临界方程行列式（4—155）可展开简化成成如下便于计算的形式：α=ρ2δc1+ρ1γc2+βc3c+c通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材其中c1=s1(ρ1γ−β)（4—158）c2=s2(β−ρ2δ)（4—159）c3=s3ρ2(δ−r)（4—160）表4—4种给出几种简单几何形状队的α、β、γ和δ的函数形式。方程（4—157）便是用双群方法解一个坐标方向上有反射层反应堆的临界方程区。他和裸堆中的（4—56）和（4—57）和（4—594—101）具有相同的意义，他给出反应堆的材料特性和芯部及反射层几何尺寸间的关系。应用临界方程（4—157）便可以进行双群临界计算。例如，对于给定了燃料—慢化剂成分以及反射层的材料与尺寸的情况，方程（4—157）或（4—155）式中的µ2、−v2、s1、s2、s3、ρ1、ρ2、kr、k,r方程中只有芯部的尺寸R或H是未定的量。所以在给定芯部成分及反射层厚度的条件下，欲使临界方程（4—157）式成立，只有一个唯一确定的芯部尺寸值。这个数值也就是所要求的反应堆临界大小。对于即给定了芯部和反射层的材料特性又给定了它们尺寸的系统，可以利用临界方程（4—157）或（4—155）算出系统的有效增值因数k。然而，困难的是，方程（4_—157）中芯部尺寸是包含在一些超越函数之中，他并不给出临界尺寸的显式形式的解，因而必须用试凑法、图解法或数值计算方法求解。最后应该指出，前面讨论的解析方法只是对一个方向有反射层的反应堆才是有效的，对四周都有反射层的反应堆，不可能求得其解析解，这时，自然可以用前面所介绍的曲率迭代方法来近似地求解，但是其过程是相当烦杂的。目前，在工程实际计算中则广泛地应用数值方法对双群方程直接求解，而且在计算机存储条件允许下，一般不受区数和群数的限制，非常方便。在方法中最常用的是有限差分方法，并已变成通用程序供核反应堆的核设计使用，其中如PDQ程序系列，CITATION等扩散程序都是国内外经常应用的程序。有限差分方法的主要缺陷在于，为保证一定精确度差分网距不能太大，因而对于一些多群三维问题，就需要巨大的存储单元和计算时间，是很不经济的。70年代后，发展了一种所谓粗网或结块方法，在很粗的网格（或结块）下获得很高的精度，通常可以一个组件作通讯地址