2024年中考数学第一次模拟试卷（泰州卷）（全解全析）

年中考第一次模拟考试（泰州卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．的相反数是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：的相反数是．故选：B．2．中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的左视图为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：由题意得：它的左视图为一个三角形，如图：，故选：C．3．张明在对一组数据“6，15，28，63，39，28”进行分析时，发现第一个两位数的个位数字被墨水弄脏看不到了，此时统计结果不受影响的统计量是（

）A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数【答案】D【解析】解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为28与39的平均数，与被涂污数字无关．故选：D．4．如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：如图，，，，，，故选：A．5．下列命题正确的是（

）A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是正方形 D．菱形的面积为两条对角线长度乘积的一半【答案】D【解析】A、等腰梯形的对角线相等，但它不是矩形，故该选项不符合题意；B、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，故该选项不符合题意；C、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，故该选项不符合题意；D、菱形的面积为两条对角线长度乘积的一半，符合题意；故选：D6．如图，的半径为2，弦垂直直径于点E，且E是的中点，点P从点E出发（点P与点E不重合），沿的路线运动，设，，那么y与x之间的关系图象大致是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：连接，如图，∵弦垂直直径于点E，且E是的中点，，∴,又，∴当点P在线段时，，∴当时，函数图形是反比例函数，当点P在上时，是定值，y是定值，故选：C．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）7．分解因式：．【答案】【解析】解：；故答案为：8．国家铁路集团有限公司（简称“国铁集团”）最新数据显示，11月份，国家铁路发送煤炭1.78亿吨．“1.78亿”用科学记数法表示为．【答案】【解析】解：将1.78亿用科学记数法表示为：．故答案为：．9．物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为．【答案】【解析】解：，，，,的高为,为,为,，故答案为：10．已知圆锥展开图的圆心角为，母线长为5，则该圆锥的体积为．【答案】【解析】解：如图：设该圆锥的底面半径为r，根据题意得，解得，圆锥的高为：，根据圆锥的体积公式得到该圆锥的体积为：，故答案为：．11．一只蜘蛛爬到如图所示的一块瓷砖上，并随机停留在某一位置上，则它停留在阴影区域上的概率是．【答案】【解析】解：设一块瓷砖的面积为，则，则它停留在阴影区域上的概率是，故答案为：．12．如图，平分，，的延长线交于点E，若，则的度数为．【答案】/80度【解析】解：平分，，又，，，，，故答案为：．13．如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度，则螺帽边长.【答案】【解析】解：如图：连接，过点B作于D，，由正六边形可得：,∴，由，则，∵在中，，∴,∴∴，∴．故答案为．14．在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图①，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，则图中大正方形的面积为，则该方程的正数解，小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图②所示的正方形．已知图②中阴影部分的面积和为55，则该方程的正数解为．【答案】/【解析】如图2所示：先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．故答案为：15．平面直角坐标系中，在轴上，且到一条抛物线的顶点及该抛物线与轴的交点的距离之和最小的点，称为这条抛物线与轴的“亲密点”，那么抛物线与x轴的“亲密点”的坐标是．【答案】【解析】解：，抛物线开口向上，顶点为，顶点关于轴的对称点为，当时，，抛物线与轴的交点为，设直线的解析式为，代入得，，解得，直线的解析式为，令，则抛物线与轴的“亲密点”的坐标是，故答案为：．16．如图，已知矩形，，，点N是边上一点，且，将矩形绕A顺时针旋转（），得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G，连接．点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值为．【答案】【解析】连接，交于点O，连接，，过点作于点，连接，∵是矩形，∴，∵点M是的中点，∴是的中位线，∴，∴点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，∵，∴，∵，，∴，∴∴∴，，∵，∴，在中，∴线段的最大值为故答案为：．三、解答题（本大题共10个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（1）计算:；（2）解方程:．【解析】（1），（2）原方程去分母得：去括号得：，移项，合并同类项得：，系数化为1得：，检验：将代入得，故原方程的解为：18．2023年11月24日，第十届【媒眼看国茶】论坛：文明互鉴，“一带一路”共筑茶缘在中国举行．为了解A、B两种铁观音茶叶的亩产量，工作人员从两种类型的铁观音中各随机抽取10亩，在完全相同条件下试验，统计了茶叶的亩产量（单位：千克/亩），并进行整理、描述和分析（亩产量用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：10亩A型铁观音茶叶的亩产量：50，54，55，55，55，57，57，58，59，60．10亩B型铁观音茶叶中“良好”等级包含的所有数据为：57，57，57，59．抽取的A、B型铁观音亩产量统计表型号AB平均数5656中位数56众数57方差7.415.8“优秀”等级所占百分比10%20%B型铁观音茶叶亩产量扇形统计图根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：a=_________，b=________________，m=_____________(2)根据以上数据，你认为哪款茶叶更好？请说明理由（写出一条理由即可）；(3)若某市今年种植B型铁观音茶叶3000亩，估计今年B型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有多少亩？【解析】（1）在50，54，55，55，55，57，57，58，59，60中，出现次数最多的是55，众数，型中“良好”等级有4个，占，“优秀”等级所占百分比为，“合格”等级占，即，把型数据从小到大排列后，第5个和第6个数都是57，；故答案为：55，57，40；（2）款茶叶更好，理由：因为款茶叶的中位数和众数都大于款茶叶的，所以款茶叶更好（答案不唯一）；（3）（亩，答：估计今年型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有2400亩．19．为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．(1)小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为_____，是_____事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）？(2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．【解析】（1）解：小丽随机抽取一个比赛项目，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的情况只有1种，∴，是随机事件；故答案为：，随机；（2）画出树状图如图：由图可知，共12种等可能的结果，其中小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的情况只有1种，∴．20．如图，是的直径，点C在上，且，．(1)尺规作图：过点O作的垂线，垂足为E，交劣弧于点D，连接（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）所作的图形中，分别求和的长．【解析】（1）解：分别、以为圆心，大于的长为半径画弧交于点，连接，与圆的交点即为，则即为的垂线，连接，如图即为所求；（2）由（1）可知，，则，即点为的中点，∵，∴为的中位线，∴，∵是的直径，∴，由勾股定理可得：，∴，则，由勾股定理可得：．21．乐乐超市为了元旦促销，印制一批宣传册．该宣传册每本共10页，由A，B两种彩页构成．已知A种彩页制版费为3元/张，B种彩页制版费为2元/张，共计24元（注：彩页制版费与印数无关）．(1)每本宣传册A，B两种彩页各有多少张？(2)据了解，A种彩页印刷费为元/张，B种彩页印刷费为元/张，这批宣传册的制版费与印刷费的和不超过594元．如果按到超市的顾客人手一册发放宣传册，那么最多能发多少位顾客？【解析】（1）解：设每本宣传册中种彩页有页，种彩页有页，∴，解得，，∴每本宣传册中种彩页有张，种彩页有张；（2）解：设可以发位顾客，∴，解得，，∴最多可以发位顾客．22．金秋十一月，阳光大草坪正处于草坪养护阶段，如图为草坪的平面示意图．经勘测，入口B在入口A的正西方向，入口C在入口B的正北方向，入口D在入口C的北偏东方向处，入口D在入口A的北偏西方向处．（参考数据）(1)求的长度；（结果精确到1米）(2)小明从入口D处进入前往M处赏花，点M在上，距离入口B的处．小明可以选择鹅卵石步道①，步行速度为，也可以选择人工步道②，步行速度为，请计算说明他选择哪一条步道时间更快？（结果精确到）【解析】（1）过点作于点，过点作于点，则，，，，，在中，，，在中，，．的长度为．（2）由（1）知，，，，在中，，在中，，．鹅卵石步道的路程为，所需时间为．人工步道的路程为，所需时间为．，他选择人工步道时间更快．23．如图，过正方形顶点B，C的与相切于点E，与相交于点F，连接．

(1)求证：平分．(2)若，，求的长．【解析】（1）证明：如图，连接，

与相切于点，，即，四边形是正方形，，，，，，，平分．（2）解：如图，连接，

四边形是正方形，，，是的直径，，由（1）已证：，，，，，∴设，则，，，则在中，．24．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，与轴交于点，与轴交于点，其中点的坐标为．(1)求双曲线和直线的表达式；(2)将直线向下平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点时，请求出直线的解析式；(3)在轴上是否存在点使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）解：把代入得，则双曲线的表达式是，把代入得，解得，则直线的表达式是；（2）解：将直线向下平移个单位长度得直线解析式为，∵直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象只有一个交点，∴，整理得，，解得或，∴直线的解析式为或；（3）解：存在，过点作轴于点，∵点的坐标为，，∵直线的表达式是，令，则，解得，，，是等腰直角三角形，以为圆心，为半径作，与轴交于点，连接，，设，，，∴点的坐标为或．25．如图，抛物线（其中）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．

(1)求的度数和线段的长（用a表示）：(2)若点D为的外心，且与的周长之比为，求此抛物线的解析式；(3)在（2）的前提下，试探究抛物线上是否存在一点P，使得?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）解：在中，当，即，解得或，，∴在中，当时，得到，，，，．（2）解：由（1）知，点D是的外心，，∴，，∵与的周长之比为，，，解得或（舍去），∴抛物线的解析式为．（3）解：如图3-1，作点C关于直线的对称点，连接，过点作轴于H，

由（2）得，，抛物线对称轴为直线，∴，且点在抛物线上，∴，，∴，又∵，∴，，，，点就是所求的点P，．如图3-2所示，作点P关于直线的对称点E，则，作直线交抛物线于，

由对称性质可知，，，∵，∴轴，即，，∵，∴，，点E在y轴上，∴，，，∴直线的解析式为，联立，解得或，，综上所述，满足条件的点P的坐标为或．26．某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：〖问题背景〗如图1，正方形中，点E为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，当，则°．〖特例探究〗如图2，连接，当点恰好落在上时，求证：．〖深入探究〗如图3，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，他们发现与之间也存在着一定的数量关系，请直接写出与之间的数量关系式．〖拓展探究〗如图4，若把