2019-2020年中考数学总复习第二编中档题型突破专项训练篇中档题型训练八统计与概率试题

2019-2020年中考数学总复习第二编中档题型突破专项训练篇中档题型训练八统计与概率试题命题规律纵观7年怀化中考试题，对本内容多以解答题的形式出现，侧重对统计图表的理解和分析．概率知识在中考中以选择题、填空题为主，也常常把概率和统计及其他知识点结合考查．命题预测预计2017年怀化中考此考点仍然会以一道大题、两道小题的形式呈现.统计知识的应用【例1】(2015梅州中考)在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期计划购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：(直接填写结果)(1)这次调查获取的样本数据的众数是________；(2)这次调查获取的样本数据的中位数是________；(3)若该校共有学生1000人，根据样本数据，估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有________人．【解析】(1)众数就是出现次数最多的数，据此即可判断；(2)中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义判断；(3)求得调查的总人数，然后利用1000乘以本学期计划购买课外书花费50元的学生所占的比例即可求解．【学生解答】解：(1)30元；(2)50元；(3)250.1．(2016长沙中考)为积极响应市委政府“加快建设天蓝水碧地绿的美丽长沙”的号召，我市某街道决定从备选的五种树中选购一种进行栽种．为了更好地了解社情民意，工作人员在街道辖区范围内随机抽取了部分居民，进行“我最喜欢的一种树”的调查活动(每人限选其中一种树)，并将调查结果整理后，绘制成如图两个不完整的统计图：请根据所给信息解答以下问题：(1)这次参与调查的居民人数为：__1__000__；(2)请将条形统计图补充完整；(3)请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数；(4)已知该街道辖区内现有居民8万人，请你估计这8万人中最喜欢玉兰树的有多少人？解：(2)如图所示；(3)360°×eq\f(100,1000)＝36°；(4)eq\f(250,1000)×80000＝20000(人)．概率知识的应用【例2】(2015连云港中考)九(1)班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克中点数为“2”“3”“3”“5”“6”的五张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的4张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放回，完成一次抽奖．记每次抽出两张牌点数之差为x，按下表要求确定奖项．奖项一等奖二等奖三等奖|x||x|＝4|x|＝31≤|x|<3(1)用列表法或画树状图的方法求出甲同学获一等奖的概率；(2)是否每次抽奖都会获奖，为什么？【学生解答】(1)画树状图如图所示：可以看出一共有20种等可能情况，其中获一等奖的情况有2种．∴P(甲获一等奖)＝eq\f(2,20)＝eq\f(1,10)；(2)不一定．当两张牌都取3时，|x|＝0，不会获奖．2．(2015丹东中考)一个不透明的口袋中装有4个分别标有数字－1，－2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同．小红先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为x；小颖在剩下的3个小球中随机摸出一个小球记下数字为y.(1)小红摸出标有数字3的小球的概率是__eq\f(1,4)__；(2)请用列表法或画树状图的方法表示出由x，y确定的点P(x，y)所有可能的结果；(3)若规定：点P(x，y)在第一象限或第三象限小红获胜；点P(x，y)在第二象限或第四象限则小颖获胜．请分别求出两人获胜的概率．解：(2)所有可能出现的结果如图：小颖小红－1－234－1(－1，－2)(－1，3)(－1，4)－2(－2，－1)(－2，3)(－2，4)3(3，－1)(3，－2)(3，4)4(4，－1)(4，－2)(4，3)(3)从上面的表格可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且每种结果出现的可能性相同，其中点(x，y)在第一象限或第三象限的结果有4种，在第二象限或第四象限的结果有8种．∴小红、小颖两人获胜的概率分别为：P(小红胜)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，P(小颖胜)＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).统计与概率的综合应用【例3】课前预习是学习数学的重要环节，为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，王老师对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A.很好；B.较好；C.一般；D.较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：(1)王老师一共调查了多少名同学？(2)C类女生有______名，D类男生有______名，并将上面的条形统计图补充完整；(3)为了共同进步，王老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．【解析】(1)根据A(或B)类人数以及所占百分比，求总人数；(2)利用总人数以及扇形图求各类别人数，从而得出C组女生人数和D组男生人数；(3)利用列表或树状图得到所有可能结果，然后利用概率公式求解．【学生解答】解：(1)∵(6＋4)÷50%＝20(名)，∴王老师一共调查了20名同学；(2)3；1；补充统计图如图所示；(3)画树状图如下：∴所有可能出现的结果共有6种，所选两位同学恰好是一男和一女的结果共有3种．∴P(恰好是一男一女)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).3．(2016孝感中考)为弘扬中华优秀传统文化，我市教育局在全市中小学积极推广“太极拳”运动．弘孝中学为争创“太极拳”示范学校，今年3月份举行了“太极拳”比赛，比赛成绩评定为A，B，C，D，E五个等级，该校七(1)班全体学生参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：(1)该校七(1)班共有__50__名学生；扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角等于__144__°；并补全条形统计图；(2)A等级的4名学生中有2名男生，2名女生，现从中任意选取2名学生作为全班训练的示范者，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率．解：(1)补全条形统计图如图所示；(2)记2名男生为A1，A2，记2名女生为B1，B2，列表如下：A1A2B1B2A1(A2，A1)(B1，A1)(B2，A1)A2(A1，A2)(B1，A2)(B2，A2)B1(A1，B1)(A2，B1)(B2，B1)B2(A1，B2)(A2，B2)(B1，B2)则符合条件的概率为P＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).2019-2020年中考数学总复习第二编中档题型突破专项训练篇中档题型训练六直角三角形的应用试题命题规律解直角三角形的应用是怀化市中考的必考内容之一，它通常以实际生活为背景，考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力，解答这类问题的方法是运用“遇斜化直”的数学思想，即通过作辅助线(斜三角形的高线)把它转化为直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求解．命题预测预计2017年怀化中考，仍会考此知识点，以选择题、填空题的形式出现的可能性较大，也可能出现解答题.仰角、俯角问题【例1】(2016广州中考)如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D.从A处看目标B，D的俯角分别是30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行30eq\r(3)m到达A′处．(1)求A，B之间的距离；(2)求从A′处看目标D的俯角的正切值．【学生解答】解：(1)∵∠BAC＝90°－30°＝60°，AC＝60m，∴在Rt△ABC中，有AB＝eq\f(AC,cos∠BAC)＝eq\f(60,cos60°)＝120(m)．故A，B之间的距离为120m；(2)过点D作DE⊥A′A，交A′A的延长线于点E，连接A′D，∵∠DAC＝90°－60°＝30°，AC＝60m，∴在Rt△ADC中，有CD＝AC×tan∠DAC＝60×tan30°＝20eq\r(3)(m)．∵∠AED＝∠EAC＝∠C＝90°，∴四边形ACDE是矩形．∵ED＝AC＝60m，EA＝CD＝20eq\r(3)m，∴在Rt△A′ED中，有tan∠EA′D＝eq\f(ED,EA′)＝eq\f(ED,EA＋AA′)＝eq\f(60,20\r(3)＋30\r(3))＝eq\f(2\r(3),5).即从A′处看目标D的俯角的正切值为eq\f(2\r(3),5).1．(2016泸州中考)为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60eq\r(3)m的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i＝1∶eq\r(3)的斜坡DB前进30m到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈eq\f(4,3)，计算结果用根号表示，不取近似值)解：AC＝(60eq\r(3)＋15)m.2．(2015达州中考)学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：(1)在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH＝30°；(2)在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器(C，D与B在同一直线上，且C，D之间的距离可以直接测得)，测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH＝45°；(3)测得测倾器的高度CF＝DG＝1.5m，并测得CD之间的距离为288m；已知红军亭高度EA为12m，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB.(eq\r(3)取1.732，结果保留整数)解：设AH＝xm，在Rt△EHG中，∵∠EGH＝45°，∴GH＝EH＝AE＋AH＝x＋12，∵GF＝CD＝288m，∴HF＝GH＋GF＝x＋12＋288＝x＋300，在Rt△AHF中，∵∠AFH＝30°，∴AH＝HF·tan∠AFH，即x＝(x＋300)·eq\f(\r(3),3)，解得x＝150(eq\r(3)＋1)．∴AB＝AH＋BH≈409.8＋1.5≈411(m)．答：凤凰山与中心广场的相对高度AB大约是411m.方位角问题【例2】一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号．一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/h的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)【学生解答】解：过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D.由题意得∠CAD＝30°，∠CBD＝53°，AC＝80海里，∴CD＝40海里．在Rt△CBD中，sin53°＝eq\f(CD,CB)，CB＝eq\f(CD,sin53°)≈eq\f(40,0.8)＝50(海里)．行驶时间为eq\f(50,40)＝1.25(h)．答：海警船到达C处大约需1.25h.3．(2016宿迁中考)如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．(参考数据：eq\r(3)≈1.73)解：过点P作PC⊥AB交AB的延长线于点C.由题意知∠PAC＝30°，∠PBC＝45°.设PC＝x，在Rt△PBC中，BC＝x，在Rt△PCA中，AC＝eq\r(3)x，8＋x＝eq\r(3)x，x≈10.92.∵PC>10，∴不会触礁．坡度、坡比问题【例3】(2015内江中考)如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3m，台阶AC的坡度为1∶eq\r(3)(即AB∶BC＝1∶eq\r(3))，且B，C，E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计)．【学生解答】解：在Rt△ABC中，tan∠ACB＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°，∠PAC＝30°，∠ACD＝180°－∠ACB－∠DCE＝90°，∴∠DAC＝60°.在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝6.在Rt△ACD中，DC＝AC·tan∠DAC＝6×tan60°＝6eq\r(3).在Rt△CDE中，DE＝DC·sin∠DCE＝6eq\r(3)×sin60°＝9(m)．答：树DE的高为9m.4．(2016黄石中考)如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB＝800m，BC＝200m，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝45°.(1)求AB段山坡的高度EF；(2)求山峰的高度CF.(eq\r(2)≈1.414，结果精确到米)解：(1)EF＝ABsin30°＝400.答：AB段山坡高度为400m；(2)CE＝BC·sin45°＝100eq\r(2)≈141，∴CF＝CE＋EF≈541(m)．答：山峰CF的高度约为541m.生活中的解直角三角形问题【例4】(2015绍兴中考)如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度(单位：cm)如下：伞架DEDFAEAFABAC长度363636368686(1)求AM的长；(2)当∠BAC＝104°时，求AD的长．(精确到1cm)(备用数据：sin52°≈0.788，cos52°≈0.6157，tan52°≈1.2799)【学生解答】解：(1)由题意，得AM＝AE＋DE＝36＋36＝72(cm)．故AM的长为72cm；(2)∵AP平分∠BAC，∠BAC＝104°，∴∠EAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝52°.过点E作EG⊥AD于G，∵AE＝DE＝36，∴AG＝DG，AD＝2AG.在△AEG中，∵∠AGE＝90°，∴AG＝AE·cos∠EAG＝36·cos52°＝36×0.6157＝22.1652.∴AD＝2AG＝2×22.1652≈44(cm)．答：AD的长约为44cm.

5．(2015重庆中考)某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N.观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°.已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30m.(1)求两渔船M，N之间的距离；(结果精确到1m)(2)已知坝高24m，坝长100m，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i＝1∶1.75，施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？(参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52)解：(1)在Rt△PEN中，EN＝PE＝30m，ME＝eq\f(PE,tan31°)＝50(m)，则MN＝EM－EN＝20(m)．答：两渔船M，N之间的距离是20m；(2)过点D作DN′⊥AH于点N′.由题意得：tan∠DAB＝4，tan∠H＝eq\f(4,7).在Rt△DAN′中，AN′＝eq\f(DN′,tan∠DAB)＝eq\f(24,4)＝6(m)，在Rt△DHN′中，HN′＝eq\f(DN′,tan∠H)＝eq\f(24,\f(4,7))＝42(m)．故AH＝HN′－AN′＝42－6＝36(m)．S△ADH＝eq\f(1,2)AH·DN′＝432(m2)．故需要填筑的土石方是V＝S△ADH·100＝432×100＝43200(m3)．设原计划平均每天填筑土石方xm3，则原计划eq\f(43200,x)天完成，则增加机械设备后，现在平均每天填筑2xm3.根据题意，得：10x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(43200,x)－10－20))·2x＝43200，解得x＝864.经检验，x＝864是原方程的解．答：施工队原计划平均每天填筑土石方864m3.相似三角形与圆【例5】(2015六盘水中考)如图，在