2021学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）（附解析）

2021学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设全集U=R，集合4={久|x<2},B={X|K<1},则集合(C〃l)UB=()

A.(-co,2)B.[2,+oo)

C.(1,2)D.(-8,1)“2,+oo)

2.已知复数z满足z（l+2i）=|4一3”（其中，为虚数单位），则复数.z的虚部为（）

A.-2B.—2iC.1D.i

3.化简式子cosl5Ocos45。+s讥15。$讥45。的值是（）

_V3

A.-B.@C.--D.

2222

4.已知。=2。qb=log7r3,c=log21^0()

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.a>b>c

5.函数/(%)=(%2+l)sin2x,(-7T<X<7T)的图象可能是()

6.已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点。，且经过点P®）,2）,若点尸到该

抛物线焦点的距离为4,则|0P|等于（）

A.2V2B.2A/3C.4D.2V5

7.已知球面上A,2,C三点，。是球心.如果AB^BC=AC=百,且球的体积为竺正兀，

3

则三棱锥。-ABC的体积为（）

A.1B.V3C.如D.2

2

8.在△ZBC中，角A,B,C的对边分别为〃，b,c,^sinB+2sinAcosC=0,则cosB

的最小值为()

A.V2B.V3C.如D.四

23

9.记函数g(久)=e*-厂工+s讥久，若不等式g(2x+a)+。(7-1)>o,对Vxe

[—1,1]恒成立，则。的取值范围为()

A.[2,+oo)B.(2,+oo)C.(-2,+oo)D.[-2,+oo)

10.先将函数/(X)=S出3X(3>0)的图象向左平移5个单位长度，再向上平移2个单位

长度后得到函数g(x)的图象，若方程/(%)=g(x)有实根，则3的值可以为()

A.|B.1C.2D.4

11.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼

太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形/+

必=4.其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：

①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是点

②当a=-|时，直线y=ax+2a与白色部分有公共点；

③黑色阴影部分(包括黑白交界处)中一点(久,y),贝h+y的最大值为应+1；

④若点P(0,l),MN为圆/+y2=4过点P的直径，线段AB是圆/+y2=4所有

过点尸的弦中最短的弦，贝！J(翁一丽)•南的值为12.

其中所有正确结论的序号是()

A.①③B.③④C.①③④D.①②④

22

12.已知A,B,C是双曲线京一色=l(a>0,b>0)上的三个点，直线经过原点O,

AC经过右焦点凡若品•前=0，且方=[前，则该双曲线的离心率为()

A.-B.|C.邈D.巫

2332

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

x+y-2之0

13.已知实数x,y满足约束条件％-y+220,贝！Jz=3%+2y的最小值为.

a<1

14.随机变量f服从正态分布N(l«2),已知p(f<0)=03,则P(f<2)=.

第2页，共20页

15.已知（3/+蓑）5的展开式中所有项的系数之和为32,则展开式中的常数项为

16.已知矩形ABC。中，AB=3,BC=4,沿对角线AC将三角形ABC折起，使得点

B在平面ACD上的射影在线段上，此时COSABAD的值是.

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.已知数列｛an｝是一个等差数列，且a3=3,a2+a5=7,数列｛%｝是各项均为正数

的等比数列，且满足：瓦=3，仇为=三.

z256

（1）求数列｛5｝与｛%｝的通项公式；

（2）设数｛%｝列满足％=厮刈，其前〃项和为求证：Tn<2.

18.如图，在四棱锥P-力BCD中，四边形A8CD是直角梯形，AB1AD,AB//CD,

PCABCD,AB=2AD=2CD=4,PC=2a,E是P8的中点.

（I）求证：平面瓦4c1平面PBC-

（□）若二面角P-AC-E的余弦值为手，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.

19.在平面直角坐标系中，已知尻（一1,0）,直线/：%=-4,点P为平面内的动点，过

点尸做直线/的垂线，垂足为点M,且（2嗝一西•（2丽<+而）=0，点尸的轨

迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设6(1,0)，过尸2且与x轴不重合的直线w与曲线C相交于不同的两点A,B则

△a4B的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线”

的方程；若不存在，请说明理由.

20.已知函数/(%)=3%2+(6—a)x—alnxQae2).

(1)求函数y=f(x)的单调区间；

(2)当a=1.时，证明：对任意的久>0,/(x)+ex>3x2+5x+2.

21.某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现

有k(k&N\k>2)份血液样本，假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳

性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为p(0<p<1).下面有以下

两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验z次；方案二：混合检验，将左份

血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则左份血液样本均为

阴性，若检验结果为阳性，为了确定上份血液中的阳性血液样本，则对上份血液样

本再逐一检验.逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是a(a>0)元，若左份血

液样本采用混合检验方案，则需要额外收取:a元的材料费和服务费.

(1)若k(k&N*,k>2)份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X,求

X的分布列及数学期望；(2)①若k=5,0<p<1-W45,以检验总费用的数学期

第4页，共20页

望为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；②若P=1-2，采用方案二

总费用的数学期望低于方案一的，求女的最大值.

(参考数据:m2~0.7,ln3«1,1,伍7~1.9,ZnlO«2.3,仇1122.4)

22.若以平面直角坐标系尤Oy的原点。为极点，。尤为极轴，选择相同的长度单位建立

极坐标系，得曲线C的极坐标方程是0=鬻.

(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

x--X+-

(2)若直线/的参数方程为聒2为参数)，当直线/与曲线C相交

于42两点，求尚%•

23.己知函数/■(©=|2x—3|+|2x+l|.

(1)解不等式:f(x)>6；

(2)设％eR时,/(%)的最小值为M.若正实数Z?,c满足a+b+c=M,求ab+be+

ca的最大值.

第6页，共20页

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：U=R,A={x\x<2},B=(x\x<1},

QuA-{x\x>2],(CuA)U8=(-8,1)u[2,+oo).

故选：D.

进行补集和并集的运算即可.

本题考查了描述法和区间的定义，补集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：由z(l+2i)=|4-3i|=J42+(-3)2=5,

得z=4溪好

•・•复数z的虚部为—2.

故选：A.

先求|4-3i|,再把等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础

题.

3.【答案】B

【解析】解：由两角差的余弦公式可得

cos15°cos450+sinl5osin45o

=cos(45°-15°)=cos30°=y

故选：B

由两角差的余弦公式可得原式=cos(45°-15。)，计算可得.

本题考查两角差的余弦公式，属基础题.

4.【答案】D

【解析】解：a=2°，5>1,6=log兀36(0,1),c=log2|<0.

a>b>c.

故选：D.

利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.

本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：/(—x)=(x2+l)sin(-2x)=—(x2+l)sin2x=—f(%),

则函数/Q)是奇函数，图象关于原点对称，排除A,B,

当％=T时,植)=磅2+l]sin(2X》=0.排除C,

故选：D.

先判断函数的奇偶性，然后利用当x=]时的函数值为0进行排除即可.

本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性和函数值的对应性，利用排除

法是解决本题的关键，是基础题.

6.【答案】D

【解析】解：由题意设抛物线的方程为/=2py(p>0),

抛物线的准线方程为y=-弓，

由抛物线的性质可得2+：=4,解得p=4,

所以抛物线的方程为/=8y,

将P点的坐标代入可得瑶=8x2=16,

所以|OP|=禺+22=V16+4=2V5,

故选：D.

由题意设抛物线的方程，求出焦点厂的坐标及准线方程，由抛物线的性质可得p的值,

然后求出横坐标，再求出|OP|的值，

本题考查抛物线的性质，及两点间的距离公式，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：由4B=BC=4C=W，可得△ABC为正三角形，设其中心为G,

可得其外接圆的半径r=3—=1,

2sm60°

再设球的球心为O,半径为R,连接OG,

由球的体积为娅大得±兀/?3=空四兀，得氏=花，

333

球心到平面ABC的距离为。G=VR2-r2=V5^1=2，

第8页，共20页

又SAABC=|XV3XV3X^=乎,

〃1373GV3

•，•^O-ABC=5'丁X2=-p

故选：C.

求出三角形ABC的外接圆的半径，再由球的体积求得球的半径，由勾股定理求球心到

平面ABC的距离，则三棱锥。-2BC的体积可求.

本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查球的体积与多面体体积的求法，考查空

间想象能力与运算求解能力，是中档题.

8.【答案】C

【解析】1¥：sinB+2sinAcosC—0,

•••由正弦定理及余弦定理得：b+2a-a2+b2-c2=o,可得：a2+2b2-c2=0,

2ab

又cosB=。2+小-庐=四汩=四+£2空,当且仅当号=白，即£=旧时取等号，

2ac4ac4c4a24c4aa

即cosB的最小值为宜.

2

故选：c.

由已知及正弦定理，余弦定理可得小+2匕2—。2=0,利用余弦定理，基本不等式即可

计算得解.

本题主要考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计

算能力和转化思想，属于基础题.

9.【答案】B

【解析】解：函数g(%)=ex-e~x+sinx,

由g(—%)=e~x—ex+sin(—%)=—(e尤—e~x+sinx)——g(%),可得g(%)为奇函数，

又g'(%)=e%+e~x+cosx,

由e%+g-x>2、ex•L=2,-1<cosx<1,

可得g'(%)>0，g(%)在H上递增，

由g(2%+a)+g(x2—1)>0,即g(2%+a)>—g(x2—1),

可得g(2%+a)>-g(%2-1)=g(l-%2),

即为2%+a>1—/在久e[—1,1]恒成立，

也即一a<%2+2%—1在久G[—1,1]恒成立，

由y=x2+2x-1在久e递增，

可得y=x2+2x-1的值域为[—2,2],

则—<2<—2,即a>2,

故选：B.

判断g（x）—1—ex—e~x+s讥x的奇偶性和单调性，原不等式化为2x+a>1—久2在

xe[-1,1]恒成立，运用参数分离和二次函数的值域，可得所求范围.

本题考查函数的性质和运用，不等式恒成立问题解法，考查转化思想、运算能力和推理

能力，属于中档题.

10.【答案】C

【解析】解：先将函数/（x）=sin3久（3>0）的图象向左平移方个单位长度，可得y=

sin（3久+詈）的图象；

再向上平移2个单位长度后得到函数以久）=sin（3x+等）+2的图象，

若方程f（x）=g（x）有实根，即s讥3%=sin（a）x+詈）+2能成立.

当3时，方程即siW=sinC+9+2,它不会成立.

当3=1时，方程即s讥％=sin（%+：）+2,它不会成立.

当3=2时，方程即s讥2久=sin（2x+兀）+2=-s讥2x+2,BPsin2x=1,它能成立；

当3=4时，方程即sin4x=sin（4x+2兀）+2=sin4x+2,它不会成立；

故选：C.

由题意利用函数丫=As讥®x+0）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函

数的图象和性质，得出结论.

本题主要考查函数y=As讥®x+0）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于基

础题.

11.【答案】A

【解析】解：对于①，设黑色阴影部分的面积为Sb，整圆所面积为S,一由对称性知，

1

Sm尹

l

所以随机点取自黑色阴影部分的概率为：P==£c=L所以①对；

1ss2

对于②，直线方程为y=—|比—|x2,即3x+2y+6=0,下面求（0,0）到此直距离：

d=展^^回=言>2,直线与圆/+/=4相离，y=ax+2a与白色部分没有公

第10页，共20页

共点，

所以②错；

对于③，设x+y=k,黑色阴影部分的边界在第一象限的方程为：/+(y—1)2=1,

圆心(0,1),

由点到直线距离公式得，d=|lxt^2-k|=M<^-V2<fc<l+V2,“=”成

Vl2+12V211

立时，

即/+(y-1)2=1与直线x+y=k在第一象限相切，此时X+y取最大值四+1,所

以③对；

对于④，由于MN为圆/+V=4过点P的直径,M、N为与y轴交点,M(0,2),N(0,-2),

线段A3是圆/+V=4所有过点尸的弦中最短的弦，则AB是平行于x轴的弦，设

与y轴交点。点，

\AQ\2=\OA\I-\OQ\2,\AQ\^22-l2=V3-X(-V3,l)>B(V3,1)-

AB=(2V3,0)，AM=(0-(一百),2-1)=(V3,l)-BN=(-V3,-2-1)=(-73,-3),

(IM-RM)-AB=(-V3-V3,-3-1)-(2V3,0)=-12，所以④错；

故选：A.

正确求出概率，会运用点到直线距离公式，即可判断.

本题以命题的真假判断为载体，考查了概率的基本概念及直线与圆的位置关系，属于基

础题.

12.【答案】D

【解析】解：取双曲线的左焦点F',可设4F=3CF=3t,

由双曲线的定义可得CT'=2a+33AF'=2a+t,

BFVAC,可得四边形AFBF'为矩形，

可得AAF'C为直角三角形，

即有AF"+"2=CF'2,

即(2a+t)2+16t2=(2a+3t)2,

解得a=t,

即有AF=a,AF'=3a,FF'=2c,

可得4尸2+2尸，2=FFJ

可得a2+9a2=4c2,

即Ida?=4C2,

故选：D.

取双曲线的左焦点尸，设4F=t,CF=3t,由双曲线的定义可得CF'=2a+33AF'=

2a+t,BFLAC,可得四边形4FB尸为矩形，运用勾股定理求得a=3以及a,c的关

系式，由离心率公式可得所求值.

本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和勾股定理，考查数形结合思

想和运算能力，属于中档题.

13.【答案】4

%+y—220

【解析】解：由约束条件x-y+220作出可行域如图中阴影部分所示,

X<1

作出直线3x+2y=0并平移，由图知当直线3x+2y-z=0经过点4(0,2)时，

z=3x+2y取得最小值，即Zmin=3xo+2x2=4.

故答案为：4.

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最

优解的坐标代入目标函数得答案.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.

14.【答案】0.7

【解析】

【分析】

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题,

随机变量f服从正态分布得到曲线关于久=1对称，根据曲线的对称性得到小

于0的和大于2的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到

结果.

【解答】

解：随机变量f服从正态分布

第12页，共20页

・•・曲线关于X=1对称，

・•・P笆<0)=P笆>2)=0.3,

<2)=1-0,3=0.7,

故答案为0.7.

15.【答案】270

【解析】解：根据题意，令X=1,可得(3+。)5=32,解得。=一1,

所以(3/+“5即(3/一2)5的展开式的通项公式为小］=砥3/)5-『(一=

(-_1)r35-rcrx10-5r)

令10-5r=0,解得r=2,

所以展开式中的常数项为(-1)233量=270.

故答案为：270.

令比=1,可得(3+a>=32,从而可求得a值，再求出展开式的通项，令尤的指数为0,

求出r值，即可求得展开式中的常数项.

本题主要考查二项式定理，考查二项展开式系数的性质，特定项的求法，属于基础题.

16.【答案】|

【解析】解：设点B在平面AC。上的射影在线段上为“，

则8H1平面ADC,

■.AH1DC,又DC1AD,且ADCiB””,

DC1平面ABD,可得CD1BD,

在Rt△BDC中,由BC=4,CD=3,可得BD=CBC?-CD2=“—32=V7；

设D”=x,贝iMh=4-x,

•••BD2-DH2=AB2-AH2,

即7--=7-(4一%)2,解得％=2,

可得cosNBAD=黑=|.

故答案为：|.

设点8在平面AC£)上的射影在线段上为H,由平面AOC,可得4"1DC,又

DCLAD,可得DC1平面ABD,可得CD1BD,然后求解三角形可得设。H=x,

则4”=4一x,由于B£)2—=4^2—解得X的值，可得AH的值，即可求解

cos/BAD的值.

本题主要考查了线面垂直的判定和性质，考查数形结合思想和空间想象能力，属于中档

题.

17.【答案】解：⑴解：;｛即｝为等差数列，设公差为d,£:4d=7,'｛建J

・•・an=ar+(ji—l)d=n,

•••也｝为等比数列，匕>0,设公比为9,则q>0,--«为,仇=母=三，・.・/=尚=瓦9九

Zbo16

nn

Q=l>bn=|.(|)-!=(|),即a”=n,bn=(|)n；

(2)证明：由(1)得％=即篇=71XG)n,

7；=1x|+2x(|)2+3x(》3+…+(n_1)x(I)"-1+nx(|尸①，

•••|7；=1x(|)2+2x(|)3+3x(|)4+-+(n-l)x(|)"+nx(|)n+1@,

由①一②得：工/+(|)2+GT+…+(|r-n.(|r+i=-n-(|r+i=

2

l-(n+2).(|r+1,

••・此=2-0+2).(|)",；工<2.

【解析】(1)设等差数列｛5｝的公差为d,等比数列｛.｝的公比为q,由题设条件分别列

出d、q的方程，解出d,q,进而求得通项公式；

(2)由(1)求得”,利用错位相减法求得前〃项和加,证明结论.

本题主要考查等差、等比数列的通项公式、性质及错位相减法求和在数列求和中的应用，

属于基础题.

18.【答案】解：(I)PC1平面ABCD,ACu平面ABCD,/.AC1PC.

AB=4,AD=CD=2,AC=BC-2V2.

•••AC2+BC2=AB2,：■ACIBC.

又BCCPC=C,ACPBC.

■：ACu平面EAC,

二平面E4C_L平面PBC.

(口)如图，以点C为原点，DA,CD，方分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角

坐标系，贝心(0,0,0),4(2,2,0),B(2,-2,0).

设P(0,0,2a)(a>0),则E(l*T,a),CA=(2,2,0),CP=(0,0,2a),CE=(1,-1,a).

取而=(1,一1,0),则记.市=记•标=0，沅为面PAC的法向量.

第14页，共20页

设元=(x,y,z)为面EAC的法向量，则元•方=元•方=0，

即=0'取久=a,y=-a,z=-2,则元=(a,-a，—2),

依题意，|cos<m,n>\-=-)===—,则a=2.

11|m|-|n|Va2+23

于是71=(2,-2,—2),PA=(2,2,—4).

设直线PA与平面E4c所成角为。，

贝Us出”|cos<PA，n>\=篙*=f>

即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为四.

3

【解析】(I)证明AC1PC.AC1BC.通过直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂

直的判定定理证明平面E4C1平面PBC.

(E)如图，以点C为原点，DA，CD.而分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角

坐标系，求出相关点的坐标以及面PAC的法向量.面EAC的法向量，通过二面角P-

AC-E的余弦值为军,求出直线PA的向量，利用向量的数量积求解直线PA与平面EAC

3

所成角的正弦值即可.

本题考查平面与平面垂直的判定定理以及二面角得到平面角，直线与平面所成角的求法,

考查空间想象能力以及计算能力.

19.【答案】解:(1)设动点P(x,y),则M(-4,y),

由&(—1,0),则而=(_1_x,_y),PM=(-4-x,0).

2西一丽=(2-久，-2y)，

2~PF[+~PM=(-6-3x,-2y).

•••(2丽-丽•(2所+两)=0，

4(%+I)2+4y2=(%+4)2,

化简得：次+乃=1.

43

・•・所求曲线C的方程为朽+艺=1.

43

(2)设4(修,乃)，B(久2，丫2)，不妨令%>o，y2<0,

设AFiAB的内切圆半径为R,则△648的周长为4a=8,

1

S^F1AB=-(\AB\+\F±B\+\F2B\)R=4R,

由此可知，当△0力B的面积最大时，△&4B的内切圆面积最大，

可设直线n的方程为％=my+1,

(X=my+1

22

联立*2必_i得：(3m+4)y+6my—9=0,

143—

，%%-送牙y，2=幕左，则SAFX4B=1内尸2I从一I=

6m912Vm2+l

/(---)2+4x---=----—，

'v3?n2+4y3m2+43m2+4

2

令迎2+1=七，则7Tl2=t-l(t>1),

.$_12t_12

•・^FrAB—3t2+1-31+表

4/(t)=3t+i(t>l),贝，⑷=3—。

当t>1时，f(t)>o恒成立，贝行(t)=3t+5在［1,+8)上单调递增,

/(t)>/(l)=4,即f(t)的最小值为4.

•••SAF1AB<3,即当t=l时，SAFMB的面积最大为3,

此时，△FMB的内切圆的最大半径为R=:,

所以，ABAB的内切圆的面积取得最大值为S=TTR2=工

故直线n的方程为久=1,ABAB的内切圆的面积最大值为患.

16

【解析】(1)设动点PQ,y),则M(-4,y),求出向量的数量积的向量，化简求解即可得

到轨迹方程.

(2)设4Q1，%),B(x2,y2),不妨令%>0,y2<0,推出当A瓦48的面积最大时,△&AB

(X=my+1

的内切圆面积最大，设直线〃的方程为％=my+1,联立，/y2r得：(3—+4)必+

VT+T=1

6my-9=0,利用韦达定理，转化求解三角形的面积的表达式，令=结合

基本不等式，转化求解，推出直线”的方程为x=1,AF/B的内切圆的面积最大值.

本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算

能力，是难题.

20.【答案】解：(1)由题意知,函数〃%)的定义域为(0,+8),

由已知得,(%)=6久+(6_a)_?=6/+(6；a)…=叱?(£+1),

当aW0时，f'(x)>0,函数/1(x)在(0,+8)上单调递增，

所以函数八支)的单调递增区间为(0,+8),

当a>0时，由((久)>0,得x>也由((x)<0,得0<x<a

第16页，共20页

所以函数/(%)的单调递增区间为(也+8),单调递减区间为(0*),

综上，当时，函数/(%)的单调递增区间为(0,+8),

。>0时，函数/(%)的单调递增区间为(出+8),单调递减区间为(0,》；

(2)当a=1时，不等式/(%)+e*〉3%2+5%+2可变为e*—Inx—2>0,

令九(%)=ex—Inx—2,则"(%)=ex—

可知函数"(%)在(0,+8)单调递增，

而"G)=—3<0,九'(1)=e-1>0,

所以方程h'Q)=。在(0,+8)上存在唯一实根%o，即靖。=

当％€(O,%o)时,/iz(x)<0,函数九(%)单调递减,

当X6(%0,+8)时，"(%)>0,函数九(%)单调递增；

所以九(%)瓶讥=/i(x)=e"。一"％o—2=’—In2一2=7~+%—2>0,

0与eu%o0

即e*—Inx—2>0在(0,+8)上恒成立》

所以对任意x>0,/(x)+ex>3久2+5%+2成立.

【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论。的范围，求出函数的单调区间即可；

(2)问题转化为证明e1—"久一2>0,(%>0),令八(x)=e"—)久一2,(%>0),求出

函数的导数，根据函数的单调性证明即可.

本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思

想，分类讨论思想，是一道综合题.

21.【答案】解：(1)X所以对任意1和k+1P(X=1)=(1-p)k,

P(X=k+1)=1-(1一「)勺

所以随机变量x的分布列为：

X1fc+1

p(1-p)k1-(1-p)fc

所以E(X)=lx(l-p)fc+(/c+l)x[l-(1-p)fc]=k+l-/c(l-p)fe.

(2)①设方案一总费用为Z,方案二总费用为匕则丫=。*+：口，

所以方案二总费用的数学期望为：E(Y)=aE(X)+；a=a[/c+l-fc(l-p)k]+；a,

44

又k=5,

所以E(Y)—矶6—5(1—p)']H——5(i(l—p)sH—ct,

~4CL—4

又方案一的总费用为Z=5a,

所以Z—E(y)=*[5(1-p)5-3，

4

当0<p<1—Vo.45时,^-<(1-p)5<1,0<5(1-P)5

1NU44

又a>0,

所以a15(l—p)5—3]>o,

所以z>E(y),

所以该单位选择方案二合理.

②)由知方案二总费用的数学期望E(Y)=aE(X)+-a=a[k+1—fc(l—p)fc]+-a,

当P=1一七时，E(Y)=a[k+l-k(f)k+=a(k+：—kef,

又方案一的总费用为Z=afc,

k

令E(Y)<Z得，a(k+三一kef<ak，

k

所以a(/c+；-ke~7)<ak，

k

即ke7>2，

4

k

即In(keU)>ln£

所以"k---In->0,

74

设/(%)=InxE[2,+8),

74

所以f'(x)=(一2=黑,xe[2,+oo),

令f'(x)>0,得2<x<7,f'(x)<。得x>7,

所以f(x)在区间[2,7)上单调递增，在区间(7,+8)上单调递减，

f(x)max=f(7)="7—1—2(ln3—Zn2)=0.1>0,

f(8)=3Zn2———2(仇3—仇2)=5,2—2仇3——=1.3—,>0,

QQQ

7(9)=2仇3一:一2(仇3—仇2)