2018年初中数学中考总复习：探究题专题

探究题专题①;们的延长线)于点E、F,∠EDF=60°,当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF.明理由3.(2015·南昌)我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”,例如图1,图2,图3中，AF,图1图2图3如图1,当∠ABE=45°,时，a=,b=你发现的关系式.(3)如图4,在ABCD中，点E、F、G分别是AD,BC,CD的中点，BE⊥EG,AB=3,求AF的长.(1)求抛物线C₁的解析式，并写出其顶点C的坐标；(3)如图2,在(2)的条件下，设点M是线段BC上一动点，EN⊥EM交直线BF于点N,点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：①tan∠ENM的值如何变化?请说明理由；②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长.5.(2015·武汉)如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE=BP,过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q,记△AEF的面积为S₁,四边形EFQP的面积为S₂,四边形PQCB的面积为S₃*B,C,D重合),AM,AN分别交BD于点E,F,且∠MAN始终保持45°不变.8.(2016·安徽)如图1,A,B分别在射线OA,ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA,OB为斜边向②如图3,若△ARB∽△PEQ,求∠MON大小和的值.顶点B的横坐标为1.9.(2016·扬州)如图1,二次函数y=ax²+bx的图象过点顶点B的横坐标为1.图2图2图3位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC,垂足为点M,且M在线段OC上(不与O、C重合),10.(2016·重庆)在△ABC中，∠B=45°,∠C=30°,点D是B(2)如图1,当点G在AC上时，求证：(3)如图2,当点G在AC的垂直平分线上时，直接写出的值.DE⊥CE,DE=CE,连接AE,点(1)如图1,若点D在BC边上，连接CM,当AB=4时，求CM的长；(3)如图3,将图2中的△CDE绕点C逆时针旋转，使∠BCD=30°,连接BD,点N是BD中点，连接MN,探索的值并直接写出结果.12.(2016·达州)△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接图3图3如图1,当点D在线段BC上时，如图2,当点D在线段CB的延长线上时，结论①,②是否仍然成立?若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明.,请求出GE的长13.(2016·舟山)我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”如图1,在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC,AD,BC的中垂线恰好交于AB边上一点P,连结AC,如图2,在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°,BC=BD=3,AB=5,将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α(0⁰<∠a<∠BAC)得到Rt△AB'D'(如图3),当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面图2图2(1)如图1,当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系；(2)如图2,当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合),求证：BE=CF;(3)如图3,当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离.15.(2016·株洲)已知二次函数y=x²-(2k+1)x+k²+k(k>0)(2)求证：关于x的一元次方程x²-(2k+1)x+k²+k=0有两个不相等的实数根；(3)如图，该二次函数与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧),与y轴交于C点，P是y轴负半轴上一图1(2)如图2,将点P移到AB,CD外部，则∠BPD,∠B,∠D之间有何数量关系?请证明你的结论.(3)如图3,写出∠BPD,∠B,∠D,∠BQD之间的数量关系?(不需证明)17.如图，抛物线A.B为顶点，点E在抛物线上，且横坐标为4AE与y轴交F.图2(1)求抛物线的顶点D和F的坐标；(2)点M,N是抛物线对称轴上两点，且M(2√2,a),N(2√2,a+√2)),是否存在a使F,C,M,N四点所围成的四边形周长最小，若存在，求出这个周长最小值，并求出a的值；(3)连接BC交对称轴于点P,点Q是线段BD上的一个动点，自点D以2√10个单位每秒的速度向终点B运动，连接PQ,将△DPQ沿PQ翻折，点D的对应点为D’,设Q点的运动时间为秒，求使得△D′PQ与△PQB重叠部分的面积为△DPQ面积的时对应的t值.(1)如图1,若A,B两点的坐标分别是A(0,4),B(-2,0),(2)如图2,作∠ABC的角平分线BD,交(3)如图3,点P是射线BA上A点右边一动点，以CP为斜边作等腰直角△CPF,其中∠F=90°,点Q为∠FPC与∠PFC的角平分线的交点，当点P运动时，点Q是否恒在射线BD上?若在，请证明；若不在，请说明理由.19.阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究一：如图1,在△ABC中，已知O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∵BO和CO分别是∠ABC与∠ACB的平;图2(1)探究二：如图2中，已知O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系?并说明理由.(2)探究二：如图3中，已知0是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A图1EE图2图3(1)当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证：M为AN的中点；(2)将图1中的△BCE绕点B旋转，当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),求证：△ACN为等腰直角(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，(2)中的结论是否仍成立?若成立，试证明之，若不成立，请说明理由. 图2图3图+(1)如图1,当点D在线段AC上时，求证：∠ABE=∠ACF;(2)如图2,当∠ABC=60°且点D在线段AC上时，求证：AF+EF=FB.(提示：将线段FB拆分成两部分)(3)①如图3,当∠ABC=45°其点D在线段AC上时，线段AF、EF、FB仍有(2)中的结论吗?若有，加以证若没有，则有怎样的数量关系，直接写出答案即可.②如图4,当∠ABC=45°且点D在CA的延长线时，请你按题意将图形补充完成.并直接写出线段AF、EF、图1(3)如图3,在(2)的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G,∠AFG是一个固定的值吗?若是，求出∠AFG23.在平面直角坐标系中，0是坐标原点，点A的坐标是(-4,0),点B的坐标是(0,b)(b>0),P是直线AB上的一个动点，记点P关于y轴对称的点为P'.①求直线AB的函数表达式.(3)若点P在第一象限(如图2),设点P的横坐标为a,作PC⊥x轴于点C,连结AP',CP'.当△ACP'是以点P′为直角顶点的等腰直角三角形时，求出a,b的值.垂直平分时(如图3),直接写出b=24.如图，点B(0,b),点A(a,0)分别在y轴、x轴正半轴上，且满足Va-b+(b²-16)²=0(2)如图1,已知H(0,1),在第一象限内存在点G,HG交AB于E,使BE为△BHG的中线，且SaBHE=3,②求点G的坐标；(3)如图2,C,D是y轴上两点，且BC=OD,连接AD,过点O作MN⊥AD于点N,交直线AB于点M,连25.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,2),△AOBO重合),以线段AP为一边在其右侧作等边三角形备用图(2)在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变?如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由.26.Rt△ABC中，∠C=90°,点D,E分别是边AC,BC上的点，点P是一动点.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,(1)若点P在线段AB上，如图①,且∠a=50°,则∠1+∠2=;②(3)如图③,若点P在斜边BA的延长线上运动(CE<CD),请直接写出∠a、∠1、∠2之间的关系： : (4)若点P运动到△ABC形外(只需研究图④情形),则∠a、∠1、∠2之间有何关系?并说明理(1)如图1,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF,EF.请判断GF与EF的关系(只写结论，不需证明);图1(2)如图2,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF,EF,(1)中结论还成立吗?若成立，给出证明；若不成立，说明理由.28.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，因此正方形是四边相等，四角相等的四边形.ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合.三角板的一边交AB于点P,另一边交BC的延长线于点Q.图②(3)如图③,固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P,另一边交BC的延长线于点Q,仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E,连接PE,若AB:AP=3:4,请帮第14页共14页小聪算出△DEP的面积.29.根据题意解答CC(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”,请说明∠A+∠B=∠C+∠D.解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD由(1)的结论得：①+②,得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D①如图3,直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,若∠ABC=36°,∠ADC=16°,请猜想∠P的度数，并说明理由.②在图4中，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由.③在图5中，AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由.第15页共15页试探究∠P与∠A的数量关系，并说明理由.试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由.图1图2【问题情境】如图1,四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM.AM=DE+BM是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2,探究展示(1)、(2)中的结论是否成立?请分别作出判断，不需要证明.证明：三角形中位线定理.已知：如图1,DE是△ABC的中位线.:证明：添加辅助线：如图1,在△ABC中，延长DE(D、E分别是AB、AC的中点)到点F,使得EF=DE,连接CF;请继续完成证明过程：图3第16页共16页求GF的长.(3)【拓展研究】如图3,在四边形ABCD中，∠A=105°,∠D=120°,E为AD的中点，G、F分别为AB、CD(1)在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°.试猜想GE,BE,GD三线段之间的数量关系，并证明你的结(2)运用(1)中解答所积累的经验和知识，完成下面两题：①如图2,在四边形ABCD中∠B=∠D=90°,BC=CD,点E,点G分别是AB边，AD边上的动点.若∠BCD=a,∠ECG=β,试探索当α和β满足什么关系时，图1中GE,BE,GD三线段之间的关系仍然成立，并说明理由.②在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A,C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M,BC边交x轴于点N(如图3).设△MBN的周长为p,在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化?若不变，请直接写出结论.34.如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为(-1,0),(3,0),现同时将点A,B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A,B的对应点C,D,连接AC,(1)求点C,D的坐标及四边形ABDC的面积SAD(3)点P是线段BD上的一个动点，连接PC,PO,当点P在BD上移动时(不与B,D重合)给出下列结论：①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值.第17页共17页35.(2017·河南)如图1,在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上，AD=AE,连接图1中，线段PM与PN的数量关系是,位置关系是把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状，并说明理由；36.(2017·十堰)已知O为直线MN上一点，OP⊥MN,请直接写出△PMN面积的最大值.在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°,AC//ON(1)如图1,若点B在OP上，则(2)将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α(0°<α<45°),如图2,那么(1)中的结论②是否成立?(3)将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α(45°<α<90°),请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA、CO、CD满足的等量关系式第18页共18页分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°,抛物线y=ax+bx+√3经过A,B两点(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H,作MD//y轴交BC于点D,求△DMH周长的最大值.38.(2017·绥化)如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB,F为CE的中点，连接AF,39.(2017·大连)如图1,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OB=OD,OC=OA+AB,AD=m,BC=n,的长.(1)如图(1)当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E,不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形.(2)如图(2),将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点(点E与点A不重合),不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论.备用图(3)在图(2)中，若AB=AC=10,BC=12,当时，求线段EF的长.图(2)41.如图1,已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°,点D是BC的中点.作正方形DEFG,使点A、C分别在DG和DE上，连接AE,BG.如果仍成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；用图画出这时的正方形DEFG,最后求出这时AF的值.42.综合题。如图1,在Rt△ABC中，AB=AC=2,∠BAC=90°,点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF,点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为在(1)的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE、CE、AF,线段BE与AF的数量关系有无变化?请仅就图2的情形给出证明；43.如图1,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上，∠EAF=45°,试判断BE,EF,FD之间的数量关系.(1)如图2,点E、F分别在正方形ABCD的边CB、CD的延长线上，∠EAF=45°,连接EF,请根据小聪的发现图2(2)如图3,如图，∠BAC=90°,AB=AC,点E、F在边BC上，且∠EAF=45°,若BE=3,EF=5,求CF的长.②请直接写出AC₁与BD₁的位置关系.第22页共22页由，并求出k的值.值和AC₁²+(kDD₁)²的值.■请完善下面证明思路：①先根据——,证明②再证明——,得到DG=AC;所以BM=二一教育在线组卷平台()自动生成(3)拓展延伸：如图3,已知等腰△ABC和等腰△ADE,AB=AC,AD=AE.连接BE,CD,若P是CD的中点，46.已知△ABC是等边三角形，D是BC边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于点E,连接BF.(3)若D点在BC边的延长线上，如图2,其它条件不变，请问(2)中结论还成立吗?如果成立，请说明理47.如图①,在正方形ABCD中，△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上，高AG与正方形的边长相等，MH,得到图②.求证：MN²=MB²+ND²;(3)在图②中，若AG=12,BM=3Z,,直接写出MN的值.48.已知，在△ABC中，∠BAC=90°,∠ABC=45°,点D为直线BC上一动点(点D不与点B,C重合).以AD为边做正方形ADEF,连接CF(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A,F分别在直线BC的两侧，其他条件不变①请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系；对角线AE,DF相交于点O,连接OC.求OC的长度.49.定义：点M,N把线段AB分割成AM、MN,NB,若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点.(1)如图①,已知M、N是线段AB的勾股分割点，AM=6,MN=8,求NB的长；(2)如图②,在△ABC中，点D、E在边线段BC上，且BD=3,DE=5,EC=4,直线I//BC,分别交AB、AD、AE、AC于点F、M、N、G.求证：点M,N是线段FG的勾股分割点(3)在菱形ABCD中，∠ABC=β(β<90°),点E、F分别在BC、CD上，AE、AF①如图③,若BC,口求证：M、N是线段BD的勾股分割点.②如图④,若∠EAF=≥∠BAD,snB=号，当点M、N是线段AB的勾股分割点时，求BM:MN:ND的第25页共25页图③图④图③50.如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=20D,OE=20C,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE.(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0⁰<a<360°)得到正方形OE’F'G',如图2.图2②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由.第26页共26页答案解析部分同(1)可得：△PBQ是等腰直角三角形，则PQ=√2PB,即PQ2=2PB2;【考点】全等三角形的判定，等边三角形的性质，勾股定理的逆定理其余过程同(1),只不过所得结论稍有不同.此题考查了等边三角形、等腰直角三角形的性质，旋转的性质，直角三角形的判定及勾股定理的应如答图2,连接BD.∵四边形ABCD是菱形，又∵∠DAB=60°,∴△ABD是等边三角形，∴△DEF是等边三角形，∵四边形ABCD是边长为2的菱形，心*·心*·,【考点】二次函数的最值，二次函数的应用，全等三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)如答图1,连接BD.根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE,然后证明△ADF≌△BDE(2)如答图2,连接BD.根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE,然后证明△ADF≌△BDE(ASA),得(3)根据(2)中的△ADF≌△BDE得到：△DEF是等边三角形，AF=BE.所以要表示△DEF的面积需要用含x的代数式把底EF和高DG表示出来.据此列出y关于x的二次函数，通过求二次函数的最值来求y的最小值.(2)解：猜想：a²+b²=5c²,如图3,连接EF,,,由(1)同理可得，,(3)解：如图4,连接AC,EF交于H,AC与BE交于点Q,设BE与AF的交点为P,∵点E、G分别是AD,CD的中点，∵四边形ABCD是平行四边形，∵E,F分别是AD,BC的中点，∴四边形ABFE是平行四边形，由(2)的结论得：AF²+EF²=5AE²【考点】全等三角形的应用，相似三角形的应用，解直角三角形的应用【解析】【解答】(1)由等腰直角三角形的性质得到根据三角形中位线的性质，得到再由勾股定理得到结果；,类比着(1)即可证得结论.(3)连接AC交EF于H,设BE与AF的交点为P,由点E、G分别是AD,CD的中点，得到EG是△ACD的中位线于是证出BE⊥AC,由四边形ABCD是平行四边形，得到AD//BC,,∠EAH=∠FCH根第30页共30页,推出EH,AH分别是△AFE的中线，由(2)的结论得即可得到结果.【分析】此题考查了三角形中位线性质、等腰直角三角形性质、勾股定理、全等三角形性质和相似三角形性质以及三角形中线的应用，解题时要灵活应用各性质定理.4、【答案】(1)解：∵抛物线C:y=ax²+bx+32(a≠0)经过点A(-1,0)和B(3,0),∴顶点C的坐标为(1,2);(2)解：如图1,作CH⊥x轴于H,∵△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，(3)解：①tan∠ENM的值为定值，不发生变化；如图2,图2②点P经过的路径是线段P₁P₂,如图3,二一教育在线组卷平台()自动生成,;,;∴点M到达点C时，点P经过的路线长为102.【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形【解析】【分析】(1)根据待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；(2)根据A、C的坐标求得直线AC的解析式为y=x+1,根据题意求得EF=4,求得EF//y轴，设F(m,-12m²+m+32),则E(m,m+1),从而得出(m+1)-(-12m²+m+32)=4,解方程即可求得F的坐标；(3)①先求得四边形DFBC是矩形，作EG⊥AC,交BF于G,然后根据△EGN∽△EMC,对应边成比例即②根据勾股定理和三角形相似求得EN=10,然后根据三角形中位线定理即可求得.,(2)解：过点A作AH⊥BC于H,分别交PQ于M、N,如图所示：二一教育在线组卷平台()自动生成·。·。,,(3)解：∵S₃-S₁=S₂,,【考点】一元二次方程的解，平行线的性质，三角形的面积，相似三角形的判定与性质,【解析】【分析】(1)由平行线得出比例证出AP=BE,得出,即可得出EF+PQ=BC;(2)过点A作AH⊥BC于H,分别交PQ于M、N,设EF=a,PQ=b,AM=h,则BC=a+b,由平行线得出即可得出结果.6、【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，,,,,(2)如图2所示，;∴四边形FMEB为平行四边形【考点】相似三角形的判定与性质，相似三角形的应用【解析【分析】(1)可以通过多组三角形全等证得，先根据SAS证明△BCO≌△DCO,得到∠CBO=∠CDO,然后根据ASA证明△BEC≌△DFC,进而可得CF=CE,然后根据SAS即可证明△FOC≌△EOC;(2)利用EM//BC来转化比：,由BC//AD,可得EM//AD,可,进而可得：得到FM//BN,再利用EM//BC,得到四边形FMEB为平行四边形，从而FM=BE=FD.7、【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，(2)证明：由(1)可知∠AFM=90°,【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的综合题【解析】【分析】(1)先证明A、B、M、F四点共圆，根据圆内接四边形对角互补即可证明∠AFM=90°,根据等腰直角三角形性质即可解决问题.(2)由(1)的结论即可证明.(3)由：A、B、M、F四点共圆，推出∠BAM=∠EFM,因为∠BAM=∠FMN,所以∠EFM=∠FMN,推出MN//BD,得到CMCB=CNCD,推出BM=DN,再证明△ABM≌△ADN即可解决问题.本题考查四边形综合题、等腰直角三角形性质、四点共圆、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用四点共圆的性质解决问题，题目有点难，用到四点共圆.8、【答案】(1)证明：∵点C、D、E分别是OA,OB,AB的中点，∵△OAP,△OBQ是等腰直角三角形，,,,(2)解：①如图2,连接RO,∵PR与QR分别是OA,OB的垂直平分线，第37页共37页∴△PEQ是等腰直角三角形，此时P,O,B在一条直线上，△PAB为直角三角形，且∠APB=90°,【考点】全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)根据三角形中位线的性质得到DE=OC,//OC,CE=OD,CE//OD,推出四边形ODEC是平行四边形，于是得到∠OCE=∠ODE,根据等腰直角三角形的定义得到∠PCO=∠QDO=90°,根据等腰直角三角形的性质得到得到PC=ED,CE=DQ,即可得到结论(2)①连接RO,由于PR与QR分别是OA,OB的垂直平分线，得到AP=OR=RB,由等腰三角形的性质得到∠ARC=∠ORC,∠ORQ=∠BRO,根据四边形的内角和得到∠CRD=30°,即可得到结论；②由(1)得，EQ=EP,∠DEQ=∠CPE,推出∠PEQ=∠ACR=90°,证得△PEQ是等腰直角三角形，根据相似三角形的性质得到ARB=∠PEQ=90°,根据四边形的内角和得到∠MON=135°,求得∠APB=90°,根据等腰直角三角形的性质得到结论.本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键.9、【答案】(1)解：∵二次函数y=ax2+bx的图象过点A(-1,3),顶点B的横坐标为1,则有{3=a-b-b2a=1解得{a=1b=-2∴二次函数y=x²-2x∴直线AB解析式为y=-2x+1,AB=25,设点Q(m,0),P(n,n²-2n)∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，①当AB为对角线时，根据中点坐标公式得，则有{m+n2=0n2-2n2=1,解得{m=-1-3n=1+3或(3)解：设T(m,m²-2m),∵TM⊥OC,由{y=kxy=-1kx+m2-2m+mk解得{x=m2k-2mk+mk2+∴当k=12时，点T运动的过程中，ON2【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题(2)①当AB为对角线时，根据中点坐标公式，列出方程组解决问题.②当AB为边时，根据中点坐标公式列出方程组解决问题.(3)设T(m,m²-2m),标，求出OM、ON,根据ON2OM列出等式，即可解决问题.本题的关键是利用参数，方程组解决问题，学会转化的思想，属于中考压轴题.(1)解：如图1中，过点A作AH⊥BC于H.(2)证明：如图1中，(3)解：如图2中，作AH⊥BC于H,AC的垂直平分线交AC于P,交BC于M.则AP=PC,在RT△AHC中，∵∠ACH=30°,【考点】全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定【解析】【分析】(1)如图1中，过点A作AH⊥BC于H,分别在RT△ABH,RT△AHC中求出BH、HC即度角性质即可解决问题.(3)如图2中，作AH⊥BC于H,AC的垂直平分线交AC于P,交BC于M.则AP=PC,作DK⊥AB于K,设BK=DK=a,则AK=√3a,AD=2a,只要证明∠BAD=30”即可解决问题。本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、线段垂直平分线性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会设参数解决问题，属于中考压轴题.11、【答案】(1)解：如图1中，(2)证明：如图2中，第41页共41页(3)解：如图3中，图3延长DM到G使得MG=MD,连接AG、BG,延长AG、EC交于点F.,,【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)先证明△ACE是直角三角形，根据2中，延长DM到G使得MG=MD,连接AG、BG,EF//AG,再证明△ABG≌△CAE,得∠ABG=∠CAE,得MG=MD,连接AG、BG,延长AG、EC交于点延长ED交AB于F,先证明△AMG≌△EMD,推出由此即可解决问题.(3)如图3中，延长DM到G使F,先证明△ABG≌△CAE,得到BG=AE,设BC=2a,在第43页共43页RT△AEF中求出AE,根据中位线定理,由此即可解决问题.本题考查相似形综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，学会添加辅助线的方法，属于中考压轴题.(2)证明：成立，在△DAB与△FAC中，,∴四边形CMEN是矩形，∴△BCG是等腰直角三角形，【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质【解析】【解答】解：(1)①正方形ADEF中，AD=AF,故答案为：垂直；故答案为：BC=CF+CD;【分析】(1)①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°,推出△DAB≌△FAC,根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC,根据全等三角形的性质得到CF=BD,∠ACF=∠ABD,根据余角的性质即可得到结论；(2)根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°,推出求得DH=3,根据正方形的性质得到AD=DE,∠ADE=90°,根据矩形的性质得到NE=CM,EM=CN,由角的性质得到∠ADH=∠DEM,根据全等三角形的性质得到EM=DH=3,DM=AH=2,等量代换得到CN=EM=3,EN=CM=3,根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=4,根据勾股定理即可得到结论.本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.第45页共45页13、【答案】(1)矩形或正方形∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，(3)解：分两种情况考虑：(i)当∠AD'B=∠D'BC时，延长AD',CB交于点E,由勾股定理得：4²+(3+x)²=(4+x)²,解得：,第46页共46页(ii)当∠D'BC=∠ACB=90°时，过点D'作D'E⊥AC于点E,∴四边形ECBD’是矩形，【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；(2)AC=BD,理由为：连接PD,PC,如图1所示，根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线，得到两对角相等，利用等角对等角得到两对角相等，进而确定出∠APC=∠DPB,利用SAS得到三角形ACB与三角形DPB全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；(3)分两种情况考虑：(i)当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′,CB交于点E,ACBD′面积即可.此题属于几何变换综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂直平分线定理，等腰三角形性质，以及矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键.14、【答案】(1)解：结论AE=EF=AF.理由：如图1中,连接AC,第47页共47页∴△AEF是等边三角形，(2)解：证明：如图2中过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥EC于点H,在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4,【考点】全等三角形的判定与性质，菱形的性质【解析】【分析】(1)结论AE=EF=AF.只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形.于点H,根据FH=CF*cos30°,因为CF=BE,只要求出BE即可解决问题.本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题.(2)解：∵一元次方程x²-(2k+1)x+k²+k=0,∴关于x的一元次方程x²-(2k+1)x+k²+k=0有两个不相等的实数根(3)解：由题意可得：点P的坐标为(0,-1),故A(k,0),B(k+1,0),故C(0,k²+k)可得则点Q坐标为【考点】根的判别式，两点间的距离，二次函数图象上点的坐标特征，配方法的应用【解析】【分析】(1)直接将k的值代入函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标；(2)利用根的判别式得出△=1,进而得出答案；(3)根据题意首先表示出Q点坐标，以及表示出OA,AB的长，再利用两点之间距离求出AQ的长，进而求出答案.此题主要考查了二次函数综合以及根的判别式和配方法求二次函数顶点坐标和两点之间距离求法等知识，正确表示出Q点坐标是解题关键.(2)解：∠B=∠BPD+∠D.理由如下：设BP与CD相交于点O,(3)解：如图，连接QP并延长，结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D(4)解：如图，由三角形的外角性质，∠A+∠E=∠1,∠B+∠F=∠2,【考点】平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质【解析】【分析】(1)过点P作PE//AB,根据两直线平行，内错角相等可得∠B=∠1,∠D=∠2,再根据∠BPD=∠1+∠2代入数据计算即可得解；(2)根据根据两直线平行，内错角相等可得∠BOD=∠B,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解；(3)连接QP并延长，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答；(4)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠E=∠1,∠B+∠F=∠2,再根据四边形的内角和定理列式计算即可得解.解得设直线AE解析式为y=kx+b,则有解得(2)解：如图1中，作点F关于对称轴的对称点F',连接FF′交对称轴于G,在CF上取一点C′,使连接C′F′与对称轴交于点N,此时四边形CMNF周长最小.线段最短),∴此时四边形CMNF的周长最小.(3)解：如图2中，作PF⊥BD于F,QH⊥对称轴于H.图2由题意可知80=√(Z)+√2)1O,Da-21ot,第52页共52页1.情形②如图3中，图3综上所述秒时，△D′PQ与△PQB重叠部分的面积为△DPQ面积的【解析】【分析】(1)利用配方法或公式法求顶点坐标，求出最中，作点F关于对称轴的对称点F′,连接FF′交对称轴于6,在GF上取一点C',使得CC′=√2,连接C′F′与对称轴交于点N,此时四边形CMNF周长最小.(3)分两种情形①PG//FB时；②如图3中，PG′=PG=2√Z,作PM⊥BD于M,QK⊥PD于K,QI⊥PD′于1.分别求解即可.18、【答案】(1)解：如图1中，作CM⊥OA垂足为M,∴点C坐标(4,2)(2)证明：如图2,延长CE,BA相交于点F,',',图2(3)解：结论：点Q恒在射线BD上，如图3中作QE⊥PF,QG⊥FC,QH⊥PC,QM⊥BP,QN⊥BC,垂足分别为E、G、H、M、N.,,【考点】全等三角形的性质【解析】【分析】(1)要求点C坐标，作CM⊥AO,只要利用全等三角形的性质求出OM、CM即可；(2)延长CE、BA相交于点F.可以证明Rt△ABD≌Rt△ACF,再证明△BCE≌△BFE得到CE=EF,就可以得出结19、【答案】(1)解：探究2结论：理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，,争,又∵∠ACD是△ABC的一个外角，∵∠2是△BOC的一个外角，(2)解：由三角形的外角性质和角平分线的定义，,,,【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可得争,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠2=}∠ACD=²第56页共56页-∠1,然后整理即可得解；(2)根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB,再根据三角形的内角和定理解答.20、【答案】(1)证明：如图1,∴图1(2)证明：如图2,∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∵A,B,E三点在同一直线上，第57页共57页(3)△ACN仍为等腰直角三角形.证明：如图3,延长AB交NE于点F,第58页共58页图3【考点】平行线的性质，全等三角形的判定与性质，多边形内角与外角，等腰直角三角形∠ACN=∠BCE=90°,则有△ACN为等腰直角三角形.(3)延长AB交NE于点F,易得△ADM≌△NEM,根据四边形BCEF内角和，可得∠ABC=∠FEC,从而可以证到△ABC≌△NEC,进而可以证到AC∠ACN=∠BCE=90°,则有△ACN为等腰直角三角形.21、【答案】(1)证明：如图1,∵AF平分∠CAE,(2)证明：在FB上截取BM=CF,连接AM,如图2,图2第59页共59页(3)证明：①线段AF、EF、FB不是(2)中的结论，线段AF、EF、FB的数量关系为理由在FB上截取BM=CF,连接AM,如图3,②如图4,在CF上截取CG=BF,连接AG,图4【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质【解析】【分析】(1)证△EAF≌△CAF,推出EF=CF,∠E=∠ACF,二一教育在线组卷平台()自动生成根据等腰三角形性质推出∠E=∠ABE,即可得出答案；(2)在FB上截取BM=CF,连接AM,证△ABM≌△ACF,推出EF=FC=B△AMF是等边三角形，推出MF=AF,即可得出答案；(3)①在FB上截取BM=CF,连接AM,证△ABM≌△ACF,推出EF=FC=BM,AF=AM,推出△AMF是等腰直角三角形，推出,即可得出②只需在CF上截取CG=BF,先证△AFE≌△AFC,得出CF=EF,再证△ABF≌△ACG,得出△AFG是等腰直角三角形，然后结论显然.22、【答案】(1)①证明：如图1,即(2)证明：如图4,图2第62页共62页垂足分别为M、N,【考点】全等三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)①证明△ACE≌△BCD,得到∠1=∠2,由对顶角相等得到∠3=∠4,所以∠BFE=∠ACE=90°,即可解答；②根据勾股定理求出BD,利用△ABD的面积的两种表示方法，即可解答；(2)证明△ACE≌△BCD,得到∠1=∠2,又由∠3=∠4,得到∠BFA=∠BCA=90°,即可解答；(3)第63页共63页∵点A的坐标是(-4,0),点B的坐标是(0,3)(2)(-9,0)、(-8,0)或(1,0)(3)解：过P′作PD⊥x轴于点D,如图所示.∵点A的坐标是(-4,0),点B的坐标是(0,b)(b>0),∴点P的坐标为(a,b4a+b),则点P′的坐标为(-a,b4a+b),点C的坐标为(a,0),点D的坐∵点A的坐标是(-4,0),点B的坐标是(0,3)②∵点P是直线AB上的一个动点，点Q为x轴上一点(点O除外),∴设点Q的坐标为(m,0),∠PAQ=∠BAO,第64页共64页(4)由(3)可知：点P的坐标为(a,b4a+b),则点P′的坐标为(-a,b4a+b),直线AB的解析式为y=b4x+b.则OP′的中点坐标为(-a2,b8a+b2),直线OP′的斜率为b4+b-0-a-0=-b4-b4.∵线段OP′恰好被直线AB垂直平分，【分析】(1)①由待定系数法可求出一次函数解析式；(2)②设出Q点坐标(m,0),由全等可得出关于m的一次方程，解方程即可得出结论；(3)根据点斜式写出直线AB的解析式，由此可得出P点、C点和P′点的坐标，由等腰直角三角形的性质可得出各边的关系，由此得出关于a、b的二元一次方程组，(4)结合(3)直线的解析式和P、P′点的坐标，由线段OP′恰好被直线AB垂直平分可得知OP′的斜率与AB斜率互为负倒数，且OP′的中点在直线AB上，由此可得出关于a、b的二元二次方程组，解方程组即可得出结论.(2)解：①如图1,作EF⊥y轴于F,第65页共65页即故点E到BH的距离为2.②设G(m,n),则∴∴G点坐标为(4,5)(3)解：如图2,过点B作BK⊥OC,交MN于点K,则∠KBO=∠DOA,∴∠2+∠5=180°,即∠ADO+∠BCM=180°.【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形【解析】【分析】(1)根据非负数的性质，得出关于a、b的方程组，求得a、b即可得到A、B两点的坐标，最后利用等腰三角形的性质得出∠OAB的度数；(2)作EF⊥y轴于F,构造等腰直角三角形BEF,进而求出E点坐标，利用△BHE的面积即可得到点E到BH的距离；设G(m,n),根据BE为△BHG的中线，求得点G坐标即可；(3)过点B作BK⊥OC,交MN于点K,然后证明△OBK≌△OAD、△MKB≌△MCB,从而可证明∠ADO+∠BCM=180°.25、【答案】(1)解：如图1,过点B作BC⊥x轴于点C,∵△AOB为等边三角形，且OA=2,第67页共6第67页共67页(3)解：当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，由(2)可知，△APO≌△AQB,【考点】坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质【解析】【分析】(1)如图，作辅助线；证明∠BOC=30°,OB=2,借助直角三角形的边角关系即可解决问题；(2)证明△APO≌△AQB,得到∠ABQ=∠AOP=90°,即可解决问题；(3)根据点P在x的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果.(2)解：∠1+∠2=90°+∠α(3)解：∠2-∠1=90°+∠a;∠2=∠1+90°;∠1-∠2=∠a-90°故答案为：∠2=90°+∠1-α第68页共68页【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质【解析】【解答】解：(1)如图，连接PC,∵∠1=∠PCD+∠CPD,∠2=∠PCE+∠CPE,·(2)连接PC,图(2)·(3)如图1,如图3,∵∠2=∠1-∠a+∠C,故答案为；∠2-∠1=90°+∠a;∠2=∠1+90°;∠1-∠2=∠a-90°.【分析】(1)连接PC,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1=∠PCD+∠CPD,第69页共69页∠2=∠PCE+∠CPE,再表示出∠1+∠2即可；(2)利用(1)中所求得出答案即可；(3)利用三角外角的性质分三种情况讨论即可；(4)利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出.【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形【解析】【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出∠FDG=∠EAF,进而得出进而得出△EAF≌△GDF即可得出答案.,。,。(2)证明：猜测：PE=QE.证明：由(1)可知，DP=DQ.(3)解：∵AB:AP=3:4,AB=6,与(1)同理，可以证明△ADP≌△CDQ,与(2)同理，可以证明△DEP≌△DEQ,即：2²+(14-x)²=x²,【考点】全等三角形的性质，全等三角形的判定【解析】【分析】(1)证明△ADP≌△CDQ,即可得到结论：DP=DQ;(2)证明△DEP≌△DEQ,即可得到结论：PE=QE;(3)与(1)(2)同理，可以分别证明△ADP≌△CDQ、△DEP≌△DEQ.在Rt△BPE中，利用勾股定理求出PE(或QE)的长度，从而可求得,而△DEP≌△DEQ,所以29、【答案】(1)解：∵∠A+∠B+∠AOB=180°,∠C+∠D+∠COD=180°,(2)解：①∠P=26“.∵AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,第71页共71页由(1)的结论得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D①,∠PAB+∠P=∠PCB+∠B②,①+③得∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D,即2∠P+180°=∠B+∠D+180°,②如图4,∵AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,在四边形APCD中，∠2+∠P+(180°-∠3)+∠D=360°,③如图5,第72页共72页第72页共72页中中【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，多边形内角与外角【解析】【分析】(1)根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；(2)根据角平分线的定义可得∠1=∠2,∠3=∠4,再根据(1)的结论列出整理即可得解；①表示出∠PAD和∠PCD,再根据(1)的结论列出等式并整理即可得解；②根据四边形的内角和等于360°可得(180°-∠1)+∠P+∠4+∠B=360°,然后整理即可得解；③根据(1)的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD,然后整理即可得解然后整理即可得解.,(2)∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD,,∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD,,第73页共73页【考点】三角形内角和定理，多边形内角与外角然后根据三角然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；探究二：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD,然后同理探究二解答即可；探究三：根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD,然后同理探究二解答即可.(2)AM=DE+BM成立.证明：过点A作AF⊥AE,交CB的延长线于点F,如图1(2)所示.图1(2)(3)①结论AM=AD+MC仍然成立.证明：延长AE、BC交于点P,如图2(1),图2(1)∵AE平分∠DAM,图2(2)∵四边形ABCD是矩形，【考点】全等三角形的应用，正方形的判定与性质图1(1)【分析】(1)从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N,如图(1),易证△ADE≌△NCE,从而有AD=CN,只需证明AM=NM即可.(2)作FA⊥AE交CB的延长线于点F,易证AM=FM,只需证明FB=DE即可；要证FB=DE,只需证明它们所在的两个三角形全等即可.(3)在图2(1)中，仿照(1)中的证明思路即可证到AM=AD+MC仍然成立；在图2(2)中，采用反证法，并仿照(2)中的证明思路即可证到AM=DE+BM不成立.32、【答案】(1)证明：如图，延长DE到点F,使得EF=DE,连接CF又∵AD=BD,∴四边形BCFD是平行四边形，故答案为：DE//BC,第77页共77页(3)如图3,过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H,过H作CD的垂线，垂足为P,连接HF,同(1)可知△AEG≌△DEH,GF=HF, 【考点】全等三角形的性质，三角形中位线定理【解析】【分析】(1)利用“边角边”证明△ADE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CF,然后判断出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得；(2)先判断出△AEG≌△DEH(ASA)进而判断出△PDH为等腰直角进而判断出EF垂直平分进而判断出△PDH为等腰直角’三角形，再用勾股定理求出HF即可得出结论.33、【答案】(1)解：GE=BE+GD,理由如下：第78页共78页第78页共78页图(2)②在旋转正方形OABC的过程中，P值无变化；延长BA交y轴于E点，如图(3)所示：【解析】【分析】(1)由SAS证得△EBC≌△FDC,再由SAS证得△ECG≌△FCG,可得到EG=FG,即可得出结果；(2)①延长AD到F点，使DF=BE,连接CF,可证△EBC≌△FDC,结合条件可证得34、【答案】(1)解：依题意，得C(0,2),D(4,2),∴S(2)存在.设点P到AB的距离为h,(3)结论①正确，过P点作PE//AB交OC与E点，【考点】坐标与图形性质，平行线的性质，三角形的面积【解析】【分析】(1)根据平移规律，直接得出点C,D的坐标，根据：四边形ABDC的面积=ABxOC求解；(2)存在.设点P到AB的距离为h,则,根据SPAB=S确定P点坐标；(3)结论①正确，过P点作PE//AB交OC与E点，根据平行线的性质得∠DCP+∠BOP=∠CPE+∠OPE=∠CPO,故比值为1.(2)解：由旋转知，∠BAD=∠CAE,同(1)的方法，利用三角形的中位线得，,同(1)的方法得，PM//CE,同(1)的方法得，PN//BD,(3)解：如图2,同(2)的方法得，△PMN是等腰直角三角形，【考点】三角形中位线定理，旋转的性质，等腰直角三角形,进而判断出进而判断出BD=CE,即可得出结论，另为法得出BD,即可得出PM=PN,同(1)的方法即可得出结论；(3)先判断出MN最大,时，△PMN的面积最大，进而求出AN,AM,即可得出MN最大=AM+AN,最后用面积公式即可得出结(2)如图2,(1)中的结论②不成立，理由是：连接AD,延长CD交OP于F,连接EF,所以(1)中的结论②不成立【考点】全等三角形的判定与性质，旋转的性质，作图-旋转变换，等腰直角三角形理由：如图1,∵在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°,二一教育在线组卷平台()自动生成连接AD,N∴四边形ADOC是正方形，(3.)如图3,结论：..同理：∠ADC=∠EDO,【分析】(1)①如图1,证明AC=OC和OC=OE可得结论；②根据勾股定理可得：AC²+CO²=CD²;(2)如图2,(1)中的结论②不成立，作辅助线，构建全等三角形，证明A、D、O、C四点共圆，得∠ACD=∠AOB,同理得：∠EFO=∠EDO,再证明△ACO≌△EOF,得OE=AC,AO=EF,根据勾股定理得：由直角三角形中最长边为斜边可得结论；(3)如图3,连接AD,则AD=OD证明△ACD≌△OED,根据△CDE是等腰直角三角形，得CE²=2CD²,等量代换可得结论(OC-OE)²=(OC37、【答案】(1)解：∵直线分别与x轴、y轴交于B、C两点，第85页共85页(2)解：∵抛物线·解得∵抛物线解析式为(3)解：∵MD//y轴，MH⊥BC,∴当DM有最大值时，其周长有最大值，∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，即△DMH周长的最大值为【考点】二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，平行线的性质，直线与坐标轴相交问题，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】(1)由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°,则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°,利用三角函数的定义可求得OA,则可求得A点坐标；(2)由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(3)由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°,在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值.第86页共86页38、【答案】(1)解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD,(2)解：如图，连接DF,【考点】全等三角形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠DCE=∠DEC,进而得出DE=DC;(2)连接DF,根据等腰三角形的性质得出∠DFC=90°,再根据直角三角形斜边上中线的性质得出再根据SAS判定△ABF≌△DCF,即可得出∠AFB=∠DFC=90°,据此可得AF⊥BF;(3)根据等角的余角相等可得∠BAF=∠FEH,再根据公共角∠EFG=∠AFE,即可判定△EFG∽△AFE,进而得出(2)解：如图1中，作DE//AB交AC于E.(负根已经舍弃),即【考点】全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°,故答案为∠BAD+∠ACB=180°.【分析】(1)在△ABD中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：∠BAD+∠ACB=180°;(2)如图1中，-1=0,求出的值即可解决问题；(3)如图2中，作DE//AB交AC于E.想办法证明△PA'D∽△PBC,可得.由此即可解决问题；40、【答案】(1)解：图(1)中与△ADE相似的有△ABD,△ACD,△DCE.又∵∠MDN=∠B,同理可得：△ADE∽△ACD,(2)解：△BDF∽△CED∽△DEF,证明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°又∵∠EDF=∠B,∴∠BFD=∠CDE,第90页共第90页共90页申申(3)解：连接AD,过D点作DG⊥EF,DH⊥BF,垂足分别为G,H.备用图【考点】等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出相似三角形即可；(2)利用已知首先求出∠BFD=∠CDE,即可得出△BDF∽△CED,再利用相似三角形的性质得出BD:DF=EC:DE,进而得出△BDF∽△CED∽△DEF.(3)首先利用△DEF的面积等于△ABC的面积的,求出DH的长，进而利用SaDF的值求出EF即可.41、【答案】(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°,点D是BC的中点，(2)解：成立；理由如下：如图2,连接AD,正方形DEFG如图3所示图3在Rt△AEF中，由勾股定理，得第92页共92页【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形连接AD,根据直角三角形与正方形的性质可得Rt△BDG≌Rt△EDA;进而可得BG=AE;(3)根据(2)的结论，求BG的最大值，分析可得此时F的位置，由勾股定理可得答案.·(2)解：无变化；理由如下：(3)解：当点E在线段AF上时，如图2,根据勾股定理得，BF=VG,当点E在线段BF的延长线上时，如图3,第93页共93页,即当正方形CDEF旋转到B、E、F三点共线时候，线段AF的长为【考点】勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质【分析】(1)先利用等腰直角三角形的性质得出用三角函数得出同理得出(3)分两种情况计算，当点E在线段BF上时，如图2,先利用勾股定理求出借助(2)得出的结论，当点E在线段BF的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论.理由：如图1所示，∵AB=AD,二一教育在线组卷平台()自动生成(2)解：∵∠BAC=90°,AB=AC,【考点】全等三角形的性质，勾股定理，旋转的性质根据全等三角形的性质得出EF=FG,即可得出答案；(2)根据旋转的性质得AG=AE,CG=BE,∠ACG=∠B,形的性质得到FG=EF,利用勾股定理可得CF.44、【答案】(1)解：证明：如图1,∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C₁OD₁理由如下：如图2,(3)解：如图3,与(2)一样可证明△AOC₁∽△BOD₁