山东省济南市历城第四中学高三数学文测试题含解析

山东省济南市历城第四中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知实数，则下列不等式中成立的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.

参考答案：D略3.已知函数：①；②；③；④．从中任取两个函数，则这两个函数的奇偶性相同的概率为（

）A． B． C． D．参考答案：D①中函数是非奇非偶函数，②中函数是偶函数，③中函数是奇函数，④中函数是偶函数，从上述个函数中任取两个函数，有中取法：①②、①③、①④、②③、②④、③④，其中②④的奇偶性相同，均为偶函数，∴所求概率为．4.把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图像.若对任意，曲线与至多只有一个交点，则的最小值为（

）A.

B.

C.2

D.4参考答案：A5.函数f（x）=，直线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次标记为a，b，c，d，下列说法错误的是(

)A．m∈[3，4）B．若关于x的方程f（x）+x=m恰有三个不同的实根，则m取值唯一C．D．abcd∈[0，e4）参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】函数的性质及应用．【分析】画出函数图象，利用数形结合的方法解题．【解答】解：画出函数图象如图：

若直线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，由图可知m∈[3，4），故A正确若关于x的方程f（x）+x=m恰有三个不同实根，则y=f（x）与y=﹣x+m有三个不同的交点，而直线y=﹣x+3与y=﹣x+均与y=f（x）有三个交点，∴m不唯一．∴B是不正确的由2﹣lnx=4得x=，由2﹣lnx=3得x=，∴c∈（，]，∵cd=e4，∴a+b+c+d=c+﹣2在（，]上是递减函数，∴a+b+c+d∈[，]；∴C是正确的∵四个交点横坐标从小到大，依次记为a，b，c，d，∴a，b是x2+2x+m﹣3=0的两根，∴a+b=﹣2，ab=m﹣3，∴ab∈[0，1），且lnc=2﹣m，lnd=2+m，∴ln（cd）=4∴cd=e4，∴abcd∈[0，e4），∴D是正确的．故选B【点评】考察了函数图象的画法，利用图象解决实际问题．数形结合是数学常用解题方法，特别是选择题．6.已知函数的定义域为[0,1]，则函数的定义域为A.[－1,0]

B.[0,1]

C.[1,2]

D.[3,4]参考答案：A7.将函数的图像向右平衡个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是（

）A.函数g(x)的最大值为 B.函数g(x)的最小正周期为πC.函数g(x)的图象关于直线对称 D.函数g(x)在区间上单调递增参考答案：D【分析】根据平移变换和伸缩变换的原则可求得g(x)的解析式，依次判断g(x)的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果.【详解】函数向右平移个单位长度得：横坐标伸长到原来的2倍得：g(x)最大值为2，可知A错误；g(x)最小正周期为，可知B错误；时，，则不是g(x)的对称轴，可知C错误；当时，，此时g(x)单调递增，可知D正确.本题正确选项：D【点睛】本题考查三角函数平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.8.已知函数，则是

（

）A．单调递增函数

B．单调递减函数

C．奇函数

D．偶函数参考答案：D略9.执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（表示不超过x的最大整数）(A)4

(B)5

(C)7

(D)9参考答案：C第一次循环，，不满足条件，；第二次循环，，不满足条件，；第三次循环，，不满足条件，；第四次循环，，不满足条件，；第五次循环，，此时不满足条件，。第六次循环，，此时满足条件，输出，选C.10.对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中①ac2＞bc2，则a＞b；

②若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d；③若a＞b，c＞d，则ac＞bd；

④a＞b，则＞．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：B【考点】不等式的基本性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由不等式的性质，逐个选项验证可得．【解答】解：选项①ac2＞bc2，则a＞b正确，由不等式的性质可得；

选项②若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d正确，由不等式的可加性可得；选项③若a＞b，c＞d，则ac＞bd错误，需满足abcd均为正数才可以；

选项④a＞b，则＞错误，比如﹣1＞﹣2，但＜．故选：B【点评】本题考查不等式的性质，属基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的图象与直线相切，相邻切点之间的距离为．若点是图象的一个对称中心，且，则

▲

．参考答案：略12.已知实数满足，则的取值范围为

．参考答案：

13.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则俯视图的面积为

▲

cm2，该几何体的体积为

▲

cm3．参考答案：6，8； 14.点O是锐角的外心，，若，则

参考答案：

如图，点在上的射影是点，它们分别为的中点，由数量积的几何意义，可得，

依题意有，即，同理，即综上，将两式相加可得：，即15.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是AC1、A1B1的中点．点在正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点所构成的轨迹的周长等于

．参考答案：略16.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(2013)＝________.参考答案：0略17.已知某人投篮的命中率为，则此人投篮4次，至少命中3次的概率是

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（满分12分）某集团在“5·12”地震灾区投资兴建了一条生产线生产三种不同规格的产品，现从生产线上随机抽取100件产品，得出频率分布直方图如下，

其中质量在之间的为A类产品，质量在之间的为B类产品，质量在之间的为C类产品，由市场行情知A、B、C三类产品的每件销售量利润分别为1元、2元、3元.问：（1）抽取的100件样品中，C类产品的频数为

.（2）若从生产线上随机抽取3件产品，求这3件产品销售利润和不小于7元的概率.参考答案：（1）50…………（4分）（2）设这3件产品的销售利润和为则……………（6分）……（8分）……（10分）………………（12分）略19.已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x，x∈[，]．（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）若不等式|f（x）﹣m|＜2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】正弦函数的定义域和值域；函数恒成立问题；三角函数的化简求值．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）利用降幂公式将f（x）化简为f（x）=1+2sin（2x﹣），即可求得f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）|f（x）﹣m|＜2?f（x）﹣2＜m＜f（x）+2，而x∈[，]，可求得2x﹣∈[，]，从而可求得f（x）max=3，f（x）min=2，于是可求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=[1﹣cos（+2x）]﹣cos2x=1+sin2x﹣cos2x=1+2sin（2x﹣），又∵x∈[，]，∴≤2x﹣≤，即2≤1+2sin（2x﹣）≤3，∴f（x）max=3，f（x）min=2．

（Ⅱ）∵|f（x）﹣m|＜2?f（x）﹣2＜m＜f（x）+2，∵x∈[，]，由（1）可知，f（x）max=3，f（x）min=2，∴m＞f（x）max﹣2=1且m＜f（x）min+2=4，∴1＜m＜4，即m的取值范围是（1，4）．【点评】本题考查三角函数恒成立问题，着重考查正弦函数的定义域和值域，考查三角函数的化简求值与辅助角公式的应用，属于中档题．20.（本小题满分10分）如图,已知与圆相切于点,直径,连接交于点．（Ⅰ）求证:；（Ⅱ）求证:.参考答案：（I）解法一：21.（本小题满分12分）已知向量，，函数.（Ⅰ)求的最小正周期和单调递减区间;（Ⅱ)将函数的图象向左平移单位，得到函数的图象,求在上的最大值，并写出x相应的取值.参考答案：(Ⅰ)

……………………4分故的最小正周期为T=

………………5分由得得函数的f(x)单调递减区间为…………7分(ＩＩ)由题意……9分………………12分22.已知函数f（x）=2lnx﹣x2+ax（a∈R）．（1）若函数f（x）的图象在x=2处切线的斜率为﹣1，且不等式f（x）≥2x+m在上有解，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，求证：（其中f′（x）是f（x）的导函数）．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）通过求导得到函数f（x）的图象在x=2处切线的斜率，由此求得a=2，得到函数解析式，然后利用分离变量法得到m≤2lnx﹣x2，利用导数求出g（x）=2lnx﹣x2在上的最大值得答案；（2）由f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），可得方程2lnx﹣x2+ax=0的两个根为x1，x2，把两根代入方程后作差得到，求得，然后令换元，再通过构造函数，利用导数求出所构造出函数的最大值小于等于0得答案．【解答】（1）解：由，得切线的斜率k=f'（2）=a﹣3=﹣1，∴a=2，故f（x）=2lnx﹣x2+2x，由f（x）≥2x+m，得m≤2lnx﹣x2，∵不等式f（x）≥2x+m在上有解，∴m≤（2lnx﹣x2）max．令g（x）=2lnx﹣x2，则，∵x∈，故g′（x）=0时，x=1