2025版高考数学一轮总复习素养提升第3章导数及其应用第3讲导数的综合应用第2课时导数与不等式恒能成立

洛必达法则在解决不等式恒(能)成立，求参数的取值范围这一类问题时，最常用的方法是分离参数法，转化成求函数的最值，但在求最值时如果出现“eq\f(0,0)”型的代数式，就没法求其最值．“eq\f(0,0)”型的代数式，是大学数学中的不定式问题，解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则．法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)eq\o(lim,\s\do4(x→a))f(x)＝0及eq\o(lim,\s\do4(x→a))g(x)＝0.(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0.(3)eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A，那么eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(fx,gx)＝eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A．法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)eq\o(lim,\s\do4(x→a))f(x)＝∞及eq\o(lim,\s\do4(x→a))g(x)＝∞.(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0.(3)eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A，那么eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(fx,gx)＝eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A．已知函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)．若对任意x>0都有f(x)>ax成立，求实数a的取值范围．[解析]方法一：令φ(x)＝f(x)－ax＝(x＋1)ln(x＋1)－ax(x>0)，则φ′(x)＝ln(x＋1)＋1－a.∵x>0，∴ln(x＋1)>0.①当1－a≥0，即a≤1时，φ′(x)>0，∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，∴φ(x)>0恒成立，故a≤1满足题意．②当1－a<0，即a>1时，令φ′(x)＝0，得x＝ea－1－1，∴x∈(0，ea－1－1)时，φ′(x)<0；x∈(ea－1－1，＋∞)时，φ′(x)>0，∴φ(x)在(0，ea－1－1)上单调递减，在(ea－1－1，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(ea－1－1)<φ(0)＝0与φ(x)>0恒成立矛盾，故a>1不满足题意．综上有a≤1，故实数a的取值范围是(－∞，1]．方法二：当x∈(0，＋∞)时，(x＋1)ln(x＋1)>ax恒成立，即a<eq\f(x＋1lnx＋1,x)恒成立．令g(x)＝eq\f(x＋1lnx＋1,x)(x>0)．∴g′(x)＝eq\f(x－lnx＋1,x2).令k(x)＝x－ln(x＋1)(x>0)，∴k′(x)＝1－eq\f(1,x＋1)＝eq\f(x,x＋1)>0，∴k(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴k(x)>k(0)＝0，∴x－ln(x＋1)>0恒成立，∴g′(x)>0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递增．由洛必达法则知eq\o(lim,\s\do4(x→0))g(x)＝eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(x＋1lnx＋1,x)＝eq\o(lim,\s\do4(x→0))[ln(x＋1)＋1]＝1，∴a≤1，故实数a的取值范围是(－∞，1]．【变式训练】已知函数f(x)＝x(ex－1)－ax2(a∈R)．(1)若f(x)在x＝－1处有极值，求a的值；(2)当x>0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围．[解析](1)f′(x)＝ex－1＋xex－2ax＝(x＋1)ex－2ax－1，依题意知f′(－1)＝2a－1＝0，∴a＝eq\f(1,2).经检验a＝eq\f(1,2)符合题意．(2)方法一：当x>0时，f(x)≥0，即x(ex－1)－ax2≥0，即ex－1－ax≥0，令φ(x)＝ex－1－ax(x>0)，则φ(x)min≥0，φ′(x)＝ex－a.①当a≤1时，φ′(x)＝ex－a>0，∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴φ(x)>φ(0)＝0，∴a≤1满足条件．②当a>1时，若0<x<lna，则φ′(x)<0，若x>lna，则φ′(x)>0.∴φ(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(lna)＝a－1－alna≥0.令g(a)＝a－1－alna(a>1)，∴g′(a)＝1－(1＋lna)＝－lna<0，∴g(a)在(1，＋∞)上单调递减．∴g(a)<g(1)＝0与g(a)≥0矛盾，故a>1不满足条件，综上，实数a的取值范围是(－∞，1]．方法二：当x>0时，f(x)≥0，即x(ex－1)－ax2≥0，即ex－1－ax≥0，即ax≤ex－1，即a≤eq\f(ex－1,x)恒成立，令h(x)＝eq\f(ex－1,x)(x>0)，∴h′(x)＝eq\f(exx－1＋1,x2)，令k(x)＝ex(x－1)＋1(x>0)，∴k′(x)＝ex·x>0，∴k(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴k(x)>k(0)＝0，∴h′(x)>0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增．由洛必达法则知，