第5章投影与视图（知识归纳题型突破）（原卷版）九年级数学上册单元速记巧练（北师大版）

第5章投影与视图（知识归纳+题型突破）1.在观察、操作、想象等活动中增强对空间物体的把握和理解能力；

2.通过实例了解中心投影与平行投影；

3.会画直棱柱、圆柱、圆锥和球的三种视图；4.能根据三种视图描述简单的几何体.一、投影投影现象物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象.影子所在的平面称为投影面.2.中心投影

手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，这样的光线照射在物体上所形成的投影，称为中心投影.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.

在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.

要点：

光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.

：太阳光线可看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影.相应地，我们会得到两个结论：

①等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.

②等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.

2.物高与影长的关系①在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.②在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.

即：.

利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.

注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.

要点：1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.

2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.4、正投影如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，当平行光线与投影面垂直时，这种投影称为正投影.要点：正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.

二、中心投影与平行投影的区别与联系1.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.

（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.2.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.

（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.

要点：在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.

三、视图

（1）视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图.

（2）三视图

主视图，从左面得到的视图叫做左视图，从上面得到的视图叫做俯视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.

（1）位置关系

一般地，把俯视图画在主视图下面，把左视图画在主视图右面，如图(1)所示.

（2）大小关系

三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.

要点：三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础.画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：

(1)确定主视图的位置，画出主视图；

(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；

(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.

几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线要画成虚线.

要点：画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.

由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.

要点：由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.题型一平行投影【例1】下列光线所形成的投影是平行投影的是（

）A．太阳光线 B．台灯的光线 C．手电筒的光线 D．路灯的光线巩固训练：1．下图中各投影是平行投影的是（

）A． B．C． D．2．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形，若，则（）A．56° B．66° C．72° D．76°题型二中心投影【例2】中心投影的光线是（

）A．平行的 B．从一点发出的 C．不平行的 D．向四面发散的巩固训练：1．当你走在路灯下，越来越接近路灯时，你的影子的长是如何变化（

）A．变长 B．变短 C．不变 D．无法确定2．如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为（

）A． B． C．5 D．6题型三正投影【例3】物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个三角板的正投影不可能是（

）A．一条线段 B．一个与原三角板全等的三角形C．一个等腰三角形 D．一个小圆点巩固训练：1．一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（

）A． B． C． D．2．幻灯机是教师常用的教具之一，它能把精致的图片投到银幕上，如图，在与中，下列结论一定正确的是（

）A．B． C． D．3．如图，一块含角的直角三角形木板，将它的直角顶点放置于直线上，点，点在直线上的正投影分别是点，点，若，，则在直线上的正投影的长是（

）A． B． C． D．题型四视点、视角和盲区【例4】．如图，从点观测建筑物的视角是（

）A． B． C． D．巩固训练：1．如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（）A． B． C． D．四边形2．图1表示正六棱柱形状的高大建筑物，图2中的阴影部分表示该建筑物的俯视图，P、Q、M、N表示小明在地面上的活动区域．小明想同时看到该建筑物的三个侧面，他应在（）A．P区域 B．Q区域 C．M区域 D．N区域题型五三视图【例5】．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（）A． B． C． D．巩固训练：1．如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，从上往下看该立体图形得到的平面图形是（

）A．

B．

C．

D．

2．如图是某组合体的三视图，则该组合体是（

）A．

B．

C．

D．

题型六由三视图求体积和表面积【例6】．如图，一个长方体从正面、上面看到的图形如图所示，则这个长方体的体积等于（

）A．18 B．12 C．9 D．6巩固训练：1．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是（）A． B． C． D．2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（结果保留π）．题型七由三视图判断正方体个数最少或最多问题【例7】．由一些完全相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，组成这个几何体的小正方体的个数最少和最多分别是（

）A．5，10 B．6，10 C．6，9 D．5，9巩固训练：1．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（

）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个2．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体从正面看和从上面看如图所示，则搭成该几何体的小正方体最多是个．题型八投影与视图综合解答题【例8】．下列物体是由六个小正方体搭成的，分别画出从正面、左面、上面看到的立体图形的形状．巩固训练：1．由小立方体堆成的某几何体的俯视图如图所示，其中正方形内的数字表示该位置小方块的个数，请你画出该几何体的主视图和左视图．2．阳光明媚的天，实践课上，亮亮准备用所学的知识测量教学楼前一座假山AB的高度，如图，亮亮在地面上的点F处，眼睛贴地观察，看到假山顶端A、教学楼顶端C在一条直线上．此时他起身在F处站直，发现自己的影子末端和教学楼的影子末端恰好重合于点G处，测得米，亮亮的身高EF为1.6米．假山的底部B处因有花园围栏，无法到达，但经询问和进行部分测量后得知，米，点D、B、F、G在一条直线上，，，，已知教学楼的高度为16米，请你求出假山的高度．3．某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1．(1)由三视图可知，密封纸盒的形状是______________；(2)根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；(3)请你根据图1中的数据，计算这个密封纸盒的侧面积．4．甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼高16米．当地中午12时，物高与影长的比是．(1)如图1，当地中午12时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距的长为_________米．(2)当地下午14时，物高与影长的比是．如图2，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子的长．5．通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．(1)【画图操作】如图①，三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图所示．请在图中画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长（不写画法）；(2)【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图像大致为________；A．

B．

C．

D．

(3)【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度．6．（1）一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，如图是从上面看这个几何体的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图．（2）用小立方块搭一几何体，使它从正面看，从左面看，从上面看得到的图形如图所示．请在从上面看到的图形的小正方形中填人相应的数