小学数学基于度量的统一性 深度理解面积意义

【摘

要】“面积的认识”是“图形与几何”领域重要的教学内容，它作为“面积”单元的起始内容，为学生学习平面图形的面积计算奠定了知识基础。教师基于对教材内容和学情的分析，提出“面积的认识”的教学要处理好三方面问题：一是量什么？二是用什么量？三是怎么量？通过“直观感知、多重比较、基于统一、回归本源”等教学过程，引导学生全面感知度量方法，理解面积意义，全面提升量感素养。【关键词】面积意义；度量；量感“面积的认识”是“图形与几何”领域一个重要的教学内容，它作为“面积”单元的起始内容，为学生学习平面图形的面积计算奠定了知识基础。教学这一内容，教师需要从学生身边熟悉的情境入手，引导学生借助身边的事物、图形等直观感知“面”的概念和“面”的大小，形成面积概念。同时，要让学生经历从定性认识（直观比较“面”的大小）到定量认识（度量）的过程，逐步学会用度量的方法刻画“面”的大小，从而促进其空间观念从一维的线的长度（周长）发展到二维的面的大小（面积）。本文尝试通过对现行不同版本教材的比较分析和学生前概念的认知调查，探索一条基于度量的统一性来深度理解面积意义的学习路径。一、分析教材，把握教学关键《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）指出：“图形的面积教学要让学生在熟悉的情境中，直观感知面积的概念，经历选择面积单位进行测量的过程，理解面积的意义，形成量感。”为更好地把握面积概念，笔者对人教版、北师大版和苏教版三个版本教材进行了比较，发现它们均将“面积的认识”这一内容安排在三年级下册，但在面积概念呈现、度量素材、比较方法和度量对象上存在一定差异（如表1）。首先，在面积概念的表述上，人教版和苏教版教材均使用具体物体表面（如黑板面、数学书封面）的大小进行定义，北师大版教材则采用抽象的数学定义。三个版本教材都是以直观形象的事物为基础，引导学生通过观察、实验、操作、想象等活动，描述物体（图形）的面积，做到操作活动与语言表达相结合，从而建立面积概念。其次，三个版本教材均由比较两个长方形的面积大小引入，激发学生认识面积单位的需求。但在选取度量素材时，人教版教材采用3种图形（圆、正三角形、正方形）作为面积单位进行测量，以使学生理解引入面积单位的必要性，包括为什么要有单位和用什么图形作面积单位两方面。北师大版和苏教版教材则直接使用摆方块或数方格的方法进行度量。再次，在比较方法的选择上，三个版本教材都采用了观察法、重叠法和度量法来比较两个长方形的面积大小，以帮助学生从不同角度、不同层次把握面积的含义。最后，在度量对象上，北师大版教材（4×4与3×5）与苏教版教材（3×5与2×8）提供的两个长方形的面积相差1个单位面积，与人教版教材（2×5与3×4）提供的两个长方形的面积相差2个单位面积，学生用观察法和重叠法都较难判断出面积的大小，所以需要引导学生“选用一种图形作单位来测量”，体现了学生对面积单位的需求。综上所述，要让学生理解面积意义，教师需要引导学生基于生活经验，强化对物体、图形等表面（包括正面、侧面、曲面等）的理解，经历多个图形表面的认知过程，深化对面积的认识，抽象出面积意义；采用多种方法比较图形的面积大小，感受采用面积单位的必要性；在选用不同单位面积进行度量的过程中，进一步理解面积意义，形成丰富表象。二、探知学情，确定教学基调为全面准确地了解学生对面积意义的认知水平，笔者对学生进行了一次前概念的调查与分析。（一）调查对象及方法笔者在两所城镇小学各选取两个三年级班级的学生为调查对象，以书面前测卷的形式展开调查，要求学生在15分钟内独立完成。本次调查共发放并回收前测卷156份。（二）调查内容与剖析本调查根据教学内容的重难点拟定了三个层次的题目，旨在了解学生目前对面积概念的认知水平及对“量”的感知程度。前测题1：你听说过面积吗？在哪里听说过？请举一些例子。本题旨在调查学生对“面积”一词的了解情况，考查学生对“面积”一词的认识来源，初步了解学生的认知基础。调查结果如表2所示。从表2中可以看出，近90％的学生在不同场合听说过“面积”一词。进一步分析学生的答题情况，发现他们大多是略闻其词、不解其意（如图1）。因此，教师教学时要引导学生通过观察、触摸、比较等方法，感知身边物体的表面的大小，帮助学生理解面积的含义，感受面积与生活的紧密联系，发展形象思维。前测题2：请用自己的话说一说什么是面积。本题通过引导学生用自己的话描述“面积”，调查他们对面积意义的表征情况，进而了解他们对面积意义的理解程度。调查结果如表3所示。从表3中可以看出，能较为准确地定义面積意义，或用大小、面来描述面积的学生约占58.3%。而在学生存在的错误认知中，有25%的学生是把面积当成了周长。因此，教师在教学时须注意引导学生将动作表征与语言表征结合起来，一边用手比画，一边用语言描述物体表面的面积，通过多样化的动手实践活动，增强对面积的直观感知，避免与周长概念产生混淆。前测题3：用涂一涂的方法画3个不同的图形，使它们的大小均为6个小方格。本题旨在调查学生对统一面积单位的表征能力，了解学生是否具备用多种方式表征大小为6个小方格的图形的能力。调查结果显示，大多数学生能表示大小为6个小方格的长方形，只有少数学生能表示大小为6个小方格的其他图形（如图2）。因此，教师教学时要充分借助度量的方法，让学生在经历测量图形面积的过程中感悟面的大小，学会用数值来刻画面积的大小，体会面积单位的价值，感悟面积与面积单位之间的关系。基于上述对教材和学情的分析可知，“面积的认识”的学习须处理好三方面的问题：一是量什么？即度量的对象（黑板面、课桌面、书本封面等）。二是用什么量？即对面积单位的选择要经历从非标准单位到标准单位的过程。三是怎么量？即面积单位要铺满所度量的对象。三、教学实践，彰显度量价值2022年版课标指出，发展量感要明确度量的意义，能够理解统一度量单位的必要性，会针对真实情境选择合适的度量单位进行度量。本内容的教学应着重体现以下目标：通过实践操作理解面积的意义，从多元视角全面感知度量方法，在亲身体验中感受统一度量标准的必要性，从而全面提升量感素养。（一）直观感知，初步理解面积意义教师出示两本不同的数学书（如图3），提问：“仔细观察这两本不同时期的数学书，你有什么发现？”学生通过观察，发现这两本书的封面有大小。接着，组织学生寻找生活中的面（黑板表面、课桌表面、文具盒表面、长方形纸片和正方形纸片，如图4），引导他们通过观察、触摸、互相介绍等方法充分感知什么是面，并比较这些面的大小。在上述活动的基础上，揭示“物体的表面或封闭图形的大小就是它们的面积”这一面积的含义。在上述教学过程中，学生在已有知识经验和现有认知水平的基础上，利用直观感知明确了两本数学书的封面，懂得了什么是面，知道了面是有大小之分的。同时，通过看、摸、比生活中的面等活动，初步建立面积概念，形成一定的量感。（二）多重比较，深入研究面积意义教师组织学生讨论图4中哪个面的面积最大，哪个面的面积最小。学生发现，当物体表面差异较大时，可以通过观察直接得出谁的面积大、谁的面积小。接着，引导学生重点比较长方形（5×3）与正方形（4×4）的面积大小。【教学片段1】生1：长方形与正方形的面积大小不能通过观察直接比较出来。生2：可以把这两个图形叠起来进行比较，看看哪个图形的面积大。师：现在请大家拿出学具，按生2的方法进行比较，看看是否能比较出大小。（让学生借助学具，用重叠的方法进行操作活动）生3：我重叠这两个图形后，发现每个图形都多出了一部分，还是不能比较出它们的面积大小。生4：如果把多出来的部分剪下来继续比较，是不是就能比较出它们的面积大小了？最后，教师组织学生采用剪拼的方法比较两个图形的大小，引导学生发现：通过两次剪拼，可以得出正方形的面积比长方形的面积大（如图5）。通过这一教学过程，学生认识到在比较两个面积相近的图形时，可以采用观察法、重叠法和剪拼法，但这些方法都存在一定的局限性。这激发了学生认识面积单位的需求，也促使学生采用间接比较的方法，理解引入面积单位的必要性。（三）基于统一，科学刻画面积意义上述教学环节，学生通过采用多种方法进行比较，发现它们存在局限性，这促使他们寻找一个更好的方法来比较面积的大小。经过全班讨论，学生提出可以借助其他图形进行度量，根据单位面积的多少来比较面积的大小。教师组织学生以小组为单位，分别用树叶、圆片、正三角形、小正方形对长方形和正方形的面积进行度量。【教学片段2】生：我们组采用相同大小的树叶来摆放这两个图形，发现摆满正方形用了16片树叶，摆满长方形用了15片树叶，可以得出正方形的面积比长方形的面积大的结论。生：我们组采用圆片进行测量，发现摆满正方形、长方形分别需要16个和15个圆片，可以得出正方形的面积比长方形的面积大的结论。生：我们组用正三角形来摆放，发现摆满正方形用了28个正三角形，摆满长方形用了27个正三角形，也得出正方形的面积比长方形的面积大的结论，但操作的时候很麻烦。师：你们在用树叶、圆片、正三角形摆放时发现了什么问题？生：用这三种图形进行测量均会出现空白部分，所以在比较两个图形的大小时，不仅要比较铺的个数，还要考虑空白部分。……生：我们组采用小正方形来铺这两个图形，铺满正方形、长方形分别用了16个和15个小正方形，得出正方形的面积比长方形的面积大了1个小正方形的结论。（教师出示图6中的四幅度量图，引导学生讨论：用小正方形作为单位面积进行度量的合理性和用其他单位面积进行度量的可行性）生：我发现当用圆片去铺这两个图形时，正方形的面积比长方形的面积多了中间的1个空白部分。生：如果在前三幅图中都画上小正方形，就会发现每一个用来测量的图形用小正方形铺满的样子都是一样的，它们都可以用于测量图形，只是会麻烦一点。师：是啊，用小正方形去铺图形就不会有缝隙，这样的方法在数学上叫作密铺，它能更直观、方便地比较出两个图形的面积大小。这一教学过程，教师为学生提供丰富的素材（树叶、圆片、正三角形、小正方形）作为“面积尺”，让学生通过用不同的单位面积进行度量，感受度量对象的面积是由单位面积累加而成的；同时，在度量的过程中理解确定的相同材料都可以作为度量单位，但在实际度量时需要对度量单位进行统一，从而深度刻画面积的意义。（四）回歸本源，统一面积单位的必要性众所周知，不同物体（图形）表面的度量最终均统一采用“1平方厘米、1平方分米、1平方米”等面积单位。教师组织学生以小正方形（面积为1×1）为度量单位测量长方形和正方形的面积，可以让学生认识到，为了获得统一的度量结果，需采用相同的度量工具和统一的面积单位。以小正方形作为单位面积，有助于学生体验面