2023届北京朝阳陈经纶高考数学全真模拟密押卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知meR,复数4=1+3，，z2=m+2i,且z1•'为实数，则加=()

2

C.3D.-3

3

•X

2.已知x,y&R,则“x<y”是“一<1”的()

y

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

则二的最小值为(

3.抛物线y2=4x的焦点为尸,点P(x,y)为该抛物线上的动点，若点A(-1,0),)

PA

172C.苴D.2夜

A.-B.—

2223

4.设(l+i)a=l+初，其中”，〃是实数，则|。+2叫=()

A.1B.2C.73D.V5

5.若集合A={x[-l<x<0},B=—<0k则AU8=()

6.已知函数/(x)=lnx,g(x)=(2加+3)x+〃，若Vxe(0,+oo)总有/(x)«g(x)恒成立.记(2根+3)〃的最小值

为F(m,n),则的最大值为()

A.1

7.已知定义在R上的函数/(为=2『训一1(，”为实数)为偶函数，记0=/。08().53)"=/(睡25),。=/(2+附

则a,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<hD.c<h<a

8.在AABC中，。，dc分别为NAN&NC所对的边，f(x)=-x3+bx2+(a2+c2-ac)x

+1有极值点，则E8的范围是（）

呜

7171

3,71

9.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五

类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2

111

--1

A.2B.3D.5

10.已知双曲线C:W■-1=1（。＞0力＞0）的一条渐近线经过圆E-.x2+y2+2x-4y=0的圆心，则双曲线C的离

心率为（）

A.手B.75C.V2

D.2

2

11.双曲线V一v匕=1的渐近线方程为（）

2

A.y=±xB.y=±犬C.y=±y/2xD.y=±y/3x

2

，x+y-2《0

2x-y+320

12.设实数”满足条件I贝卜+y+i的最大值为（

)

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设aeR,若函数y="+有大于零的极值点，则实数。的取值范围是

14.已知x,）'为正实数，且D+2x+4y=41,则x+y的最小值为.

15.已知/(x)=x|x|,则满足f(2x-l)+/(x)N0的x的取值范围为.

16.正四面体A8CD的一个顶点A是圆柱。4上底面的圆心，另外三个顶点BCD圆柱下底面的圆周上，记正四面体

ABC。的体积为匕，圆柱。4的体积为匕，则?的值是.

*2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知数列｛%｝,｛a｝满足％=34=1,%+「2a“=24-加，4+]—4=%--+1.

(D求数列&｝,也｝的通项公式；

(2)分别求数列｛4｝，也｝的前〃项和S,,T„.

18.(12分)设函数/(x)=|x+3],g(x)=|2x-l|.

(1)解不等式/(x)<g(x)；

(2)若2/(x)+g(x)>"+4对任意的实数x恒成立，求。的取值范围.

19.(12分)如图所示的几何体中，面底面ABCO,四边形ADE户为正方形，四边形ABCO为梯形，

7F

AB//CD,NBAD=—，AB=AD=2CD=4,G为BF中点.

2

(1)证明：CG〃面ADEb；

(2)求二面角A—8/一C的余弦值.

20.(12分)已知函数/(x)=|x+a|+|2x-5|(a>0).

(1)当a=2时，解不等式f(x)25；

(2)当xe[a,2a-2]时，不等式/(尤)4|x+4|恒成立，求实数。的取值范围.

21.(12分)已知函数/(x)=ar-lnx-l(aeH).

(1)讨论/(x)的单调性并指出相应单调区间；

13

⑵若g(x)=]x2-x-l-/(x),设百,々(％<工2)是函数g(x)的两个极值点，若且g(xj-g(w)2z恒

成立，求实数A的取值范围.

22.(10分)已知函数/(x)=e*一办2.

(1)若〃=1,证明：当xNO时，/(^)>1；

(2)若/(%)在(0,+x>)只有一个零点，求”的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

把马=加-2，和马=1+3『代入z「'再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m值.

【详解】

2

因为z-4=(l+3i)(加一2i)=(m+6)+(3m-2)i为实数，所以加一2=0,解得机=§.

【点睛】

本题考查复数的概念，考查运算求解能力.

2.D

【解析】

xx

x<y,不能得到一<i,二<1成立也不能推出X<>,即可得到答案.

【详解】

因为X,y&R,

jx

当x<y时，不妨取x=—1,y=—9—=2>1,

“2y

x

故无<y时，一<1不成立，

y

X

当一<1时，不妨取x=2,y=-l,则x<y不成立,

y

x

综上可知，“％<y”是“一<1”的既不充分也不必要条件，

y

故选：D

【点睛】

本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.

3.B

【解析】

通过抛物线的定义，转化PF=PN,要使篇有最小值，只需NAPN最大即可，作出切线方程即可求出比值的最

小值.

【详解】

解：由题意可知，抛物线y2=4x的准线方程为％=-1,4-1,0),

过P作PN垂直直线x=-l于N,

由抛物线的定义可知PF=PN,连结Q4,当Q4是抛物线的切线时，察j有最小值，则NAPN最大，即NPA/最

IPAI

大，就是直线Q4的斜率最大，

,y=A(x+l)

设在Q4的方程为：y=Ar(x+l),所以。,，

=4%

解得：k2x2+(2k2-^x+k2=Q,

所以A=(2公一4)2—4/=。，解得々=±I,

所以N/V24=45°,

篙=c-当

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题.

4.D

【解析】

根据复数相等，可得。力，然后根据复数模的计算，可得结果.

【详解】

由题可知：(l+i)a=l+初，

即。+出=1+6，所以a=l,b=l

则\a+2bi\=\\+2i\=>/12+22=x/5

故选：D

【点睛】

本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题.

5.A

【解析】

用转化的思想求出B中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可.

【详解】

X

解：由集合8=x--<0,解得8={x[0<x<l},

x-l

贝AU8={x|7^k0}U{^|0<x<l}={x|-l?x<l}=[-1,1)

故选：A.

【点睛】

本题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键.属于基础题.

6.C

【解析】

根据Vxe（0,+8）总有/（x）«g（x）恒成立可构造函数为（x）=Inx—（2加+3）x—〃，求导后分情况讨论/?（x）的最大

值可得最大值最大值〃I-1,|=-In（2根+3）-1-〃，

12机+3J

即一In（2加+3）-1一〃W0.根据题意化简可得（2加+3）〃2（2加+3）［-ln（2加+3）—1］,求得

尸（加,〃）=（2加+3）［—山（2加+3）—1］,再换元求导分析最大值即可.

【详解】

由题，Vxe（0,+oo）总有InxW（26+3）x+〃即Inx-（2m+3）x-〃W0恒成立.

设/z（x）=lnx—（2帆+3）x-〃,贝!|〃（x）的最大值小于等于0.

又〃'（》）=，—（2m+3）,

若2m+3W0则〃'（x）＞0,/i（x）在（0,+。）上单调递增，A（x）无最大值.

若2m+3＞0,则当无＞—!—时“（x）＜0,〃（x）在（丁二,+co］上单调递减，

2M+312机+3）

当0＜X＜£与时，"（X）＞°，〃（x）在［°，茄三］上单调递增.

故在x=213处〃（X）取得最大值力（2〃：+3］=hl+3_1_〃=_m（2/+3）-1—

故一ln（2%+3）—1一〃＜（）,化简得（2/n+3）〃2（2m+3）［-ln（2m+3）-l］.

故F（m,n）=（2m+3）［-ln（2m+3）-l］，令1=2〃z+3,（，＞0）,可令％⑺=T（ln，+l）,

故％'⑺=—lnt—2,当/〉J时，《«）＜（）,左⑺在H+oo］递减；

当（）＜，＜5时，攵«）＞0,左«）在（0,/）递增.

故尸（伏〃）的最大值为

故选：C

【点睛】

本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题，需要根据题意分析导数中参数的范围，再分析函数的最值，进而求导构造

函数求解(2相+3)〃的最大值.属于难题.

7.B

【解析】

根据/(X)为偶函数便可求出,〃=0,从而/(*)=2同-1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断.

【详解】

解：•••/(x)为偶函数；

:,/(-X)=/(X);

.・.2H-司-1=少一对-1；

/•|-x-m\=\x-m|；

(-x-/n)2=(x-机)2；

.\/n=0；

-V(X)=2W-1;

•,./(x)在［0,+oo)上单调递增，并且a=f(|log053|)=f(log23),

&=/(log25),c=f(2)；

V0<log23<2<log25；

:.a<c<b.

故选民

【点睛】

本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间［0,+00)

上，根据单调性去比较函数值大小.

8.D

【解析】

试题分析：由已知可得/'(%)=x2+2bx+(a2+c2-«c)=0有两个不等实根

n△=-4(/+c2-ac)>0=/+<?一。2<ac=>cosB=一"兀)

考点：1、余弦定理；2、函数的极值.

【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑

思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.首先利用转化化归思想将原命题转化为

f\x）^x2+2hx+（a2+c2-ac）=0有两个不等实根，从而可得

.,2.I22\n22>2r1a~+C~一1（兀）

△=4Zr-Ala+c-ac]>Q^>a'+c-h~<ac=>cosB----------<—=>Be;•，兀.

V>2ac213J

9.A

【解析】

列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种，其中2类元素相生的结果有5种，再根据古典概型概率公式

可得结果.

【详解】

金、木、水、火、土任取两类，共有：

金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，

其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果，

所以2类元素相生的概率为3故选A.

102

【点睛】

本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的

关键，基本事件的探求方法有（1）枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；（2）树状图法：适合于较

为复杂的问题中的基本事件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先（同,四），（4,线）….（A，B“）,

再（4，与）.....（4,凡）依次（43避）（演名）““（43，纥）...这样才能避免多写、漏写现象的发生.

10.B

【解析】

求出圆心，代入渐近线方程，找到以人的关系，即可求解.

【详解】

解：£（-1,2）,

1*222卜

C:一一方=1（。>04>0）一条渐近线>=一’工

2=——x(—1),2a=b

c2=a2+b2,c2=a2+（2a）2,e=y/5

故选：B

【点睛】

利用外人的关系求双曲线的离心率，是基础题.

11.C

【解析】

根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程.

【详解】

2

双曲线f一匕=1,

2

•••双曲线的渐近线方程为y=±V2x,

故选：C

【点睛】

本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.

12.C

【解析】

画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.

【详解】

如图所示：画出可行域和目标函数，

z=x+y+1,即y=-x+z-/,z表示直线在j轴的截距加上1,

-1'

xE/

根据图像知，当x+j=2时，且3'J时，z=x+y+/有最大值为3.

故选：£

本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.a＜-\

【解析】

先求导数，求解导数为零的根，结合根的分布求解.

【详解】

因为y=e'+or,所以y'=e'+a,令丁'=。得4=一6、，

因为函数丫=/+姓有大于。的极值点，所以e、＞l，即a=-e、＜-l.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的极值点问题，极值点为导数的变号零点，侧重考查转化化归思想.

14.8

【解析】

-2x+41

由x,)'为正实数，且xy+2x+4y=41,可知xw-4,于是y=-------，可得

x+4

_7v+4149

x+y=x+———=(x+4)+-----6,再利用基本不等式即可得出结果.

x+4x+4

【详解】

解：y为正实数，且J0，+2x+4y=41,可知xhT,

-2x+41

y=

x+4

.-2x+41(人49A、。f~.x49,。

••x+y=xH-------=(x+4)H------622.x+4)-------6=8.

-x+4')x+4Vx+4

当且仅当x=3时取等号.

x+y的最小值为8.

故答案为：8.

【点睛】

本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题.

J、

15.[—,+oo)

【解析】

将/(X)写成分段函数形式，分析得/(X)为奇函数且在R上为增函数，利用奇偶性和单调性解不等式即可得到答案.

【详解】

一[x2,x>0

根据题意，f(X)=x|x|=<，

-x,x<0

则/(x)为奇函数且在R上为增函数，

则f(2x-D+f(x)>0=:/(2x-1)>-f(x)(2x-1)>f(-x)=2x-1>-x,

解可得於即X的取值范围为J,+8)；

33

故答案为：[1，+℃).

【点睛】

本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定以及应用，注意分析/(x)的奇偶性与单调性.

160.------

4万

【解析】

设正四面体的棱长为。，求出底面外接圆的半径与高，代入体积公式求解.

【详解】

解：设正四面体的棱长为“，

则底面积为-xax^a=^a2,底面外接圆的半径为旦a,

43

瓜

—CI-

3

二正四面体的体积V=L旦?x£=也/，

34312

2

丫A/6

圆柱Q4的体积匕=»x——Gax——na-——a37r.

(3J39

V23

则隆平

V,#34)

——na'

9

故答案为：息

4万

【点睛】

本题主要考查多面体与旋转体体积的求法，考查计算能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)a=2"+-+-；h=2"----(2)S=2n+,-2+—+-n；T=2"+'-2----n

"n22n22"4444

【解析】

⑴a“+i+bn+l=2(a“+2)，q+仇=4,可得｛4+々｝为公比为2的等比数列，an+l-bn+l=-勿+1可得｛4-bn｝

为公差为1的等差数列，再算出｛a„+"｝,｛%-d｝的通项公式，解方程组即可;

(2)利用分组求和法解决.

【详解】

+b

«n+in+\=2(4+2)

(1)依题意有《

-=。"一2+1

又4+4=4；4一4=2.

可得数列｛4+2｝为公比为2的等比数列，｛6,-％｝为公差为1的等差数列,

%+d=(q+4)x2'i%+4=2.

由，

.%也=〃+1

〃1

a“=24---1--

"22

解得《

4=2"-'」

22

yy1MI

故数列{%},{2}的通项公式分别为%=2"+5+5；^,=2n----.

⑵s.

1-24244

2(1—2")n(n+l)n_/3

—----------------------------------乙一乙-------------U•

1-24244

【点睛】

本题考查利用递推公式求数列的通项公式以及分组求和法求数列的前，1项和，考查学生的计算能力，是一道中档

题.

2

18.(l)(-oo,--)u(4,+oo)；⑵(—1,4].

【解析】

试题分析：

(1)将绝对值不等式两边平方，化为二次不等式求解.(2)将问题化为分段函数问题，通过分类讨论并根据恒成立问

题的解法求解即可.

试题解析：

(1)由已知,W|x+3|<|2x-l|,

即|x+3『<|2x-l|2.

整理得3/一10尤-8>0,

解得x卜1或,4.

故所求不等式的解集为18,一?"4,+8).

—4x—5,xW—3,

(2)由已知,设/z(x)=2〃x)+g(x)=2|x+3|+|2x-l|=<7,—3<尢v—,

2

4x+5,x25.

①当工<—3时，只需一41一5>依+4恒成立,

即-4不一9,

*/x<-3<0,

—4-x—9.9卜一卡一

/.a>---------=-4—怛成乂.

xx

U,>—1,

②当-3<"g时，只需7)©+4恒成立,

即依-3V0恒成立.

一3。—3W0

只需1,

-a-3<0

12

解得一1<。<6.

③当1时，只需4x+5>ox+4恒成立，

-2

即依v4x+l.

*/x>—>0,

2

a<4"+1=4+!恒成立.

xx

•.•4+，>4,且无限趋近于4,

X

<4.

综上。的取值范围是(-1,4].

19.(1)见解析；(2)-

3

【解析】

(1)取A尸的中点”，结合三角形中位线和长度关系，CDHG为平行四边形，进而得到CG〃印)，根据线面平行判定

定理可证得结论；

(2)以AB,AD,AE为x,y,z轴建立空间直角坐标系，分别求得两面的法向量，求得法向量夹角的余弦值；根据

二面角为锐角确定最终二面角的余弦值；

【详解】

(1)取A/的中点，，连结G”，HD

因为G为B/中点，AB//CD,AB=2CD,

所以GH//CD,G”=CD,...CDHG为平行四边形,

斫以CG//HD,

又因为"Du面4)防，CG(Z面AOEV

所以CG〃面ADEE；

(2)由题及(1)易知A3,AD,两两垂直，

所以以AB,AD,Af为x,>,z轴建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),3(4,0,0),0(0,4,0),尸(0,0,4),C(2,4,0),BF=(-4,0,4),FC=(2,4,-4)

易知面45尸的法向量为)=(0,1,0)

设面ABF的法向量为%=(x,y,z)

ii-BF=-4x+4z=0

则《7—

n2•FC=2x+4y—4z=0

可得〃2

1

2=1

所以cos(〃i,〃2)=

MI~xr5,

如图可知二面角A—BE—C为锐角，所以余弦值为！

3

【点睛】

本题考查立体几何中直线与平面平行关系的证明、空间向量法求解二面角，正确求解法向量是解题的关键，属于中档题.

Q13

20.(1){x|x—}；(2)(2,-^-J.

【解析】

(D分类讨论去绝对值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.(2)先得到。的取值范围，判断尤+a,X+4为正,

去掉绝对值，转化为|2x—5|44—a在2a—2]时恒成立，得到aV4,a-4<2x-5<4-a,在2a—2]

恒成立，从而得到。的取值范围.

【详解】

3—3x,xv—2

(1)当a=2时，/(x)=|x+2|+|2x—5]=<7—x,-2<x«一,

2

co5

3x—3,x>一

2

x<—2

/、「x<—2

由小"5,得x<-2

IJ-JX2□

—2KxW——2<x<—

或彳2,即：2,-2<x<2

1-x>5x<2

3x—325x—

3

Q

综上：工工2或工2—,

3

Q

所以不等式y(x)>5的解集为{xIX<2或X2]}.

(2)/(%)<|x+4|,/(x)=|x+rz|+|2x—5|<|x+4|,

因为xe[a,2a-2],2a-2>a,

所以a〉2,

又xe[a,2a-2],x+a>0,x+4>0,

得x+a+12.x—5|Wx+4.

不等式恒成立，即|2x-5|W4-a在xe[a,2a-2]时恒成立,

不等式恒成立必须a44,a-4<2x-5<4-a9

解得a+l<2x<9-a.

2a>a+\

所以《

4a—4W9-a

解得1WaW—)

结合2＜aV4,

13

所以2＜。《不，

(13

即。的取值范围为2,不

【点睛】

本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题.属于中档题.

21.(1)答案见解析(2)(―oo,3—21n2

【解析】

HY—1

(1)先对函数进行求导得(。)=——，对。分成。＜0和。＞0两种情况讨论，从而得到相应的单调区间；

X

(2)对函数g(x)求导得g'(x)='Ta+l)x+l,从而有百+々=。+1,工区=1，％,，三个方程中利用^＞|

xx\2

得到0＜玉wJ.将不等式g(西)-g(与)2Z的左边转化成关于*的函数，再构造新函数利用导数研究函数的最小值,

从而得到上的取值范围.

【详解】

解：(1)由/(x)=ax-lnx-l,xe(0,+oo),

、1ax-\

贝!l/(x)=a——=----，

xx

当时，贝！J/(x)WO,故/(x)在(0,+8)上单调递减;

当a＞0时，令/'(x)=0nx='，

a

所以f(X)在上单调递减，在上单调递增.

综上所述：当时，.f(x)在(0,+8)上单调递减;

当。＞0时，”幻在(0,，上单调递减，在+8］上单调递增.

kCl

(2)g(x)=lnx+；x2一(Q+I)X,

“、1,八x~—(a+l)x+1

g'(x)=-+x—(a+l)=——-——-——，

XX

由g'(x)=。得/一(。+1)工+1=0,

"+々=。+1,%”］，

x\

1、5

x+—>—

・•4>2•x,21

［解得0〈玉

2

0<%<—

王

•••g(xj_g(x2)=ln：+；(x；一¥)一(。+1)(玉—工2)=2111玉一1.21

5-%7

设/z(x)=21nx--^fx,2OK；,

一任可

贝"力(了)=2一1一］<0,

XX'x3

.•.力⑴在星

上单调递减;

当玉=；时，