数学建模+建立统计模型进行预测+高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

建立统计模型进行预测册别：选择性必修第三册学科：高中数学（人教A版）背景背景PM2.5是指一种悬浮于大气中的直径小于等于2.5μm的细颗粒物。颗粒物的成分很复杂，主要取决于其来源，主要有自然源和人为源两种。其浓度的高低直接影响空气质量和气候环境，过高浓度甚至危害人类健康。近年来，由PM2.5引起的空气污染受到了各级政府、部门及社会各界的关注。问题：影响PM2.5浓度的因素有哪些？因素分

析汽车尾气风速风速较大时，可以降低PM2.5浓度；反之，PM2.5容易积聚。湿度湿度高有利于水汽凝结，形成云雾和降水，从而降低PM2.5浓度；削弱部分太阳辐射，影响气温。气温近地面气温较高时，大气对流作用加剧，可以降低PM2.5浓度；反之，大气出现逆温层时，PM2.5不易扩散。背景汽车尾气排放量增加，会使PM2.5浓度提升。背景为了定量研究PM2.5是否收到汽车流量、气候状况等因素的影响。我们选择了24个社会经济发展水平相近的城市，在每个城市选择一个交通点建立监测点，统计每个监测点24h内过往的汽车流量（单位：千辆），同时在低空相同的高度测定每个监测点该时间段的平均气温（单位：℃）、风速（单位：m/s）、空气湿度（绝对湿度，单位：g/m3）以及空气中PM2.5的平均浓度（单位：μg/m3），得到的数据如下表所示。背景城市编号汽车流量平均气温空气湿度风速PM2.5浓度城市编号汽车流量平均气温空气湿度风速PM2.5浓度11.320800.4566130.94822.56923521.44423570.576141.4421.5792.45830.78626.5641.521151.08428.55932941.65223840.4170161.8442673114051.75629.5720.9156171.11635922.84361.75430760.8120181.65620831.456971.222.5691.872191.53623571.58781.521.8770.6120200.9624.8671.54591.227581.7100211.78423.3830.9222101.47627650.65129221.49627650.65145111.8222830.4135231.0626581.8334121.4362868299241.43628682105提出问题影响PM2.5浓度的因素很多，原因也比较复杂。本课先考虑PM2.5浓度与汽车流量的关系。我们可以以汽车流量为自变量，PM2.5浓度为因变量，采用回归分析的方法进行研究。提出问题（1）浓度与汽车流量之间是否存在线性相关关系?如何来推断？（2）如果浓度与汽车流量之间存在线性相关关系，如何建立线性回归方程来刻画这种关系？（3）所建立的线性回归方程是否有效？它的可靠性如何？用什么方法来判断？（4）如何利用建立的数学模型帮助决策，以达成研究的目标？回归结果分析建立回归模型绘制散点图模型的应用绘制散点图建立线性回归方程一元线性回归模型根据样本数据，利用最小二乘法对模型参数a,b进行估计，得到经验回归模型.建立线性回归方程回归结果分析（1）回归系数估计由

，说明PM2.5浓度随着汽车流量的增加而增加，汽车流量每增加100辆，空气中的PM2.5浓度平均可能增加13.86μg/m3.回归结果分析（1）回归系数估计汽车流量对应的

t值（tvalue）是检验回归系数

b是否为0的指标.由

和

可知，

汽车流量是影响PM2.5浓度的一个显著性因素.回归结果分析（2）线性关系显著性检验F统计量（F-statistic）是检验两变量相关关系显著性的指标.p值

，表明PM2.5浓度与汽车流量的线性关系是显著的.可以认为PM2.5浓度与汽车流量之间的回归方程具有统计学意义.回归结果分析（3）决定系数和调整的决定系数R2数值的大小反映了自变量对回归的贡献，也就是在因变量的总变异中回归关系所能解释的百分比.决定系数也反映了回归模型的拟合效果.调整的决定系数

，说明PM2.5浓度总变异的65.76%与汽车流量有关.模型的应用我国规定空气中PM2.5浓度的安全标准为24h平均浓度75μg/m3.当汽车流量为1300辆，即x=1.3时，

，说明PM2.5浓度在安全标准附近；当汽车流量为2300辆，即x=2.3时，

，说明PM2.5浓度严重超标，需要预警和采取措施进行干预.要使PM2.5浓度的平均值控制在60~120，24h的汽车流量就要控制在1152~1585辆.PM2.5浓度了解背景知识，明确分析目的，确定获得数据方法观测数据（样本）收集数据统计描述统计模型统计推断分析数据课堂小结建立统计模型进行预测（第二课时）册别：选择性必修第三册学科：高中数学（人教A版）主讲教师：吴功尧建立统计模型进行预测（第二课时）学校：浙江省义乌中学册别：选择性必修3学科：高中数学（人教A版）回顾PM2.5浓度了解背景知识，明确分析目的，确定获得数据方法观测数据（样本）收集数据统计描述统计模型统计推断分析数据本节课研究影响PM2.5浓度的多个因素（汽车流量、气温、空气湿度、风速）与PM2.5浓度的回归模型。提出问题(1)影响PM2.5浓度的各因素之间是否独立，这些因素的选择是否合理；(2)PM2.5浓度受到多个因素的影响，能否采用多元线性回归模型进行预测或控制，使分析更加客观和精确。绘制散点图一元线性回归模型一元线性回归模型回归结果分析Coefficients:EstimateStd.ErrortvaluePr(>|t|)(Intercept)152.4717.168.8859.91e-09风速-42.2611.02-3.8340.000903Residualstandarderror:40.55on22degreesoffreedomMultipleR-squared:0.4005,AdjustedR-squared:0.3733F-statistic:14.7on1and22DF,p-value:0.0009034多元线性回归模型多元线性回归模型在R软件的工作区域输入“fit1=lm(PM2.5浓度~汽车流量+平均气温+空气湿度+风速,w)”，建立多元回归方程并进行相关分析.回归结果分析Coefficients:EstimateStd.ErrortvaluePr(>|t|)(Intercept)-103.483565.5654-1.578

0.130996汽车流量109.653026.05454.2090.000476平均气温2.64361.80231.4670.158789空气湿度0.11190.65490.1710.866192风速-22.197410.2498-2.1660.043268Residualstandarderror:28.58on19degreesoffreedomMultipleR-squared:0.7428,AdjustedR-squared:0.6886F-statistic:13.72on4and19DF,p-value:2.015e-05回归结果分析残差图多元线性回归模型在进行多因素回归时，为了得到简洁有效的模型，我们会做变量筛选（模型选择）。常用的统计学筛选方法有逐步回归（向前法、后退法、向前后退混合法）以及全子集回归（All-SubsetsRegression，AllPossibleRegression）。全子集回归可以对所有预测变量的可能组合模型都拟合一下，然后根据某标准（如R2、校正的R2、MSE、Cp、AIC、SBIC等）筛选出现有变量条件下的最佳模型，又叫最优子集筛选（BestSubsetSelection）。多元线性回归模型在R软件的工作区域输入“library(car)”，“library(leaps)”载入工具包，再输入“model1=regsubsets(PM2.5浓度~汽车流量+平均气温+空气湿度+风速,w)”进行全子集回归.此处我们根据校正的R2筛选出现有变量条件下的最佳模型。多元线性回归模型回归结果分析Coefficients:EstimateStd.ErrortvaluePr(>|t|)(Intercept)-97.75054.936-1.779

0.090388汽车流量111.37523.4354.7520.000122平均气温2.6241.7551.4960.150329风速-21.9899.927-2.2150.0385