四川省成都市安仁中学高三数学理联考试卷含解析

四川省成都市安仁中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线l：x﹣y=1与圆Γ：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆Γ上运动，且位于直线l的两侧，则四边形ABCD面积的最大值为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】先求出弦长|AB|的长度，然后结合圆与直线的位置关系图象，然后将ABCD的面积看成两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，分析可得当BD为AC的垂直平分线时，四边形ABCD的面积最大．【解答】解：把圆Γ：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0化为标准方程：（x﹣1）2+（y+1）2=3，圆心（1，﹣1），半径r=．直线与圆相交，由点到直线的距离公式的弦心距d==，由勾股定理的半弦长==，所以弦长|AB|=2×=．又B，D两点在圆上，并且位于直线l的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，如图所示，当B，D为如图所示位置，即BD为弦AC的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为：S=×|AB|×|CE|+×|AB|×|DE|===．故选：A．【点评】本题涉及到圆与位置关系的题目，可采用数形结合思想，实现代数和几何间的转化，然后分析题目具体问题，求解即可，属于中档题2.给出下列关于互不相同的直线、、和平面、的四个命题：①若，，点，则与不共面；②若、是异面直线，，，且，，则；③若，，，则；④若，，，，，则，

其中为真命题的是A．①③④

B．②③④

C．①②④

D．①②③

参考答案：C3.若且函数在处有极值，则的最大值等于A．121

B．144

C．72

D．80参考答案：C4.在ΔABC中，已知A=120°，，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C5.设向量，满足||=2，在方向上的投影为1，若存在实数λ，使得与﹣λ垂直，则λ=（） A． B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】利用向量投影的意义可得，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出． 【解答】解：∵向量，满足||=2，在方向上的投影为1， ∴==2×1=2． ∵存在实数λ，使得与﹣λ垂直， ∴==0， ∴22﹣2λ=0， 解得λ=2． 故选：C． 【点评】本题考查了向量投影的意义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题． 6.《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早1千年，在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该鳖臑的外接球的表面积为（）A．200π B．50π C．100π D．π参考答案：B【考点】LR：球内接多面体；L7：简单空间图形的三视图．【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体，也外接与球，它的对角线的长为球的直径：=5该三棱锥的外接球的表面积为：=50π，故选B．7.已知函数的部分图象如图所示，，则下列判断正确的是（

）A．函数的最小正周期为4B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象关于点对称D．函数的图象向左平移2个单位得到一个偶函数的图象参考答案：Cf(0)=cosφ=cos2,φ=2,故f(x)=cos(ωx－2),由图象可知f(1)=cos(ω－2)=1,ω=2+.故f(x)=cos[(2+)x－2].由于ω≠故最小正周期不为4,排除A选项.将x=6π－1代入验证可知B选项错误.将点(+1,0)代入验证可知C选项正确.故选C.

8.若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=，c=elnx，则a，b，c的大小关系为(

) A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c参考答案：B考点：有理数指数幂的化简求值；对数值大小的比较．专题：计算题．分析：依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得a＜0，b＞1，＜c＜1，从而可得答案．解答： 解：∵x∈（e﹣1，1），a=lnx∴a∈（﹣1，0），即a＜0；又y=为减函数，∴b=＞==1，即b＞1；又c=elnx=x∈（e﹣1，1），∴b＞c＞a．故选B．点评：本题考查有理数指数幂的化简求值，考查对数值大小的比较，掌握对数函数与指数函数的性质是关键，属于中档题．9.如图，程序框图所进行的求和运算是

A．

B．

C．

D．参考答案：A10.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为(

)

A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：B第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，，此时满足条件，输出，选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

若，则＝．参考答案：答案：

12.已知双曲线﹣y2=1(a＞0)的一条渐近线方程为y+2x=0，则a=．参考答案：

【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程，真假求解即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为y+2x=0，则a=．故答案为：．13.已知数列是递增的等比数列,,则数列的前5项和等于_________参考答案：3114.直线l：x+λy+2﹣3λ=0（λ∈R）恒过定点

，P（1，1）到该直线的距离最大值为．参考答案：（﹣2，3），．【考点】过两条直线交点的直线系方程．【分析】直线l：x+λy+2﹣3λ=0（λ∈R）即λ（y﹣3）+x+2=0，令，解出可得直线l恒过定点Q（﹣2，3），P（1，1）到该直线的距离最大值=|PQ|．【解答】解：直线l：x+λy+2﹣3λ=0（λ∈R）即λ（y﹣3）+x+2=0，令，解得x=﹣2，y=3．∴直线l恒过定点Q（﹣2，3），P（1，1）到该直线的距离最大值=|PQ|==．故答案为：（﹣2，3），．【点评】本题考查了直线系方程的应用、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.若，则=

，=

.参考答案：1，1；16.已知e为自然对数的底数，若曲线e在点处的切线斜率为

.参考答案：

17.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余的7个分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：

，则该图中x的值为_____．参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数，.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若在区间（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）. （1分）①当，即时，因为当时，；当时，；

（2分）所以在上单调递减，在上单调递增.

（3分）②当，即时，因为当时，，故在上单调递增.

（4分）综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为.

（5分）（Ⅱ）在上存在一点，使得，即，

（6分）也就是在上存在一点，使得，即函数在上的最小值小于零.

（7分）由（Ⅰ）可知：①当，即时，在上单调递减，所以的最小值为，由，可得.因为，所以；

（8分）②当，即时，在上单调递增，所以最小值为，由，可得；

（9分）③当，即时，可得最小值为，

（10分）因为，所以，故，此时，不成立.

（11分）综上讨论可得所求的范围是：.

（12分）19.已知函数f（x）=.，且=（sinωx+cosωx，cosωx），=（cosωx﹣sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若函数f（x）相邻两对称轴的距离大于等于．（1）求ω的取值范围；（2）在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，当ω最大时，f（A）=1，且a=，求c+b的取值范围．参考答案：【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（1）根据二倍角公式和和差角公式（辅助角公式），化简函数解析式为正弦型函数的形式，进而结合相邻两对称轴的距离大于等于．可得f（x）的最小正周期，求出ω的取值范围；（2）由正弦定理可得b=2sinB，c=2sinC，再由B，C的关系，求得B的范围，结合两角和的正弦公式，以及正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=?=cos2ωx﹣sin2ωx+2sinωxcosωx=cos2ωx+sin2ωx=2（cos2ωx+sin2ωx）=2sin（2ωx+），由题意得≥，即T≥π，又∵ω＞0，∴≥π，∴0＜ω≤1；（2）当ω最大时，即有ω=1，f（x）=2sin（2x+），∵f（A）=2sin（2A+）=1，∴sin（2A+）=，∵0＜A＜，∴2A+∈（，），2A+=，∴A=，由正弦定理可得====2，则b=2sinB，c=2sinC，b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin（﹣B）=cosB+3sinB=2sin（B+），在锐角三角形ABC中，0，0＜，即有0＜﹣B＜，可得＜B＜，可得＜B+＜，＜sin（B+）≤1，即有3＜2sin（B+）≤2，则b+c的取值范围是（3，2]．20.已知多面体ABCDEF如图所示，其中ABCD为矩形，△DAE为等腰等腰三角形，DA⊥AE，四边形AEFB为梯形，且AE∥BF，∠ABF=90°，AB=BF=2AE=2．（1）若G为线段DF的中点，求证：EG∥平面ABCD；（2）线段DF上是否存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于？若存在，请指出点N的位置；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）以B为原点，BA，BF，BC分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ABCD的一个法向量，通过，推出，即可证明EG∥平面ABCD．（2）当点N与点D重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于．理由如下：直线BN与平面FCD所成角的余弦值为，即直线BN与平面FCD所成角的正弦值为，求出平面FCD的法向量，设线段FD上存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的正弦值等于，设，通过向量的数量积，转化求解λ，推出当N点与D点重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值为．【解答】解：（1）证明：因为DA⊥AE，DA⊥AB，AB∩AE=A，故DA⊥平面ABFE，故CB⊥平面ABFE，以B为原点，BA，BF，BC分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则F（0，2，0），D（2，0，1），，E（2，1，0），C（0，0，1），所以，易知平面ABCD的一个法向量，所以，所以，又EG?平面ABCD，所以EG∥平面ABCD．（2）当点N与点D重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于．理由如下：直线BN与平面FCD所成角的余弦值为，即直线BN与平面FCD所成角的正弦值为，因为，设平面FCD的法向量为，由，得，取y1=1得平面FCD的一个法向量假设线段FD上存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的正弦值等于，设，则，，所以，所以9λ2﹣8λ﹣1=0，解得λ=1或（舍去）因此，线段DF上存在一点N，当N点与D点重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值为．21.已知抛物线E：y2=4x，设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且?=（其中O为坐标原点）（Ⅰ）求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标；（Ⅱ）过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．参考答案：【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】（Ⅰ）设出直线AB的方程，联立直线与抛物线方程，利用数量积为0，求出k，化简直线方程推出直线必过定点，并求出该定点Q的坐标；（Ⅱ）利用韦达定理以及弦长公式，表示出三角形的面积，通过换元法，利用函数的单调性求