浙江省宁波市镇海中学高三上学期期末数学试题（原卷版）

镇海中学2023学年第一学期期末考试高三数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卷上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.，，则（）A. B.C D.2.函数零点所在区间为（）A. B. C. D.3.设函数（，），则函数单调性（）A.与有关，且与有关 B.与无关，且与有关C与有关，且与无关 D.与无关，且与无关4.已知等差数列，则是成立的（）条件A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要5.已知直线a，m，n，l，且m，n为异面直线，平面，平面．若l满足，，则下列说法中正确的是（）A. B.C.若，则 D.6.已知是单位向量，且它们的夹角是.若，且，则（）A.2 B. C.2或 D.3或7.函数在上的图象大致为（）A. B.C. D.8.设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（）A.12 B.24 C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，，则下列结论正确的有（）A. B. C. D.10.已知，的定义域为R，且（），，若为奇函数，则（）A.关于对称 B.为奇函数C. D.偶函数11.已知为坐标原点，曲线：，，为曲线上动点，则（）A.曲线关于y轴对称 B.曲线的图象具有3条对称轴C. D.的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，角的对边分别为，已知．则角______.13.镇海中学举办大观红楼知识竞赛，该比赛为擂台赛，挑战者向守擂者提出挑战，两人轮流答题，直至一方答不出或答错，则另一方自动获胜，挑战者先答题，守擂者和挑战者每次答对问题的概率都是，每次答题互相独立，则挑战者最终获胜的概率为______.14.在四面体中，，若，则四面体体积的最大值是__________，它的外接球表面积的最小值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角的对边分别为，向量，且．（1）求；（2）若的外接圆半径为2，且，求的面积．16.已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）若数列为递增数列，求实数k的取值范围；17.某款游戏预推出一项皮肤抽卡活动，玩家每次抽卡需要花费10元，现有以下两种方案．方案一：没有保底机制，每次抽卡抽中新皮肤的概率为；方案二：每次抽卡抽中新皮肤的概率为，若连续99次未抽中，则第100次必中新皮肤．已知，玩家按照一、二两种方案进行抽卡，首次抽中新皮肤时的累计花费为X，Y（元）．（1）求X，Y的分布列；（2）求；（3）若，根据花费的均值从游戏策划角度选择收益较高的方案．（参考数据：．）18.已知椭圆C：（，）的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为（）的直线l与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方），的周长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）互相垂直．①若，求三棱锥的体积，②若，异面直线和所成角的余弦值；③是否存在（），使得折叠后的周长为与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．19.在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点