2021届黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)

试卷第=page22页，总=sectionpages44页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat6页2021届黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】集合与集合求交集可得答案.【详解】，，．故选：A．2．设是虚数单位，则复数对应的点在平面内位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】计算出复数即可得出结果.【详解】由于，对应的点的坐标为，在第一象限，故选：A.3．（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用二倍角的正弦公式求解.【详解】.故选：A【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题.4．已知直线：与圆：相交于，两点，则弦的长度为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出圆心与半径，再求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出，进而解决问题．【详解】解：由题设条件知：圆心坐标为，半径，又圆心到直线的距离，．故选：C．5．已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列判断不正确的是（）A．若，，则.B．若，都与相交且，则直线，，共面.C．若，，，则.D．若，，两两相交，且交于同一点，则直线，，共面.【答案】D【分析】对A选项，利用直线与平面垂直的定义判断；对B选项，利用平面的基本性质判断；对C选项利用直线与平面垂直的性质推理判断；对D选项，举符合条件的例子判断.【详解】对于选项A：因，，由直线垂直于平面定义知，，选项A正确；对于选项B：因，则m，n确定平面，又，都与相交，不妨令，则，所以，即直线，，共面，选项B正确；对于C选项：令相交直线a，b在平面内，且，因，则m⊥a，m⊥b，又，必有n⊥a，n⊥b，所以，而，故有，选项C正确；对于选项D：正方体的共顶点的三条棱所在直线，符合题设条件，而这三条直线却不共面，选项D错误.故选：D6．已知数列的前项和满足，则（）A．72 B．96 C．108 D．126【答案】B【分析】利用与的关系，结合题意可得数列是以3为首项，公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式即可得解.【详解】当时，，解得，当时，即，所以数列是以3为首项，公比为的等比数列，所以.故选：B.7．某空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）

A．2 B． C． D．【答案】D【分析】由三视图可知该几何体一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，利用柱体体积公式计算出几何体的体积.【详解】根据三视图可知几何体是一个放倒的直三棱柱，如图所示：

底面是以，为直角边的直角三角形，三棱柱的高为，∴几何体的体积，故选：D.8．已知向量，，，，则的值为（）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】由垂直得数量积为0，用数量积的坐标表示计算可得值．【详解】由已知，因为，所以，解得或，又，所以不合题意舍去，所以．故选：C．9．日晷是我国古代按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，如此周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（）A．白露比立秋的晷长长两尺 B．大寒的晷长为一丈五寸C．处暑和谷雨两个节气的晷长相同 D．立春的晷长比立秋的晷长长【答案】B【分析】不妨将每一个节气晷长排成一列，组成数列，则有为等差数列，夏至晷长为，冬至晷长为，这样求出通项即可判断每一个选项.【详解】由题意，将每一个节气晷长排成一列，组成数列，则有为等差数列，夏至晷长为，冬至晷长为，则有，解得.对选项A，白露、立秋分别对应的为、，所以白露比立秋的晷长寸，即两尺，故A正确；对选项B，由图可知大寒比冬至的晷长要小两个，所以大寒的晷长为寸，即一丈一尺五寸，故B错误；对选项C，由图可知，处暑和谷雨的晷长相同，故C正确；对选项D，可得立春的晷长为寸，立秋的晷长为.故选：B.10．函数的部分图象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】判断函数的奇偶性，求特殊函数值的正负，以及值域，逐一排除选项.【详解】因为，所以函数是奇函数，故排除D选项；又，故排除B选项；又，故排除C选项；所以A符合条件，故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.11．设，为椭圆与双曲线的公共焦点，，分别为左､右焦点，与在第一象限的交点为.若是以线段为底边的等腰三角形，且双曲线的离心率，则椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据双曲线和椭圆的定义建立半焦距与长半轴长和实半轴长的关系，再利用双曲线的离心率范围可得椭圆离心率范围．【详解】设椭圆长轴长为2，双曲线实轴长为，焦点为，，则，又，所以，即，又，所以椭圆的离心率为．故选：C．12．若指数函数与函数的图象恰有三个不同的交点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由图象易知在第二象限有一个交点，第一象限有两个交点，构造函数，研究两个曲线的交点个数即可.【详解】由图象易知，当时，函数与函数的图象有一个交点，故当时，函数与函数的图象有两个交点，

由可得，即，设，，易知在上单调递增，在上单调递减，且时，的最大值为，∴，即故选：A【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题13．“十三五”期间，中国有5575万农村贫困人口实现脱贫，为防止返贫，继续巩固脱贫成果，进一步推进乡村振兴，市扶贫办在乡镇的2个脱贫村与乡镇的4个脱贫村中，随机抽取两个村进一步实施产业帮扶，则抽取的两个脱贫村来自同一乡镇的概率为___________.【答案】【分析】这是一个古典概型，先计算从，乡镇的6个脱贫村中，随机抽取两个村的方法数，再计算抽取的两个脱贫村来自同一乡镇的方法数，代入公式求解.【详解】从乡镇的2个脱贫村为与乡镇的4个脱贫村中，随机抽取两个村共有种方法，抽取的两个脱贫村来自同一乡镇有种方法，所以抽取的两个脱贫村来自同一乡镇的概率为故答案为：14．某机构一年需购买消毒液300吨，每次购买吨，每次运费为3万元，一年的总存储费用为万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是___________.【答案】15【分析】表示出一年的总运费与总存储费用之和，再运用基本不等式可求得答案．【详解】一年的总运费与总存储费用之和为，当且仅当，即时等号成立．故答案为：15.【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．15．定义在上的函数满足，当时，，则函数的图象与的图象的交点个数为___________.【答案】7【分析】由题设可知的周期为2，结合已知区间的解析式及，可得两函数图象，即知图象交点个数.【详解】由题意知：的周期为2，当时，，∴、的图象如下：即与共有7个交点，故答案为：7.【点睛】结论点睛：有的周期为.16．已知抛物线，圆与轴相切，斜率为的直线过抛物线的焦点与抛物线交于，两点，与圆交于，两点(，两点在轴的同一侧)，若，，则的取值范围为___________.【答案】【分析】先求出，然后设出直线，让直线与抛物线联立，再根据向量之间的关系及韦达定理求出，再利用抛物线的定义及条件建立等式，再转化为不等式求解即可.【详解】由圆的方程可知，其圆心坐标为，当圆与轴相切可知，得，所以抛物线的焦点坐标为，抛物线方程为，设斜率为的直线方程为，设，直线与抛物线联立，，得，所以①，②所以，，而，则有，，所以③，由①，③解得，代入②有，变形得，因为，所以，所以，变形得，解得.故答案为：.【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是先求出抛物线方程，二是运用抛物线的定义，三是解不等式.三、解答题17．在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题.在中，内角，，的对边长分别为，，，且___________.（1）求角的大小；（2）若是锐角三角形，且，求的取值范围.(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.【分析】（1）选①，由正弦定理化角为边，然后由余弦定理求得角，选②，由余弦定理化角为边，整理后由余弦定理求得角；（2）确定角范围，利用正弦定理把用角表示，结合三角函数知识得其范围．【详解】解：（1）选条件①.因为，所以，根据正弦定理得，，由余弦定理得，，因为是的内角，所以.选条件②，因为，由余弦定理，整理得，由余弦定理得，，因为是的内角，所以.（2）因为，为锐角三角形，所以，解得.在中，，所以，即，由可得，，所以，所以.【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形，解题关键是正弦定理和余弦定理进行边角转化，得出边的关系后由余弦定理求得角．18．随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨.为拉动消费，某市政府分批发行2亿元政府消费券.为了解政府消费券使用人群的年龄结构情况，在发行完第一批政府消费券后，该市政府采用随机抽样的方法在全市市民中随机抽取了200人，对是否使用过政府消费券的情况进行调查，部分结果如下表所示，其中年龄在45岁及以下的人数占样本总数的，没使用过政府消费券的人数占样本总数的.使用过政府消费券没使用过政府消费券总计45岁及以下9045岁以上总计200（1）请将题中表格补充完整，并判断是否有的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关？（2）为配合政府消费券的宣传，现需该市45岁及以下的3位市民参与线上访谈.用随机抽样的方法从该市45岁及以下市民中每次抽取1人，共抽取3次，每次抽取的结果相互独立.记抽取的3人中“没使用过政府消费券”的人数为，以样本频率作为概率，求随机变量的分布列和数学期望.附：，其中.0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.024【答案】（1）表格答案见解析，有的把握认为该市市民民是否使用政府消费券与年龄有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：.【分析】（1）求出年龄在45岁及以下的人数，没使用过政府消费券的人数，再由列联表中数据可填写列联表，然后计算可得结论；（2）抽取1人，没使用政府消费券的频率为，所以，由二项分布可得概率，得分布列，由二项分布期望公式得数学期望．【详解】解：（1）由题意得，总人数为200人，年龄在45岁及以下的人数为人，没使用过政府消费券的人数为人，完成表格如下：使用过政府消费券没使用过政府消费券总计45岁及以下903012045岁以上503080总计14060200由列联表可知，因为，所以有的把握认为该市市民民是否使用政府消费券与年龄有关.（2）由题意可知，从该市45岁及以下的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，没使用政府消费券的频率为，所以，的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为：0123所以.【点睛】思路点睛：本题考查独立性检验，考查的计算与应用，考查二项分布及期望．解题关键一是数据分析，由已知条件确定列联表中的数据，二是确定随机变量服从二项分布．19．如图所示，正方体中，点在棱上运动，为的中点.（1）若为中点，求证：平面；（2）若，求当为何值时，二面角的平面角的余弦值为.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点，连接、、，证明出四边形为平行四边形，可得，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法可得出关于实数的等式，结合求出的值，即可得出结论.【详解】（1）取的中点，连接、、，因为四边形为正方形，则且，因为、分别为、的中点，所以，且，则四边形为平行四边形，可得且，同理可证四边形为平行四边形，则且，因为且，所以，且，所以，四边形为平行四边形，且，所以，且，所以，四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，因此，平面；（2）以为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，即，取，则，，故，又，即，取，，，故，设二面角的平面角为，则，整理得，可化简为，因为，解得，所以当时，二面角的平面角的余弦值为.【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.20．已知椭圆：的长轴长为4，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）点，分别为椭圆的左､右焦点，若过点的直线交椭圆于，两点，过点的直线交椭圆于，两点，且，求的最小值.【答案】（1）；（2）最小值为.【分析】（1）由长轴长得的值，由离心率可得的值，进而可得椭圆的方程；（2）当斜率为0和斜率不存在时，，设方程为，联立直线与椭圆的方程，通过弦长公式结合韦达定理可得，同理可得，结合基本不等式可得结果.【详解】（1）因为椭圆的长轴长为4，所以，即.又因为椭圆的离心率为，∴，即，所以，所以椭圆的方程为.（2）当斜率为0时，，，，同理，当斜率不存在时，也有.当斜率存在且不为0时，设斜率为，则方程为，设，，联立得，易知，且，，由弦长公式得，，设，，因为，所以直线的斜率为，所以，所以，，因为，当且仅当即时取“”，所以，显然，所以的最小值为，此时.【点睛】关键点点睛：通过弦长公式以及韦达定理得的长，对运算能力的要求较高，用代替求得的长是解题的关键.21．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设，点，为曲线上两个不同的点，且.若存在，使曲线在点处的切线与直线平行，证明：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先求导，然后分类讨论即可；（2）用分析法证明，先根据条件得到，要证明，即证.【详解】（1）由题意得，当时，因为，由得，解得；由得，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.当时，因为，由得，解得；由得，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.所以，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（2）证明：由题意知，直线的斜率，又因为，，所以，因为，所以.故.因为，所以，，，整理可得，即，令，则，欲证成立，等价于证明成立，即证：，，令函数，，则，，所以在上为单调递增函数，所以，即成立，所以.【点睛】关键点睛：对于含参的单调性的讨论的关键是找好分类的标准，本题的第二问的关键是将