人教版高中数学选修（1-1）-2

选修1-1

2.3.2抛物线的简单几何性质

（名师:张远建）

一、教学目标

1.核心素养

发展直观想象、逻辑推理、数学建模、数据分析素养

2.学习目标

（1）能借助抛物线的几何图形与标准方程理解抛物线的简单几何性质

（2）能用坐标法解决一些与抛物线有关的几何问题，如判断直线与抛物线的位

置关系以及定值、最值问题

3.学习重点

抛物线的简单几何性质

4.学习难点

用坐标法解决一些与抛物线有关的几何问题.

二、教学设计

（-）课前设计

L预习任务

任务1预习教材”。-4,，思考直线与抛物线的位置关系有哪些？

任务2完成儿的练习

2.预习自测

1.过点（1,2）且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有（）

A.1条

B.2条

C.3条

D.4条

答案：B

解析：考查抛物线的简单几何性质

2.过抛物线>2=2px(p>0)的焦点作一•条直线交抛物线于A(X[,y)、B(x2,y2),

则里k为()

xtx2

A.4

B.-4

C.p2

D.-p2

答案：B

解析：考查抛物线的简单几何性质

3.过抛物线=4x的焦点/作直线交抛物线于A(%，x)、以马,上)两点.若

玉+马=6,则|.

答案：8

解析：考查抛物线的简单几何性质

(二)课堂设计

1.知识回顾

关于抛物线的标准方程：

①〃的几何意义：焦参数〃是焦点到准线的距离，所以〃恒为正数.

②方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定

抛物线的开口方向.

③焦点的非零坐标是一次项系数的点

2.问题探究

问题探究一抛物线的简单几何性质

1.抛物线y2=2px(p>0)有哪些简单几何性质呢？

⑴对称性：以一〉代〉，方程y2=2px(p>0)不变，因此这条抛物线是以工轴为

对称轴的轴对称图形.

抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，抛物线只有一条对称轴.

(2)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的项点.

(3)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的

离心率，

(4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为主

(5)范围：由y2=2pxN0,p>0知xNO,所以抛物线在y轴的右侧；当x的值增大

时，回也_增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，P值越大，它开

口越开阔

2.直线与抛物线的位置关系：相离、相切、相交.

(1)直线的斜率存在时，设直线y=^+加与抛物线y2=2px(p>0)相交于

4(王，乂)，8(々,％)两点，将>=区+机代入丁=2px(p>0),消去y并化简，得

k2x2+2(mk-p)x+nr=0

①当％=0时，直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，直线与抛物线只有

一个公共点.

②当％*0时，八〉。。直线与抛物线相交。直线与抛物线有两个公共点;

A=0o直线与抛物线相切=直线与抛物线有且只有一个公共点

△<0O直线与抛物线相离o直线与抛物线无公共点

(2)直线的斜率不存在时，设直线/：工=加，抛物线：V=2px(p>0),显然

当初<0时，直线与抛物线相离，无交点；当机=0时，直线与抛物线相切，

有一个交点；当相>0时，直线与抛物线相交，有两个交点.

(3)过抛物线焦点的直线与抛物线相交，被抛物线所截得的线段，称为抛物线

的焦点弦.

(4)通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴的直线交抛物线于A、8两点，线段AB

称为抛物线的通径，通径|AB|的长等于2P

(5)抛物线上的点到焦点的距离，叫做焦半径，当V=2pM?〉0)时，抛物线上

的点的坐标尸(斤,%),焦点则焦半径归曰=%+々.

问题探究二用坐标法解决一些与抛物线有关的几何问题

例1.已知抛物线的方程为V=2x,直线/的方程为丁=履+1(467?),当女为何值

时，直线/与抛物线只有一个公共点;有两个公共点；没有公共点.

【知识点：抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，一元次方程的解讨论;

数学思想：数形结合，分类讨论】

v2=2r

详解：<=>k2x2+(2A:—2)x+l=0

y=kx+i

1.当k=0时,-2x+1=0,则x=L此时直线与抛物线只有一个公共点；

2

2%#0时,八=4(4-1)2-4攵2=0,则攵=1,直线与抛物线只有一个公共点；

2

3当左丰0时,且攵力0,直线与抛物线有两个公共点；

2

4火。0时,△<()=%>L直线与抛物线没有交点.

2

例2.已知过抛物线V=4x的焦点厂的弦长为36,求此弦所在的直线的方程

【知识点：抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，一元次方程的解讨论;

数学思想：数形结合】

详解：•.•过焦点的的弦长为36,...弦所在的直线的斜率不为0

设直线为y=Z(x-1),与抛物线的交点坐标为4芯,必),B(x2,y2)

y=—

y2=4x,则有后2V-(2女2+4)x+Z?=0(%#0)=>M

k

=|AF|+|BF|=玉+马+2=2k+2=36

k

.•/=±也，所求直线的方程为y=±也(x-1)

44

例3.求过抛物线V=2px(p>0)的焦点F的弦长的最小值.

【知识点：抛物线的定义，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系；数学

思想：数形结合】

详解一：如图，设抛物线丁=2a（〃>0）的焦点弦的两个端点为

A（/X）、6（々,%）并设焦点弦所在直线方程为x町'+5①，于是有

x}-my}+y,x2-my2+—,将①代入y?=2px,

得y2_2pmy-p2=0

所以M+%=2pm,X%=一厂•

因为（M-必丫=（%+乂）2-4乂、2=4p2（"+l）.

所以I=J（w）2+（y->2）2=荷（乂一%）2+（必一%>=2p"+1）

所以I阴N2p,故当加=0,即过焦点的弦垂直于X轴时，它的长度最小，其最

小值为2P.

详解二：如图所示，设焦点弦43的中点为E,分别过A作准线/的垂线,

垂足为由抛物线定义知|A£>|=|AF|,忸C|=|BF|,所以

\AB\=\AF\+\BF\=\AD\+\BC\=2\EH\

由图可知耳，当且仅当与x轴垂直时，|"E|=|GE|,即

ML=2g=2p.

点拔：解法一运用了弦长公式；解法二运用了抛物线的几何意义，由此题我们

可以得出一个结论：过抛物线焦点的所有弦中，通径最短（当过焦点的弦垂直于x

轴时，此弦为抛物线的通径)，但值得注意的是，若弦长小于通径，则此弦不可

能过焦点.

例4.设P是抛物线＞2=4x上的一个动点，尸为抛物线焦点.

⑴求点P到点A(-l,l)的距离与点尸到直线x=-1的距离之和的最小值；

⑵若5(3,2),求|啊+|尸耳的最小值.

【知识点：抛物线的定义，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系；数学

详解：(1)如图，易知抛物线的焦点为尸(1,0),准线方程是x=-l,由抛物线的

定义知：点P到直线x=T的距离等于点P到焦点厂的距离.于是，问题转化为:

在曲线上求一点P,使点P到点A(-l,l)的距离与点P到尸(1,0)的距离之和最

小.显然，连AE交抛物线于尸点，故最小值为屈了=石.

(2)如图把点8的横坐标代入V=4x中，得y=±J历＞2,所以8在抛物线内部,

自8作8。垂直准线于。，交抛物线于外

此时，由抛物线定义知：

山Q|=山可.那么|冏+|尸盟2出却+山口=|以2|=3+1=4

即最小值为4.

例5.已知抛物线=2x.

(1)设点A的坐标为[jo],求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离

(2)在抛物线上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短，并求出距离的最

小值.

【知识点：点到直线的距离，抛物线的定义，抛物线的几何性质，直线与抛物线

的位置关系；数学思想：数形结合，函数的思想】

详解：⑴设抛物线上任一点P(x,y)，

、22

221

则陷2x——+/=x——+2x=XH—

3733

7

Vx>0,且在此区间上函数单调递增，故当x=0时，|附|.=±，故距点A最

IImin3

近的点的坐标为(0,0).

(2)解法一：设点尸(%,%))是V=2x上任一点,

则P至U直线x—y+3=0的星巨离为d

~"72~~272

当先=1时，%=品=乎,

二点户的坐标为

解法二：设与直线x-y+3=0平行的抛物线的切线为x-y+f=0,与丁=2》联

立，消去x,得/一2>+2f=0,由A=0,得f=g，此时y=l,x=g，二尸［；,11，

两平行线间的距离就是点尸到直线的最小距离，即4面=签.

点拔：有关抛物线的最值问题，主要有两种解决思路：一是利用抛物线的定义,

将到焦点的距离与到准线的距离相互转化，用几何意义解决，二是利用抛物线的

标准方程，进行消元代换，获得有关距离的函数关系式，转化为目标函数最值解

决.

例6.已知A4OB是一个顶点为抛物线J/=2x的顶点O,A,B两点都在抛物线上,

且NAOB=90"

（1）求证：直线AB必过一定点

（2）求AAOB面积最小值

【知识点：抛物线的定义，直线的方程，抛物线的几何性质，直线与抛物线的

位置关系，判别式与违达定理；数学思想：数形结合】

详解：（1）解法一：直线。4斜率存在且不为0,设。4所在直线方程为

y=kx（k*0）,

OB所在直线方程为y^--x

y=0

同理8（2公,-2幻，则直线的方程为y+2Z=Y--------（x-2公）

2c,2

L2k

即y=;-72X~\一■729过定点（2,0）

\-k1一匕

解法二：设直线为〃q=x+〃，4>],必）,3（工2，%）

22

,=>y-2my+2n=0,=>y1y2-2n,A=4m-8〃>0.

丁=2x

2

=n+2〃=0,=>n=-2

2X2

uuruiBi

QOA±OB,/.OA-OB=x]x2+y{y2=0,且4w0

二直线为冲=%-2过定点（2,0）.

（2）设A3直线方程为了=冲+2,4（不％）,8（%2，%）

x=股+2

<

22

y=2xz=>y-2my-4=0=^>yxy2=2m,yx4-y2=-4

IM-%I=5/（乂+%）2-4M%=2〃2+4

=>SAAOB=3|。叩弘一%|=；,2-2〃2+4

当，〃=0,S*B的面积取得最小值4.

3.课堂总结

【知识梳理】

（1）焦半径抛物线上一点与焦点/连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一

点4（%%）,则四种标准方程形式下的焦半径公式为

标准y2=-2pxx2=-2py

y2=2px(p>0)x1=2py(p>0)

方程(〃>。)(p>0)

焦半径

AFxAF\AF\=^-y

ll=f-oll=>'o+f0

同

（2）焦点弦问题如图所示：AB是抛物线y2=2px（p>0））过焦点E的一条弦，

设A&,y）、A8的中点/小,%），抛物线的准线为/.

①以AB为直径的圆必与准线/相切；

②|AB|=2（x°+5）（焦点弦长与中点关系）；

③+x2+p；

2

2

④4B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即yty2=-P.

【重点难点突破】

（1）抛物线与椭圆、双曲线的重要区别是：只有一个焦点、一个顶点、一条对

称轴和一条准线，没有中心和渐近线.

（2）为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上

动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论.

（3）要注意根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离

相互转化.

（4）在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，

将位置关系问题转化为方程根的问题.

（5）p表示焦点到准线的距离，〃>0,〃值越大，抛物线的开口越宽；p值越小,

抛物线的开口越窄.

4.课堂检测

1.抛物线y=-£的准线方程是（）

8

A.x=—

32

B.y=2

C・x=—

4

D.y=4

答案：B

【知识点：抛物线的几何性质】

2.已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（6,-26），

求它的方程（）

A./=-旦.

2

B.y2=-^-x

2

C./=-旦

4-

D.x1=-\[3y

答案：A

解析：【知识点：抛物线的几何性质】

3.已知抛物线的顶点在原点，准线与其平行线x=2的距离为3,求抛物线的方

程.

答案：见解析

解析：【知识点：抛物线的标准方程，抛物线的几何性质】

与直线x=2的距离为3的平行直线有两条，即：x=-l和x=5.

设抛物线的方程为：/=如，则一'=一1,或-'=5,.•.m=4或机=一20.

44

故所求抛物线的方程为V=4x或丁=_20x.

（三）课后作业

基础型自在突破

1.已知P（8,a）在抛物线V=4px上，且P到焦点的距离为10,则焦点到准线的

距离为（）

A.2

B.4

C.8

D.16

答案：B

解析：【知识点：抛物线的几何性质】

2.过抛物线V=8x的焦点，作倾斜角为45。的直线，则被抛物线截得的弦长为

（）

A.8

B.16

C.32

D.61

答案：B

解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系】

3.过点（0,2）且与抛物线>2=2。％（〃>0）只有一个公共点的直线有（）

A.1条

B.2条

C.3条

D.4条

答案：C

解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系】

4.已知点P是抛物线y2=-8x上一点，设P到此抛物线准线的距离是4,到直

线x+y-10=0的距离是4，则4+4的最小值是（）

A.6

B.273

C.672

D.3

答案：C

解析：【知识点：抛物线的定义及几何性质】

5.过抛物线＞2=4x的焦点的直线交抛物线于4B两点。为坐标原点，则函•丽

的值是（）

A.12

B.-12

C.3

D.-3

答案：D

解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，平面向量的数量积】

设4仔,X

，则砺=

/2（、22

则砺•砺\＞2陪+小

又•.,AB过焦点，则有弘乂=-2？=~4，

/.OAOB=^^-+y.y,=^i--4=-3故选D.

161216

6.若直线2x+y+m=0与抛物线y2=-iox恰有两个交点，那么实数机的取值范

围是.

答案：m＞~

4

解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，一元二次方程的解，二元二次方程

的解】

能力型师生共研

7.已知抛物线C：V=4x的焦点为/，准线为/,过抛物线。上的点A作准线/的

垂线，垂足为M,若A/M与A4。尸（其中。为坐标原点）的面积之比为3:1,

则点A的坐标为（）

A.（2,2⑹

B.（2,-2V2）

C.（2,±72）

D.（2,±272）

答案：D

解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，三角形的面积】

如图，由题意可得，|O耳=1,由抛物线定义得，\AF\=\AM\,

,/AAMF与AAOF(其中0为坐标原点)的面积之比为3:1,

0x|AF|x|/lM|xsinAMAF

...-------------------------=3

SAAOF-x|(9F|x|AF|xsin(^-ZMAF)

/2\2

：.\AM\^3,设A迎，y0，，"+1=3,

I4)4

解得％=±2夜,；.¥=2，

...点A的坐标是(2,±2及)，故选D.

8.若P点在抛物线寸=》上，点。在圆(x—3)2+y2=i上，则|PQ|的最小值为

答案：姮-1

2

解析：【知识点：抛物线的标准方程；数学思想：数形结合】

9.过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于45两点，若43在抛物线的准线上

的射影是4、B,,则乙41rBi=.

答案：90°

解析：【知识点：抛物线的定义及几何性质；数学思想：数形结合】

探究型多维突破

10.已知点A（2,0）,3（4,0）,动点P在抛物线丁=-4x上运动，则A户户取得最

小值时的点P的坐标是.

答案：（0,0）

解析：【知识点：抛物线的定义及几何性质，平面向量的数量积，函数的最小值;

数学思想：数形结合】

/2\

设尸工,y，则而=

(2\2\2s

22

APBP=--2,y一^■一4,y+y=-^-+-y+8>8,当且仅当y=0时取等

、4>

号，此时点尸的坐标为（0,0）.

11.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，准线过椭圆匕+f=1的焦点,

1652

求抛物线的方程.

答案：见解析

解析：【知识点：抛物线的标准方程，抛物线的几何性质，椭圆的几何性质】

由椭圆方程可求椭圆的焦点坐标，又抛物线的准线过椭圆焦点，可求参数p.

椭圆mil=1的焦点在P轴上，焦点坐标为（0,-6）,（0,6）.

故抛物线的准线方程为y=-6或丁=6.

当准线方程为丁=-6时，设抛物线方程为丁=2刀（〃>0）,则p=12,所求抛

物线的方程为f=24y；

当准线方程为y=6时，设抛物线方程为％2=_2刀（/?>0）,则〃=12,所求抛物

线的方程为无2=—24y.

故所求抛物线的方程为/=24y或f=_24y

12.已知过抛物线丁=2〃4〃>0）的焦点的直线交抛物线于A、8两点，且

\AB\=^p,求AB所在的直线方程.

答案：见解析

解析：【知识点：抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦，

弦长公式，判别式与违达定理；数学思想：数形结合】

解法1：焦点喑,0）,设A（x，x）、6伍,%），^ABVOx,则网=2”法

所以直线43的斜率存在，设为k,则直线A8的方程为广小-9（心0）.

由“=氏。一万］，消去工,整理得公9_20,_切2=0

y2=2px

由韦达定理得，y+y=—,yy=~P2-

]2kx2

M网=Ji+.E-%|=卜国（%+丫2丫-4yi%=2p0+2）=|P

解得4=±2.

，AB所在直线方程为y=21无一夕]或y=——

解法2：如图所示,

抛物线V=2px（p>0）的准线为尤=-々，A（x，y）、B（x2,y2）,设A、8到准线

的距离分别为4,4，由抛物线的定义知，|4尸|=4=%+多|即|=4=/+§

于是|4同=工1+X2+p=—p,x{+X2

当玉=々时，|AM=2p<mp,直线A8与Qx不垂直.

设直线AB的方程为y=70）

\y=k[x.P}

由,I2J得公了2一〃（攵2+2卜+-攵2P2=0.

y2=2px4

…，（丁）=争解得％=包

，直线AB的方程为y=2（x/]或尸一2上一号

（四）自助餐

1.直线产依+2交抛物线＞2=8x于A、B两点,若A8中点的横坐标为2,则女

=（）

A.2或一2

B.-1

C.2

D.3

答案：C

解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系】

2.已知直线/与抛物线V=8无交于A、B两点，且/经过抛物线的焦点EA点

的坐标为（8,8）,则线段AB的中点到准线的距离是（）

、25

A.——

4

D.25

答案：A

解析：【知识点：抛物线的定义及几何性质】

3.抛物线V=2px与直线如+y-4=0的一个交点是（1,2）,则抛物线的焦点到该

直线的距离是（）

3A/3

A.

275

B.丁

775

C.

lo-

V17

D.F

答案：B

解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系】

22

4.双曲线土-匕=l(〃z"O)离心率为2,有一个焦点与抛物线>2=4x的焦点重

mn

合，则相〃的值为()

3

A.

16

3

B.

8

16

C.

T

8

D.

3

答案：A

解析：【知识点：抛物线的几何性质，双曲线的标准方程】

5.设抛物线V=8%的焦点为产，准线为/,p为抛物线上一点，/%_L/,A为垂足.如

果直线AE的斜率为-百，那么归目=()

A.4百

B.8

C.86

D.16

答案：B

解析：【知识点：直线倾斜角与斜率，抛物线的定义及几何性质】

6.等腰直角三角形AOB内接于抛物线V=2px(p>0),。为抛物线的顶点,

0A10B,则AAOB的面积是（）

A.8P2

B.4P2

C.2P2

D.p1

答案：B

解析：【知识点：三角形的面积，抛物线的定义及几何性质】

7.抛物线,=以2（4>0）与直线y=Ax+仅攵/0）有两个公共点，其横坐标分别

是否、x2.而直线y=与x轴交点的横坐标是X3，则为、Z、£之间的关

系是（）

A.七=玉+X2

11

B.Xy=—I--

C.平3=X\X2+工2工3

D.XX

XtX2=平3+23

答案：D

解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义及几何性质，判别式

与违达定理；数学思想：数形结合】

8.过抛物线V=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标

之和等于5,则这样的直线（）

A.有且仅有一条

B.有且仅有两条

C.有无穷多条

D.不存在

答案：B

解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，判别式与违达定理】

9.过(0,-2)的直线与抛物线丁=8x交于A、B两点，若线段AB的中点的

横坐标为2,则卜.

答案：2岳

解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系】

10.求过点*0,1)且与抛物线y2=2尤只有一个公共点的直线方程.

答案：见解析

解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，判别式与违达定理；数学思想：数

形结合】

(1)若直线斜率不存在，则过点P((),l)的直线方程为x=0,由得即

直线x=0与抛物线只有一个公共点.

⑵若直线的斜率存在，设为k,则过点P(O,1)的直线方程为y=H+l，由方程组

卜\_&+1消去y,得上2/+2(后_］卜+1=().

=2x

1

当人=()时，得工=5

J=1

即直线y=l与抛物线只有一个公共点；

当心0时，直线与抛物线只有一个公共点，则zWgip-4公=0,所以

直线方程为y=」x+l.综上所述，所求直线方程为尤=0或了=1或丫=工/1.

2