广东省汕尾市西南中学高三数学文上学期摸底试题含解析

广东省汕尾市西南中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店75家，小型商店195家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是A

2

B

3

C

5

D13参考答案：C14.已知正方形ABCD的边长为1.记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、.若i,j,k,l∈且i≠j,k≠l，则·的最小值是

.参考答案：-53.设全集U=R，A={x|﹣x2﹣3x＞0}，B={x|x＜﹣1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x＞0} B．{x|﹣3＜x＜﹣1} C．{x|﹣3＜x＜0} D．{x|x＜﹣1}参考答案：B【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由﹣x2﹣3x＞0可求得﹣3＜x＜0，可得A，从而可求得A∩B．【解答】解：∵A={x|﹣x2﹣3x＞0}={x|﹣3＜x＜0}，B={x|x＜﹣1}，图中阴影部分表示的集合为A∩B，∴A∩B={x|﹣3＜x＜﹣1}．故选B．4.给出下列不等式：①a2＋1≥2a；②≥2；③x2＋≥1．其中正确的个数是 （）A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：C5.复数（i是虚数单位），则z在复平面上对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：C略6.已知共线，则圆锥曲线+y2=1的离心率为（）A． B．2 C． D．或2参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，由共线，结合向量平行的可得1×6﹣（﹣2）×（﹣m）=0，解可得m=3，可得该圆锥曲线为椭圆，由椭圆的几何性质可得c的值，由离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，若共线，则有1×6﹣（﹣2）×（﹣m）=0，解可得m=3，则圆锥曲线的方程为：+y2=1，为焦点在x轴上的椭圆，且a=，b=1；则c==，其离心率e===；故选：A．7.．多面体MN-ABCD的底面ABCD为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM的长

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：8.在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n==120，再求出乙、丙都不与甲相邻出场包含的基本事件个数m=++=36，由此能求出乙、丙都不与甲相邻出场的概率．【解答】解：在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，基本事件总数n==120，乙、丙都不与甲相邻出场包含的基本事件个数m=++=36，∴乙、丙都不与甲相邻出场的概率p==．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．9.若实数，满足，且，则称与互补．记，那么是与互补的A.必要而不充分的条件

B.充分而不必要的条件C.充要条件

D.既不充分也不必要的条件参考答案：C10.若方程(x－2cosθ)2+(y－2sinθ)2=1(0≤θ＜2π)的任意一组解(x,y)都满足不等式y≥x，则θ的取值范围是(

)A．[]

B．[]

C.[]

D．[]参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设集合，集合，若,

．参考答案：12.已知实数满足则的最大值是_____

.参考答案：5【考点】线性规划【试题解析】作可行域：

因为目标函数为：所以z的几何意义为：目标函数线纵截距的相反数。

所以当目标函数线过B（3,1）时，13.已知，若，则

。参考答案：-214.设函数,观察:根据以上事实，由归纳推理可得：当且时，

参考答案：15.在极坐标中，已知点为方程所表示的曲线上一动点，点的坐标为，则的最小值为____________．参考答案：16.如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°。若=m+n（m，n∈R），则m+n=

参考答案：3由tanα=7可得sinα=，cosα=，根据向量的分解，易得，即，即，即得，，所以m+n=3.17.（5分）函数y=log2（2x﹣3）的定义域是

．参考答案：（）考点： 对数函数的定义域．专题： 函数的性质及应用．分析： 直接由对数式的真数大于0求得x的取值集合得答案．解答： 由2x﹣3＞0，得x．∴函数y=log2（2x﹣3）的定义域是（）．故答案为：（）．点评： 本题考查了对数型函数的定义域，是基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设，．（1）求证：．（2）求证：．参考答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；【分析】（1）由基本不等式可得到,，，，三个式子相加可得到结论;（2）由,再结合基本不等式证明,进而可得到结论.【详解】证明：（1）因为,所以，，，当且仅当,即时,等号成立.三个式子相加得,,故．（2）由题意,,当且仅当时,等号成立.所以.因为．所以，即．【点睛】本题考查了不等式的证明,考查了基本不等式的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于中档题.19.已知等比数列{an}满足，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式Sn＞kan﹣2对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．参考答案：考点：数列与不等式的综合；数列递推式．3794729专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用等比数列{an}满足，确定数列的公比与首项，即可求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求出Sn，再利用不等式Sn＞kan﹣2，分离参数，求最值，即可求实数k的取值范围．解答：解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，∵，n∈N*，∴a2+a1=9，a3+a2=18，…（2分）∴，…（4分）

又2a1+a1=9，∴a1=3．∴．

…（7分）（Ⅱ），…（9分）∴3（2n﹣1）＞k?3?2n﹣1﹣2，∴．

…（11分）令，f（n）随n的增大而增大，∴．∴．∴实数k的取值范围为．…（14分）点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的通项与求和，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.过抛物线y2=2px（p为不等于2的素数）的焦点F，作与x轴不垂直的直线l交抛物线于M、N两点，线段MN的垂直平分线交MN于点P，交x轴于点Q．（1）求PQ的中点R的轨迹L的方程；（2）证明：轨迹L上有无穷多个整点，但L上任意整点到原点的距离均不是整数．参考答案：【考点】J3：轨迹方程．【分析】（1）由抛物线方程求出焦点坐标，再由题意设出直线l的方程为y=k（x﹣）（k≠0），联立直线方程和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到P点坐标，结合PQ⊥l，求得PQ的方程，再设R的坐标为（x，y），再由中点坐标公式求得PQ的中点R的轨迹L的方程；（2）直接得到对任意非零整数t，点（p（4t2+1），pt）都是l上的整点，说明l上有无穷多个整点．再反设l上由一个整点（x，y）到原点的距离为正数m，不妨设x＞0，y＞0，m＞0，然后结合p是奇素数、点在抛物线上及整点（x，y）到原点的距离为正数m，逐渐推出矛盾，说明l上任意整点到原点的距离均不是整数．【解答】（1）解：y2=2px的焦点F（），设直线l的方程为y=k（x﹣）（k≠0），由，得，设M，N的横坐标为x1，x2，则，得，，由PQ⊥l，得PQ的斜率为﹣，故PQ的方程为，代入yQ=0，得，设R的坐标为（x，y），则，整理得：p（x﹣p）=，∴PQ的中点R的轨迹L的方程为4y2=p（x﹣p）（y≠0）；（2）证明：显然对任意非零整数t，点（p（4t2+1），pt）都是l上的整点，故l上有无穷多个整点．反设l上由一个整点（x，y）到原点的距离为正数m，不妨设x＞0，y＞0，m＞0，则，∵p是奇素数，于是y整除p，由②可推出x整除p，再由①可推出m整除p，令x=px1，y=py1，m=pm1，则有，由③，④得：，于是，即（8x1+1+8m1）（8x1+1﹣8m1）=17，则8x1+1+8m1=17，8x1+1﹣8m1=1，得x1=m1=1，故y1=0，有y=py1=0，与l上的点满足y≠0矛盾．∴轨迹l上有无穷多个整点，但l上任意整点到原点的距离均不是整数．21.（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点为，离心率，是椭圆

上的动点．（Ⅰ）求椭圆标准方程；（Ⅱ）若直线与的斜率乘积，动点满足,（其中实数为常数）。问是否存在两个定点,，使得为定值？若存在，求,的坐标，若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点在第一象限，且点关于原点对称，点在轴上的射影为，连接并延长交椭圆于点．证明：．参考答案：（I）有题设可知：∴

(2分)又，∴，(3分)∴椭圆标准方程为（4分）（II）设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则由得(x，y)＝(x1，y1)＋(x2，y2)＝(x1＋x2，y1＋y2)，即x＝x1＋x2，y＝y1＋y2.（5分）因为点A、B在椭圆x2＋2y2＝2上，因此x1x2＋2y1y2＝0，所以x2＋2y2＝2＋2.即(7分)所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|为定值．又因c＝因此两焦点的坐标为F1