河南省平顶山市新宇职业高级中学高三数学文测试题含解析

河南省平顶山市新宇职业高级中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知对任意实数，有，且时，，则

时（

）A．

B．C．

D．参考答案：B2.设椭圆的焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A3.若M?{a1，a2，a3，a4，a5}，且M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}，则满足上述要求的集合M的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D【考点】子集与交集、并集运算的转换．【分析】根据交集的关系判断出a1，a2是集合M中的元素，a3不是M的元素，再由子集的关系写出所有满足条件的M．【解答】解：∵M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}，∴a1，a2∈M且a3?M，∵M?{a1，a2，a3，a4，a5}，∴M={a1，a2，a4，a5}或{a1，a2，a4}或{a1，a2，a5}或{a1，a2}，故选D．【点评】本题考查了交集的性质，以及子集的定义的应用，属于基础题．4.在等差数列中，已知，那么（

）A.18

B.8

C.2

D.36参考答案：A略5.已知，则（

）A.1

B.-1

C.

D．参考答案：B6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x上，则sin（2θ+）=（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：A【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】根据定义求解sinθ和cosθ的值，利用两角和与差的公式以及二倍角公式即可化简并求解出答案．【解答】解：由题意，已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x上，可知θ在第一或第三象限．根据正余弦函数的定义：可得sinθ=，cosθ=±，则sin（2θ+）=sin2θcos+cos2θsin=sinθcosθ+==故选：A．7.已知复数z1=2+i，z2=a-3i(i为虚数单位，a∈R)．若z1z2为实数，则a的值为

(A)3

(B)4

(C)5

(D)6参考答案：D略8.复数(1+i)2+的共轭复数的虚部是（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．1参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：=2i+=2i+1﹣i=1+i的共轭复数1﹣i的虚部是﹣1．故选：C．9.将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，不同的分配方案共有（）A、12种B、24种C、36种D、48种参考答案：C略10.设，“”是“复数为纯虚数”的（

）A．充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：B

考点：充分必要条件．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为，则球的体积为

____．参考答案：12.已知，则的值为_____________．

参考答案：13.若实数x，y满足不等式组，则的最小值是

。参考答案：4略14.在下列四个结论中，正确的序号是．

①“x=1”是“x2=x”的充分不必要条件；②“k=1”是“函数y=cos2kx﹣sin2kx的最小正周期为π”的充要条件；③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件；④“a+c＞b+d”是“a＞b且c＞d”的必要不充分条件．参考答案：①④【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】本题考察知识点为充要条件的判定，先将命题化简，然后判定．【解答】解：①“x2=x”?“x=0或x=1”，则“x=1”是“x2=x”的充分不必要条件，正确；②由二倍角公式得函数y=cos2kx﹣sin2kx=cos2kx，周期T=||，则“k=1”?“函数y=cos2kx﹣sin2kx的最小正周期为π”但当k=﹣1，函数y=cos2（﹣x）﹣sin2（﹣x）=cos2x，最小正周期也为π，所以②“k=1”是“函数y=cos2kx﹣sin2kx的最小正周期为π”的充分不必要条件，错误；③“x2≠1”?“x±1”，所以“x≠1”是“x2≠1”的必要不充分条件；④同向不等式可以相加，所以“a＞b且c＞d”?“a+c＞b+d”，必要性满足，但是若a+c＞b+d时，则可能有a＞d且c＞b则“a+c＞b+d”是“a＞b且c＞d”的必要不充分条件，正确．故答案为：①④15.曲线在点处的切线方程为

．参考答案：【知识点】导数的几何意义。B11【答案解析】

解析：由，则.所以，即切线L的斜率为1。又切线L过点(1,0)，所以切线L的方程为.一般方程为.【思路点拨】先对原函数求导，即可求出斜率，再利用点斜式写出直线方程。16.如图，在面积为1的正△A1B1C1内作正△A2B2C2，使，，，依此类推，在正△A2B2C2内再作正△A3B3C3，…．记正△AiBiCi的面积为ai（i=1，2，…，n），则a1+a2+…+an=

．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】先利用边长之间的关系得出三角形的面积组成以1为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式进行求和【解答】解：由，，，∴tanB1=，∴=tanB1?||=||，∴，进而，…（i=1，2，…，n），根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得：Si+1=3Si（i=1，2，…，n），即所作三角形的面积构成以1为项，以为公比的等比数列∴a1+a2+…+an==故答案为：17.已知数列{an}满足.记，则数列{Cn}的前n项和=

．参考答案：n·2n由得，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，即，记，则

（1），式子两边都乘以2得

（2），两式相减得：所以，故答案为.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，过点P（2，1）的直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，已知直线l与曲线C交于A、B两点．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求|PA|?|PB|的值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．（2）把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：t2+（2﹣2）t﹣3=0．利用根与系数的关系、参数的几何意义即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，即为ρ2sin2θ=2ρcosθ，化为普通方程为：y2=2x；（2）把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：t2+（2﹣2）t﹣3=0．∴t1t2=﹣3．∴|PA|?|PB|=|t1t2|=3．19.（本题满分13分）已知函数.（Ⅰ）若求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）设，若函数在区间上存在极值点，求的取值范围.参考答案：(Ⅰ)若，函数的定义域为，.则曲线在点处切线的斜率为.而，则曲线在点处切线的方程为.

……………3分（Ⅱ）函数的定义域为，.（1）当时，由,且此时，可得.令，解得或，函数为减函数；令，解得，但，所以当，时，函数也为增函数.所以函数的单调减区间为，，单调增区间为，.（2）当时，函数的单调减区间为，.当时，函数的单调减区间为，.当时，由，所以函数的单调减区间为，.即当时，函数的单调减区间为，.（3）当时，此时.令，解得或，但，所以当，，时，函数为减函数；令，解得，函数为增函数.所以函数的单调减区间为，，，函数的单调增区间为.

…………9分（Ⅲ）（1）当时，由（Ⅱ）问可知，函数在上为减函数，所以不存在极值点;（2）当时，由（Ⅱ）可知，在上为增函数，

在上为减函数.若函数在区间上存在极值点，则，解得或,所以.综上所述，当时，函数在区间上存在极值点.

…………13分20.已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣（x∈R）．（I）求函数f（x）的单调增区间．（II）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；余弦定理．【分析】（1）先将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）根据（1）得f（x）的解析式，求出C角，在根据平面向量共线的特征，建立角A，B的关系式，利用余弦定理即可求a，b的值．【解答】解：由f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣﹣==sin﹣1，根据正弦函数图象及性质可得：[2kπ﹣，2kπ]（k∈Z）是增区间．即2kπ﹣≤≤2kπ，解得：≤x≤．∴f（x）的单调增区间为[，]]（k∈Z）．（2）由（1可知）f（x）=sin﹣1∴f（C）=sin又f（C）=0，即sin=0．解得：C=．由题意：向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，则有：sinB﹣2sinA=0∴由正弦定理可得：b=2a…①由余弦定理可得：化简：a2+b2﹣ab=3…②由①②解得：a=1，b=2．【点评】本题考查了三角函数的图象和性质的运用，向量的共线问题和正、余弦定理的化简以及计算能力．属于中档题．21.（本小题满分12分）已知椭圆的一个焦点是，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为.（i）求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标；（ii）求面积的取值范围。参考答案：（ii）由(Ⅰ)中判别式，解得，而直线过定点所以记，，易得在上位单调递减函数，得

…………12分

略22.（本小题满分10分）如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P.求证：（Ⅰ）AD∥