浙江省嘉兴市於潜中学高三数学文上学期摸底试题含解析

浙江省嘉兴市於潜中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数（是虚数单位）的模等于（

）．（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A试题分析：，故模为，故选A．考点：复数运算及相关概念.2.已知离心率为的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点是两曲线的一个公共点，若，则等于(

)A．

B．

C．

D．3参考答案：【知识点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．H5H6C

解析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦距为2c，|PF1|=m，|PF2|=n，且不妨设m＞n，由m+n=2a1，m﹣n=2a2得m=a1+a2，n=a1﹣a2．又，∴，∴，即，解得，故选：C．【思路点拨】利用椭圆、双曲线的定义，求出|PF1|，|PF2|，结合∠F1PF2=，利用余弦定理，建立方程，即可求出e．3.当时，不等式恒成立，则的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：A4.在复平面内，复数对应的点位于第四象限，则实数的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A5.已知双曲线C：的一条新近线与直线垂直，则此双曲线的离心率为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B6.已知Sn是非零数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－1，则S2011等于A．1－22010

B．22011－1

C．22010－1

D．1－22011参考答案：B当n＝1时，S1＝2a1－1，得S1＝a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入Sn＝2an－1，得Sn＝2Sn－1＋1，即Sn＋1＝2(Sn－1＋1)，∴Sn＋1＝(S1＋1)·2n－1＝2n，∴S2011＝22011－1.

7.设为向量，则“”是“的夹角是锐角”的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要参考答案：B【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】规律型．【分析】根据向量数量积的应用以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若“的夹角是锐角”，设夹角为θ，则．当θ=0时，满足，但的夹角是锐角不成立．∴“”是“的夹角是锐角”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用数量积的公式是解决本题的关键．8.（5分）已知双曲线方程为=1，过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则的值为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题．【分析】：依题意，不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，利用双曲线的第二定义可求得可求得|PQ|，继而可求得PQ的垂直平分线方程，令x=0可求得点M的横坐标，从而使问题解决．【解答】：解：∵双曲线的方程为﹣=1，∴其右焦点F（5，0），不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，依题意，直线PQ的方程为：y=x﹣5．由得：7x2+90x﹣369=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2为方程7x2+90x﹣369=0的两根，∴x1+x2=﹣，y1+y2=（x1﹣5）+（x2﹣5）=x1+x2﹣10=﹣，∴线段PQ的中点N（﹣，﹣），∴PQ的垂直平分线方程为y+=﹣（x+），令y=0得：x=﹣．又右焦点F（5，0），∴|MF|=5+=．①设点P在其准线上的射影为P′，点Q在其准线上的射影为Q′，∵双曲线的一条渐近线为y=x，其斜率k=，直线PQ的方程为：y=x﹣5，其斜率k′=1，∵k′＜k，∴直线PQ与双曲线的两个交点一个在左支上，另一个在右支上，不妨设点P在左支，点Q在右支，则由双曲线的第二定义得：==e==，∴|PF|=x1﹣×=x1﹣3，同理可得|QF|=3﹣x2；∴|PQ|=|QF|﹣|PF|=3﹣x2﹣（x1﹣3）=6﹣（x1+x2）=6﹣×（﹣）=．②∴==．故选B．【点评】：本题考查双曲线的第二定义的应用，考查直线与圆锥曲线的相交问题，考查韦达定理的应用与直线方程的求法，综合性强，难度大，属于难题．9.已知函数与函数有4个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B．

C．

D．

参考答案：D由题意，函数与函数有4个不同的交点，即方程有4个解，设，显然函数为偶函数，且，函数有四个零点等价于函数在内有2个零点．显然当时，．（1）当时，函数在上单调递增，最多只有一个零点，显然不满足题意；（2）当时，．由得；由得．所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以函数．又当时，；当时，，由函数在区间上有两个零点可得，即，解之得．故选D．10.已知函数，若，且，则的取值范围是()A．

B.C．

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果对定义在上的函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“函数”.给出下列函数①;②;③;④.以上函数是“函数”的所有序号为

.参考答案：②;③12.在平面直角坐标系中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是

．参考答案：答案：y2=8x解析：设抛物线的方程为y2=2px，把点(2，4)带入可求得焦参数p=4，故所求的抛物线的方程为y2=8x。13.若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中真

命题的序号是________．①若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；②若m、n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知α，β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β；④若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行．参考答案：②①为假命题，②为真命题，在③中，n可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m、n也可以异面，故为假命题14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S=（b2+c2﹣a2），则∠A=．参考答案：考点： 余弦定理．专题： 计算题．分析： 根据三角形的面积公式S=bcsinA，而已知S=（b2+c2﹣a2），两者相等得到一个关系式，利用此关系式表示出sinA，根据余弦定理表示出cosA，发现两关系式相等，得到sinA等于cosA，即tanA等于1，根据A的范围利用特殊角的三角函数值即可得到A的度数．解答： 解：由已知得：S=bcsinA=（b2+c2﹣a2）变形为：=sinA，由余弦定理可得：cosA=，所以cosA=sinA即tanA=1，又A∈（0，π），则A=．故答案为：。故答案为：点评： 此题考查学生灵活运用三角形的面积公式及余弦定理化简求值，是一道基础题．15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

.参考答案：略16.

.参考答案：，根据积分的几何意义可知等于半径为1的半圆的面积，即，，所以.17.若，则

参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于A，B两点，且抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M

(I)若△MAB面积的最小值为4，求p的值；

(Ⅱ)在(I)的条件下，若△MAB的三边长成等差数列，求此时点M到直线AB的距离．参考答案：解：（Ⅰ）设，直线，则将直线的方程代入抛物线的方程可得，则，（*）故.因直线为抛物线在点处的切线，则故直线的方程为，同理，直线的方程为，联立直线的方程可得，又由（*）式可得，则点到直线的距离，故，由的面积的最小值为4，可得，故.……………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，故，则为直角三角形，故①由的三边长成等差数列，不妨设，可得②联立①，②可得,由，可得，又，，则，故，得此时到直线的距离.………（12分）略19.已知集合，（1）当时，求；（2）若，求实数的值。参考答案：20.已知函数，．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若的最小值为0，回答下列问题：（ⅰ）求实数的值；（ⅱ）设，（）是函数图象上的两点，且曲线在点处的切线与直线平行，求证：．参考答案：解：（Ⅰ）函数的定义域为，且．当时，，所以在区间单调递增；当时，由，解得；由，解得．所以的单调递增区间为，单调递减区间为．综上述：时，的单调递增区间是；

时，的单调递减区间是，单调递增区间是（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当时，无最小值，不合题意；当时，令，则，由，解得；由，解得．所以的单调递增区间为，单调递减区间为．故，即当且仅当时，=0．因此，．

（ⅱ）因为，所以直线AB的斜率．依题意，可得，即．令，于是==．

由（ⅰ）知，当时，，于是，即成立．分==．由（ⅰ）知，当时，，即，于是，即成立．综上，成立．

略21.己知四棱锥中，平面，底面是菱形，且．，、的中点分别为，．（Ⅰ）求证．（Ⅱ）求二面角的余弦值．（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得平行于平面？若存在，指出在上的位置并给予证明，若不存在，请说明理由．参考答案：（）证明：连结，．∵平面，平面，∴．又∵底面是菱形，，，∴是正三角形．∵是的中点，∴．又∵，平面，平面，∴平面，∴．（）由（）得，由可得．又∵底面，∴，．∴以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，．∵平面，∴平面的法向量为．又∵，．设平面的一个法向量，则：，即，令，则，，∴．∴．∵二面角是锐角，∴二面角的余弦值为．（）是线段上的一点，设．∵，∴．又∵，．设平面的一个法向量为，则：，即，∴，∵平面，∴，，即，解得．故线段上存在一点，使得平行于平面，是中点．22.已知函数f（x）=ex﹣ln（x+m）（Ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；根据实际问题选择函数类型．【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，因为x=0是函数f（x）的极值点，由极值点处的导数等于0求出m的值，代入函数解析式后再由导函数大于0和小于0求出原函数的单调区间；（Ⅱ）证明当m≤2时，f（x）＞0，转化为证明当m=2时f（x）＞0．求出当m=2时函数的导函数，可知导函数在（﹣2，+∞）上为增函数，并进一步得到导函数在（﹣1，0）上有唯一零点x0，则当x=x0时函数取得最小值，借助于x0是导函数的零点证出f（x0）＞0，从而结论得证．【解答】（Ⅰ）解：∵，x=0是f（x）的极值点，∴，解得m=1．所以函数f（x）=ex﹣ln（x+1），其定义域为（﹣1，+∞）．∵．设g（x）=ex（x+1）﹣1，则g′（x）=ex（x+1）+ex＞0，所以g（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，又∵g（0）=0，所以当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当﹣1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0．所以f（x）在（﹣1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数；（Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（﹣m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m=2时f（x）＞0．当m=2时，函数在（﹣2，+∞）上为增函数，且f′（﹣1）＜0，f′（0）＞0．故f