2.1.1椭圆的定义与标准方程

1、生活中有椭圆，生活中用椭圆,（一）认识椭圆,椭圆的定义与标准方程（一）,（二）动手试验,(1)取一条一定长的细绳 (2)把它的两端用图钉固定在画板上 (3)当绳长大于两图钉之间的距离时，用铅笔尖把绳子拉直，使笔尖在纸板上慢慢移动，画出一个图形,（三）概念透析,平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数 （大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆,1、椭圆的定义,说明,1、“平面内”这一个条件不可少；,2、椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数；,这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点 两焦点之间的距离叫做焦距,若常数=|F1F2|,则点M的轨迹是线段F1F2,若常数 |F1F2| 则点M的轨迹不存在,

2、若常数 F1F2,，则点M的轨迹是椭圆,思考：,(四)方程推导,如何建立适当的直角坐标系？,解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).,设M(x, y)是椭圆上任意一 点，椭圆的焦距2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a2c0) ，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) .,（想一想：下面怎样化简？）,由椭圆的定义，,代入坐标,移项，再平方,两边再平方，得,整理得,两边同除以,得：,(四)方程推导,由椭圆定义可知,该方程叫做椭圆的标准方程,它表示的椭圆焦点在X轴上， 焦点F1(-c,0)、F2(c,0),得：,

3、两边同除以,得：,(四)方程推导,思考：,观察下图，你能从中找出表示 的线段吗？,a,c,b,焦点在y轴：,焦点在x轴：,2、椭圆的标准方程:,焦点坐标：,焦点坐标：,焦点位置的判断,哪个分母大，焦点就在哪个轴上,a2=b2+c2,（五）尝试应用,下列方程哪些表示的是椭圆，如果是， 判断它的焦点在哪个坐标轴上？,解：(法一) 因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为,由椭圆的定义知，,所以所求椭圆的标准方程为：,例、已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(2、0)、（-2，0）并且经过点 P ，求椭圆的标准方程。,（六）典例分析,x,y,F1,F2,P,例、已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(2、0)

4、、（-2，0）并且经过点 P ，求椭圆的标准方程。,解： 因为椭圆的焦点在x轴上， 设它的标准方程为, c=2，且 c2= a2 - b2, 4= a2 - b2 ,又椭圆经过点P, ,联立可求得：,椭圆的标准方程为,(法二),x,y,F1,F2,P,（六）典例分析,变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)， 其它条件不变，结果如何？,变式二:将上题改为：两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？,已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；,写出适合下列条件的椭圆的标准方程：,当焦点在X轴时，方程为：,当焦点在Y轴时，方程为：,（八）巩固练习,哪个分母大，焦点就在哪个轴上,a2=b2+c2,|MF1 |+|MF2|=2a（2a2c0）,（七）小结,求椭圆的标准方程的步骤： （1）首先要判断焦点位置，设出标