离散数学(对偶和范式)

1、1,1.5 对偶与范式,对偶式与对偶原理 析取范式与合取范式 主析取范式与主合取范式,2,对偶式和对偶原理,定义 在仅含有联结词, ,的命题公式A中，将换成, 换成，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*. 从定义不难看出，(A*)* 还原成A 显然，A也是A*的对偶式。可见A与A*互为对偶式。,3,对偶式和对偶原理,定理 设A和A*互为对偶式，p1,p2,pn是出现在A和 A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式， 则 (1) A(p1,p2,pn) A* ( p1, p2, pn) (2) A( p1, p2, pn) A* (p1,p2,p

2、n) (1)表明，公式A的否定等价于其命题变元否定的对偶式； (2)表明，命题变元否定的公式等价于对偶式之否定。,4,对偶式和对偶原理,定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式， 若A B，则A* B*. 有了等值式、代入规则、替换规则和对偶定理，便可以得到更多的永真式，证明更多的等值式，使化简命题公式更为方便。,5,判定问题,真值表 等值演算 范式,6,析取范式与合取范式,文字:命题变项及其否定的总称 如 p, q 简单析取式:有限个文字构成的析取式 如 p, q, pq, pqr, 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如 p, q, pq, pqr, 注意：一个命题变元或其否定既可以是简单合

3、取式，也可是简单析取式，如p，q等。,7,析取范式与合取范式,定理： 简单合取式为永假式的充要条件是：它同时含有某个命题变元及其否定。 定理： 简单析取式为永真式的充要条件是：它同时含有某个命题变元及其否定。,8,析取范式与合取范式,简单析取式:有限个文字构成的析取式 如 p, q, pq, pqr, 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如 p, q, pq, pqr, 析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式 A1A2Ar, 其中A1,A2,Ar是简单合取式 合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式 A1A2Ar , 其中A1,A2,Ar是简单析取式,9,析取范式与合取范式(续),范式:析取

4、范式与合取范式的总称 公式A的析取范式: 与A等值的析取范式 公式A的合取范式: 与A等值的合取范式 说明： 单个文字既是简单析取式，又是简单合取式 形如 pqr, pqr 的公式既是析取范式， 又是合取范式 (为什么?),10,命题公式的范式,定理 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式 与合取范式. 求公式A的范式的步骤： (1) 消去A中的, （若存在）（消去公式中除、和以外公式中出现的所有联结词） (2) 否定联结词的内移或消去（使用(P)P和德摩根律） (3) 使用分配律 对分配（析取范式） 对分配（合取范式） 公式的范式存在，但不惟一，这是它的局限性,11,求公式的范式举例,例 求

5、下列公式的析取范式与合取范式 (1) A=(pq)r 解 (pq)r (pq)r （消去） pqr （结合律） 这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析 取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式 组成的合取式）,12,求公式的范式举例(续),(2) B=(pq)r 解 (pq)r (pq)r （消去第一个） (pq)r （消去第二个） (pq)r （否定号内移德摩根律） 这一步已为析取范式（两个简单合取式构成） 继续： (pq)r (pr)(qr) （对分配律） 这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）,13,极小项与极大项,定义 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中， 若每

6、个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一 次，而且第i（1in）个文字出现在左起第i位上，称这样 的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）. 例如，两个命题变元p和q，其构成的小项有pq，pq，pq和pq；而三个命题变元p、q和r，其构成的小项有pqr，pqr，pqr，pqr，pqr ，pqr，pqr，pqr。,14,极小项与极大项,定义 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中， 若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一 次，而且第i（1in）个文字出现在左起第i位上，称这样 的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）. 例如，由两个命题变元p和q，构成大项有pq，p

7、q，pq，pq；三个命题变元p，q和r，构成pqr，pqr，pqr，pqr，pqr，pqr，pqr，pqr。,15,极小项与极大项,说明：n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项 2n个极小项（极大项）均互不等值 用mi表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. （将命题变元按字典序排列，并且把命题变元与1对应，命题变元的否定与0对应，则可对2n个小项依二进制数编码） 用Mi表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示。（将n个命题变元排序，并且把命题变元与对应，命题变元的否定与对应，则可对2n个大项按二进制数编码） mi(Mi)称为极小项(极大项)的名称. mi与M

8、i的关系: mi Mi , Mi mi,16,极小项与极大项(续),由p, q两个命题变项形成的极小项与极大项,17,由p, q, r三个命题变项形成的极小项与极大项,小项的性质：,(a)没有两个小项是等价的，即是说各小项的真值表都是不同的； (b)任意两个不同的小项的合取式是永假的：mimj，ij。 (c)所有小项之析取为永真： mi。 (d)每个小项只有一个解释为真，且其真值1位于主对角线上。,18,大项的性质：,(a)没有两个大项是等价的。 (b)任何两个不同大项之析取是永真的，即MiMj，ij。 (c) 所有大项之合取为永假，即 Mi。 (d) 每个大项只有一个解释为假，且其真值0位于

9、主对角线上。,19,20,主析取范式与主合取范式,主析取范式: 由极小项构成的析取范式 主合取范式: 由极大项构成的合取范式 例如，n=3, 命题变项为p, q, r时， (pqr)(pqr) m1m3 是主析取范式 (pqr)(pqr) M1M5 是主合取范式 A的主析取范式: 与A等值的主析取范式 A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.,21,主析取范式与主合取范式(续),定理 任何命题公式都存在着与之等值的主析取范 式和主合取范式, 并且是惟一的. 用等值演算法求公式的主范式的步骤： (1) 先求析取范式（合取范式） (2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简 单析取式）化成与之等

10、值的若干个极小项的析 取（极大项的合取），需要利用同一律（零 律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等. (3) 极小项（极大项）用名称mi（Mi）表示，并 按角标从小到大顺序排序.,22,主析取范式与主合取范式(续),用等值演算法求公式的主范式的步骤： (1) 先求析取范式 (2) 删除析取范式中所有为永假的简单合取式 (3)用等幂律化简简单合取式中同一命题变元的重复出现为一次出现，如ppp。 (4) 用同一律补进简单合取式中未出现的所有命题变元，如q，则pp（qq)，并用分配律展开之，将相同的简单合取式的多次出现化为一次出现， 这样得到了给定公式的主析取范式。,从A的主析取范式求其主合取范

11、式的步骤,(a)求出A的主析取范式中设有包含的小项。(b) 求出与(a)中小项的下标相同的大项。(c) 做(b)中大项之合取，即为A的主合取范式。例如，(pq)qm1m3，则(pq)qM0M2。,23,24,求公式的主范式,例 求公式 A=(pq)r的主析取范式与主合 取范式. (1) 求主析取范式 (pq)r (pq)r , （析取范式） (pq) (pq)(rr) (pqr)(pqr) m6m7 , ,25,求公式的主范式(续),r (pp)(qq)r (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m1m3m5m7 , 代入并排序，得 (pq)r m1m3m5 m6m7（主析取范式）,26,求

12、公式的主范式(续),(2) 求A的主合取范式 (pq)r (pr)(qr) , （合取范式） pr p(qq)r (pqr)(pqr) M0M2, ,27,求公式的主范式(续),qr (pp)qr (pqr)(pqr) M0M4 , 代入并排序，得 (pq)r M0M2M4 （主合取范式）,28,主范式的用途与真值表相同,(1) 求公式的成真赋值和成假赋值 例如 (pq)r m1m3m5 m6m7， 其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111， 其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值. 类似地，由主合取范式也可立即求出成 假赋值和成真赋值.,29,主范式的用途(续),

13、(2) 判断公式的类型 设A含n个命题变项，则 A为重言式A的主析取范式含2n个极小项 A的主合取范式为1. A为矛盾式 A的主析取范式为0 A的主合析取范式含2n个极大项 A为非重言式的可满足式 A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项 A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项,30,主范式的用途(续),例 用主析取范式判断下述两个公式是否等值： p(qr) 与 (pq)r p(qr) 与 (pq)r 解 p(qr) = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m1m3 m4m5 m7 显见，中的两公式等值，而的不等值.,(3)

14、 判断两个公式是否等值,说明： 由公式A的主析取范式确定它的主合取范式，反之亦然. 用公式A的真值表求A的主范式.,31,主范式的用途(续),例 某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕 业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须 满足以下条件： (1)若赵去，钱也去； (2)李、周两人中至少有一人去； (3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人； (4)孙、李两人同去或同不去； (5)若周去，则赵、钱也去. 试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出 国？,32,例 (续),解此类问题的步骤为： 将简单命题符号化 写出各复合命题 写出由中复合命题组成的合取式 求中所得公式的主析取范式,33,例 (续),解 设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去， s：派李去，u：派周去. (1) (pq) (2) (su) (3) (qr)(qr) (4) (rs)(rs) (5) (u(pq) (1) (5)构成的合取式为 A=(pq)(su)(qr)(qr) (rs)(rs)(u(pq),34,例 (续), A (pqrsu)(pqrsu) 结论：由可知，A的成真赋值为00110与11001， 因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、 周去（孙、李不去）. A的演算过程如下