结构工程动力学4

1、1,（1）主振型,m1,m2,特征方程 频率方程,15-4 两自由度体系的自由振动来自,一、刚度法,2,令,主振型,二、柔度法,3,三、主振型及主振型的正交性,由功的互等定理：,整理得：,因 ，则存在：,两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。,第一主振型,第二主振型,4,由功的互等定理：,上式分别乘以12、22，则得：,第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零；,某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动；,各个主振型能单独存在，而不相互干扰。,5,15-5 两个自由

2、度体系在简谐荷载下的受迫振动,在平稳阶段，各质点也作简谐振动：,Y1=D1/D0,Y2=D2/D0,如果荷载频率与任一个自振频率 1、 2重合，则D0=0, 当D1、D2 不全为零时，则出现共振现象,6,例：质量集中在楼层上m1、m2 ，层间侧移刚度为k1、k2,解：荷载幅值：P1=P，P2=0，求刚度系数：,k11=k1+k2 , k21=k2 ,k22=k2 , k12=k2,当m1=m2=m，k1=k2=k,7,两个质点的 位移动力系 数不同。,当,趋于无穷大。 可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。 也有例外情况,8,如图示对称结构在对称荷载作用下。,与2相应的振型是,=1

3、,当=2 ，D0=0 ，也有：,不会趋于无穷大，不发生共振， 共振区只有一个。,对称体系在对称荷载作用下时， 只有当荷载频率与对称主振型的自 振频率相等时才发生共振；当荷载 频率与反对称主振型的自振频率相 等时不会发生共振。同理可知：对 称体系在反对称荷载作用下时，只 有当荷载频率与反对称主振型的自 振频率相等时才发生共振。,9,yst1,yst2=P/k,荷载幅值产生的静位移和静内力,yst1= yst2=P/k,层间剪力: Qst1= P,动荷载产生的位移幅值和内力幅值,由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。,层间动剪力:,10,这说明在右图结构上，,适当加以m2、k2系统,

4、可以消除m1的振动（动力吸振器原理）。,吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。,设计吸振器时，先根据m2的许可振幅Y2，选定,，再确定,11,例：如图示梁中点放一电动机。重2500N，电动机使梁中点产生的静位移为1cm，转速为300r/min，产生的动荷载幅值P=1kN，问：1）应加动力吸振器吗？2）设计吸振器。(许可位移为1cm),解：1）,频率比在共振区之内应设置吸振器。,2）由,弹簧刚度系数为：,N/m,=102 kg,12,15-9 近似法求自振频率,1、能量法求第一频率Rayleigh法,根据能量守恒定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动能T

5、 和应变能U 之和应等于常数。 根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最大（动能具有最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间（变形能最大），速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒定律得： Umax=Tmax,求Umax ，Tmax,求频率,如梁上还有集中质量mi，,位移幅值,.,Yi为集中质量mi处的位移幅值。,13,假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：,1、必须满足运动边界条件： （铰支端：Y=0；固定端：Y=0，Y=0）,尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。 2、所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与

6、第 n 主振型相似，则可求的n的准确解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似的振型曲线，得到频率的近似值。由于假定高频率的振型困难，计算高频率误差较大。故 Rayleigh法主要用于求1的近似解。 3、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现的变形形式。曲率小，拐点少。 4、通常可取结构在某个静荷载q（x）（如自重）作用下的弹性曲线作为Y（x）的近似表达式。此时应变能可用相应荷载q（x）所作的功来代替，即,14,2）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x),例12 试求等截面简支梁的第一频率。 1）假设位移形状函数为抛物线,满足边界条件且与第一振型相近,3）假设,第一振型的精确解

7、。,精 确 解,15,例13 求楔形悬臂梁的自振频率。 设梁截面宽度为 1，高度为 h=h0 x/l。,解：,单位长度的质量：,设位移形状函数：,满足边界条件：,Rayleigh 法所得频率的近似解总是比精确解偏高。其原因是假设了一振型曲线代替实际振型曲线，迫使梁按照这种假设的形状振动，相当于给梁加上了某种约束，增大了梁的刚度，致使频率偏高。当所设振型越接近于真实，则相当于对体系施加的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小。,截面惯性矩：,16,1、假设多个近似振型,都满足前述两个条件。,2、将它们进行线性组合,（a1、a2、an是待定常数）,3、确定待定常数的准则是：获得最佳的线性组

8、合，这样的Y（x）代入频率计算公式中得到的2 的值虽仍比精确解偏高，但对所有的a1，a2，an的可能组合，确实获得了最小的2值。,所选的a1，a2，an使,2 获得最小值的条件是,这是以a1，a2，an为未知量的n个奇次线性代数方程。令其系数行列式等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低 n 阶频率来。阶次越低往往越准。,为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所附加的约束， Ritz 提出了改进方法：,17,18,例14 用RayleighRitz 法求等截面悬臂梁的最初几个频率。,解：悬臂梁的位移边界条件为：,只取第一项,代入：,代入频 率方程：,其精确解：,与精确解

9、相比，误差为27%。,19,例14 用RayleighRitz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。,解：,取两项,代入：,代入频率方程：,求得kij，mij：,求得最 初两个 频率近 似值：,（0.48%）,（58%） 说明,说明：1)由于1、2均近似于第一振型，由它们组合的第二振型自然很差， 故第二频率不准。 2)RayleighRitz法所得结果仍然偏高，其原因同瑞利法。,20,2、集中质量法,在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用若干个集中质量来代替连续分布的质量。关于质量的集中方法有多种，最简单的是静力等效的集中质量法。,该法既可求基本频率，也可求较高频率。且适用于各类结构。,集中质量的数目越多结果越精确，但工作量也就越大。,等效原则：使集中后的重力与原重力互为静力等效，即两者的合力相等。 作 法：将杆分为若