平面向量的概念及线性运算

1、平面向量得概念及线性运算知识点 : .向量得有关概念名称定义备注向量既有大小 ,又有方向得量统称为向量； 向平面向量就是自由向量量得大小叫做向量得长度（或称模 )零向量长度为 0 得向量 ;其方向就是任意得记作单位向量长度等于 1 个单位得向量非零向量 a 得单位向量为 错误 !如果表示两个向量得有向线段所在得平行向量直线平行或重合 ,则称这两个向量平行0 与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同得向量两向量只有相等或不等 ,不能比较大小相反向量长度相等且方向相反得向量0 得相反向量为 02、向量得线性运算向量运算定义法则 (或几何意义）运算律交换律 :a b=ba加法求两个向量与得运算

2、结合律：(a+b)+=a+（ bc)减法求 a 与 b 得相反向量 得与ab (-b)得运算叫做 与 b 得差三角形法则(1)|a = |a|；（1)(a） (）a;（）当 0 时,a 得方向(） (+）a=aa;数乘求实数 与向量 a 得积得运算与 a 得方向相同 ;当 0 时,a 与 a 得方向相同 ,当 0 时 ,a 与 得方向相反， B 正确 ;对于 ,|a|-|a，由于 -|得大小不确定，故 |-a与 |得大小关系不确定；对于D,|a 就是向量 ,而 |a|表示长度 ,两者不能比较大小 .设 a、就是两个非零向量 ()A。若 b|=|a b|,则 aC若 a+b| a b，则存在实数

3、,使得 b aD。若存在实数,使得 ba,则+b = a| b.若 ，则 |a b| |a |b解析对于 A, 可得 s a，b=-,ab 不成立 ;对于 B，满足 a时 ab| a| b不成立；对于 C,可得 cosa,=-,成立，而 D 显然不一定成立 .如图，已知错误 !a,错误 !b,错误 !3错误 !,用 a,b 表示错误 !，则错误 !等于 ( )。a+f( ,4)b、 1C、错误 ! 错误 ! bD、 a错误 ! b错误 ! a+错误 !b解析 错误 ! 错误 ! 错误 ! = b，又 错误 ! 3错误 ! ,错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! （a- )， 错误 ! 错误

4、! +错误 ! =b 错误 ! (a-b)错误 ! a 错误 ! b如图，在正六边形ABCE中,错误 ! +错误 ! 错误 ! (） .0、 错误 !、 错误 !、 错误 !解析由题图知错误 !+错误 !+错误 !=错误 !+=错误 !+错误 !=错误 !、错误 !错误 !如图所示 ,已知 AB 就是圆 O 得直径 ,点 C,就是半圆弧得两个三等分点 ,错误 != ,A错误 !=b,则错误 !=（ )A. a-错误 ! b、错误 ! aC.错误 ! D 、 错误 ! +解析 连接D,C,D 就是半圆弧得三等分点，得B 且错误 ! =错误 ! 错误 ! 错误 ! a, 错误 ! 错误 ! 错误

5、! =错误 ! a已知向量 错误 ! a+3b，错误 ! 5a+3b， 错误 ! -3a3b,则（） .A,B，C 三点共线B.A,B,D 三点共线C。 A,C,D 三点共线D. B,C，三点共线解析 :错误=错误 ! 2a+6b=2（ a+3）=错误!,、共线，又公共点， A、!错误 !错误 ! 错误 !三点共线设为 A C 所在平面内一点 ,错误 ! =错误 ! ,则()A 、 错误 ! 错误 ! 错误 ! +错误 ! 错误 !B、错误 !错误 ! 错误 ! -错误 ! 错误 !、 错误 ! 错误 ! 错误 !+错误 ! 错误 !D、错误 !=错误 !错误 ! 错误 !错误 !解析错误 !

6、 =3错误 ! , 错误 ! -错误 ! 3（ 错误 ! -错误 ! ），即 4错误 ! 错误 ! 3错误 ! ，错误 ! =错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! 、设 D, ,F 分别为 AB得三边 BC,C,AB 得中点 ,则错误 !+错误 !等于（)B、错误 ! 错误 !C、错误 !D、错误 ! 错误 !、C解析错误 ! +错误 ! =错误 ! （ 错误 ! 错误 ! ） 错误 ! （ 错误 ! 错误 ! ） 错误 ! (错误 ! +错误 ! ） =错误 !在 AB中,错误 !=c,b,若点 D 满足错误 !2错误 !,则错误 !等于（)错误 !A 、 错误 ! b+错误 ! cB 、

7、 错误 ! c 错误 ! bC、 错误 ! b 错误 ! c、 f（1,3）b+ f( ,） c解析 BD=错误 ! ,错误 ! -错误 ! =错误 ! =2错误 ! =2(错误 ! -错误 ! ）, 3错误 ! =2错误 ! 错误 ! ，错误 ! =错误 ! 错误 ! +错误 ! 错误 ! 错误 ! b错误 ! c、设为平行四边形 ABD 对角线得交点 ,O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则错误 !错误 !+错误 ! 错误 ! 等于 (）A、 错误 !B。 错误 !。 3错误 !.4错误 !解析错误!+错误 !错误 !错误 ! (错误 !错误 !） (错误 !错误 !)2错误

8、!+2错误 !=4错误 !已知点 O,A,B 不在同一条直线上 ,点 P 为该平面上一点 ,且错误 !=2错误 !,则()错误 !A。点 P 在线段 AB 上点 P 在线段 A得反向延长线上C。点 在线段 AB 得延长线上D.点 P 不在直线 AB 上解析 2=2错误!+错误!, 2错误 !,点 P 在线段B 得反向延长线上，故选、错误 !错误 !在 ABC 中,已知 D 就是 AB 边上得一点，若错误=2，错误!=错误 !错误 !+,则 等于 (）! 错误 !错误 !A、 错误 !B、 错误 !C。 错误 !D。 错误 !解析 错误 ! =2错误 ! ，即 错误 ! 错误 ! =2(错误 !

9、错误 ! ),错误 ! =错误 ! 错误 ! +错误 ! 错误 ! ，错误 ! 、在 ABC 中,点在线段 BC 得延长线上，且错误 ! 3,点 O 在线段 C上 (与点,D 不重合 ),若错误 !错误 !=x错误 ! (1 )错误 ! ，则 x 得取值范围就是 (）A、 错误 !B、错误 !、 错误 !、 错误 !解析 设 错误 !=y错误 ! ,错误 ! =错误 ! 错误 ! =错误 ! +y错误 ! =错误 ! y（ 错误 ! 错误 ! ） y错误 ! +(1+y)错误 ! 、 错误 ! 错误 ! ,点 O 在线段 C上（与点 C,D 不重合 ),y 错误 ! , 错误 ! =x错误 !

10、 +(-x)错误 ! ， = , 错误 ! 、已知 a，b 就是不共线得两个向量， 错误 ! =xa+b，错误 ! =yb(x，y )，若 A, ,C 三点共线 ,则点(,y)得轨迹就是 ( )。直线B.双曲线C.圆D.椭圆解析 若,B,C 三点共线， 错误 !错误 !，即 x+b (a)?错误 !? xy 1，故选 B、=设，b 不共线 ,o（ AB，)=错误 !，错误 !=a-2b,若A，B,D三点共线，则实数p得pb,=a值为（)A。 -2B。 -C。 2解析 错误 ! =a+b,错误 ! a ,错误 ! =错误 ! +错误 ! 2 b、又 A，B,D 三点共线， 错误 ! ,错误 !

11、共线 .设错误 !=,2ap=（ a-b）， 2=2,=-， 1,p=1、错误 !已知平面内一点 P 及 AB ,若错误 ! +错误 ! 错误 ! =错误 !，则点 P 与 A得位置关系就是 ( )A. 点 P 在线段 AB 上B。点 在线段 B上。点 P 在线段 AC 上D。点 P 在 ABC 外部解析 由错误 !+错误 !+错误 !=错误 !得错误 !=错误 !=错误 !,即错误 !=错误 !错误 !=2!,所错误 ! 错误 !错误以点 P 在线段 A上。已知点 O 为 A外接圆得圆心，且错误 !错误 !+!0,则 A得内角等于（)错误A.3 B。 0。 90。 120解析 由错误 ! +

12、错误 ! +错误 ! ,知点为 ABC 得重心 ,又 为 BC 外接圆得圆心 , B为等边三角形， A 0、填空题：设 D,E 分别就是 B得边B, C 上得点 ,AD f(1, )AB,BE 错误 ! BC、若错误 ! =1错误 ! +2错误 !(,2为实数） ,则 2得值为 _解析错误 ! =错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! +错误 ! (错误 ! 错误 ! )= 错误 ! 错误 ! +23错误 ! ， 错误 ! 1错误 ! +错误 ! ，1 错误 ! ,2 错误 ! ,故 2 错误 ! 、如图 ,在平行四边形ABCD 中 ,对角线 AC 与D

13、 交于点 O,sABp6（） 错误 ! =错误 ! ，则 _ _解析 ABCD 为平行四边形 ,错误 ! 错误 ! =错误 ! 错误 ! ,已知 错误 ! +错误 ! =错误 ! ，故 2已知 BCD 得对角线 A与 BD 相交于 O,且错误 ! a，错误 ! =b,则错误 ! =_,错误 ! _（用 a,b 表示 )。解析 如图 ,错误 ! =错误 ! 错误 ! -错误 ! b,错误 ! =错误 ! 错误 ! 错误 ! -错误 ! b、已知与 b 就是两个不共线向量，且向量ab 与（ -3 )共线 ,则 =_、解析 由已知得 b=-k(b-3a),错误 ! 解得 错误 !已知 O 为四边形

14、A D 所在平面内一点 ,且向量 错误 ! ，错误 ! ，错误 ! ,错误 ! 满足等式 错误 ! 错误 ! =错误 !错误 !,则四边形 ABC 得形状为 _解析由 错误 ! +错误 ! =错误 ! +错误 ! 得 错误 ! 错误 ! =错误 ! 错误 ! ,错误 ! 错误 ! ， 四边形 ABCD 为平行四边形。若点就是 ABC 所在平面内得一点 ,且满足-错误 !|=错误 !+-2错误 !|，则 A C 得形状错误 !错误 !为 _ _解析 : 错误 ! 错误 ! -2错误 ! =（ 错误 ! 错误 ! ) ( 错误 ! -错误 ! )=错误 ! 错误 ! ， 错误 ! -错误 ! 错误

15、 ! =错误 ! -错误 ! ，|错误 ! 错误 ! |=|错误 ! 错误 ! ,故，B， C 为矩形得三个顶点 ,BC 为直角三角形 .设点就是线段 BC 得中点，点 A 在直线 B外,错误 ! 2 16,错误 ! 错误 ! |=|错误 ! 错误 ! ，则|错误 ! =_解析由 错误 ! 错误 ! =错误 ! - 错误 ! 得， 错误 ! 错误 ! ，则M 为 AB斜边 BC 上得中线 , 错误 ! |=错误 ! |错误 ! |=在 ABC 中,点，N 满足 错误 ! =2错误 ! ，错误 ! 错误 ! 、若 错误 ! x错误 ! y错误 ! ，则 x_ _ ; _解析错误 ! =错误 !

16、+错误 ! =错误 ! 错误 ! +错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! (错误 ! 错误 ! ）错误 ! 错误 ! -错误 !错误 ! , x=错误 ! ， =-错误 ! 、解答题：在 ABC 中,D、E 分别为 BC、边上得中点 b,试用 a,b 表示 o（， ）,错误 ! 、,为 B上一点 ,且 B=2E，设 o(AB， )= ,错误 !解错误 ! 错误 ! (错误 ! +错误 ! ) 错误 ! 错误 ! b、 s uAG（ ） 错误 ! +错误 ! 错误 ! +错误 ! 错误 ! =错误 ! 错误 ! （错误 ! +错误 ! ） 错误 ! 错误 ! 错误 !(错误 ! 错误

17、 ! ） 错误 ! 错误 ! +错误 ! 错误 ! 错误 ! a错误 ! b、设两个非零向量1 与 e2 不共线 .（ 1）如果 错误 ! 1 e2,错误 ! =3e1 2e2，错误 ! =8e1-2e2,求证 :A、 C、三点共线 ;(2）如果 错误 ! =e1+e2,错误 ! 213e2 ,错误 ! =2 1-k2，且 A、C、D 三点共线 ,求 k 得值。（）证明 错误 ! 12,错误 ! =3+2e2 ,错误 ! =8e-2e2， 错误 ! =错误 ! 错误 ! 4 1+2 错误 ! ( e122 ) 错误 ! 错误 ! ,错误 ! 与 错误 ! 共线 .又 错误 ! 与错误 ! 有公

18、共点 C，A、C、D 三点共线 .(2)解 错误 ! 错误 ! +错误 ! ( 1+)+(2 13e)=12e2，、C、D 三点共线， o（C, s 6( ）与 错误 ! 共线 ,从而存在实数 使得 错误 ! =错误 ! ,即 e1 e2 (2e1ke),得错误 ! 解得 =错误 ! ,错误 ! 、专项能力提升设 a，不共线， 错误 ! =2b，错误 ! a， 错误 ! a-2b，若就是（)A。 2. 1C。1A,B， D 2三点共线 ,则实数p 得值解析 错误 ! =b，错误 ! =a2b，错误 ! 错误 ! +错误 ! a-b、又 ,B， D 三点共线， 错误 ! ,错误 ! 共线。设 错

19、误 ! =错误 ! ,2a+ b (2 ） ,2=2,p=-,1,=-、如图 ,已知B 就是圆 O 得直径，点 C,D 就是半圆弧得两个三等分点，错误 ! a,错误 ! =b,则错误 ! 等于(）1。 a-2b、 错误 ! a-bC.a 错误 ! bD、错误 ! a+b解析 连接 CD,由点 C，D 就是半圆弧得三等分点，得 CDA且 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! ，错误 !=错误 !=b错误 !a、错误 !设 G 为 ABC 得重心 ,且 siAsinB =,则 B 得大小为（）错误 !错误 !错误 !A.45 B。60C.30 D 1 ）错误 ! 错误 !， 错误 ! 错误 !错误 !将其代入解析 G 就是 AB 得重心， o（ GA,+-(),si=0+ A错误 ! sin错误 ! in错误 ! =0,得 (snB-sin )错误 ! +(sinC-siA)错误 ! =0、又错误 ! ，错误 ! 不共线 , sinBsinA0,sin -siA ,则 snB=sinA inC。根据正弦定理知b a c， ABC 就是等边三角形 ,则角 B60设 e1 与 e2 就是两个不共线向量 ,错误 ! =3e12e2,错误 ! ke1+e2， 错误 ! = e