常微分方程数值

常微分方程数值Tag内容描述：<p>1、第三章 常微分方程的差分方法 高 云 问题的提出 实际中，很多问题的数学模型都是微分方程。我们 可以研究它们的一些性质。但是，只有极少数特殊的方程 有解析解。对于绝大部分的微分方程是没有解析解的。 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在自然界 与工程界有很广泛的应用。很多问题的数学表述都可以归 结为常微分方程的定解问题。很多偏微分方程问题，也可 以化为常微分方程问题来近似求解。 常微分方程的定解问题 考虑一阶常微分方程的初值问题 只要 f (x, y) 在a, b R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条 件，即存在与 x, y 。</p><p>2、Numerical Methods for Ordinary Differential Equations ） 问题驱动：蝴蝶效应 洛伦兹吸引子(Lorenz attractor)是由MIT大学的气象学家E dward Lorenz在1963年给出的，他给出第一个混沌现象蝴 蝶效应。 图10.1.1蝴蝶效应示意图 洛伦兹方程是大气流体动力学模型的一个简化的常微分方程组 ： 该方程组来源于模拟大气对流，该模型除了在天气预报中有显 著的应用之外，还可以用于研究空气污染和全球侯变化。洛伦 兹借助于这个模型，将大气流体运动的强度x与水平和垂直方 向的温度变化y和z联系了起来。参数 称为普兰特数， 是规范 化的瑞利数。</p><p>3、第八章 常微分方程数值解 /* Numerical Methods for Ordinary Differential Equations */ y 为人口数量，r为人口增长率， y0为时刻x0的人口数量。 求常微分方程解析解的方法有多种多样，但是利用这些方法 ，我们只能对极少数特殊类型的常微分方程求解；科学研究 和工程技术上的大量常微分方程的求解需借助于数值计算方 法。 比如，描述人口增长的著名 人口模型： 常微分方程是常用的数学模型。 该方程有解析解y(x)=y0er(x-xo)。 考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */: 只要 f (x, y) 在a, b R1 上连续，且关于 y 满。</p><p>4、实验实验4 4 常微分方 程数值解 凯 里 学 院 理 学 院 主讲主讲: :潘东云潘东云 Experiments in Mathematics 1 为什么要学习微分方程数值解 微分方程是研究函数变化规律的重要工具，有着广泛 的应用。如: 物体的运动, 电路的电压, 人口增长的预测 许多微分方程没有解析解，数值解法是求解的重要手 段，如 2 实验4的基本内容 3. 实际问题用微分方程建模，并求解 2. 龙格-库塔方法的MATLAB实现 *4. 数值算法的收敛性、稳定性与刚性方程 1. 两个最常用的数值算法: 欧拉（Euler）方法 龙格-库塔（Runge-Kutta）方法 3 实例1 海上缉私 海防某部。</p><p>5、第九章 常微分方程数值解法许多实际问题的数学模型是微分方程或微分方程的定解问题。如物体运动、电路振荡、化学反映及生物群体的变化等。常微分方程可分为线性、非线性、高阶方程与方程组等类；线性方程包含于非线性类中，高阶方程可化为一阶方程组。若方程组中的所有未知量视作一个向量，则方程组可写成向量形式的单个方程。因此研究一阶微分方程的初值问题(9-1)的数值解法具有典型性。常微分方程的解能用初等函数、特殊函数或它们的级数与积分表达的很少。用解析方法只能求出线性常系数等特殊类型的方程的解。对非线性方程来说，解析方。</p><p>6、第五讲 常微分方程数值解 化工学院软件应用教科组 2006-10 本章知识要点 数值计算 常微分方程初值问题 常微分方程边值问题 MATLAB 微分方程求解常微分方程的相关函数 ode45 ode23 bvp4c 微分方程在化工模型中的应用 间歇反应器的计算 活塞流反应器的计算 全混流反应器的动态模拟 定态一维热传导问题 逆流壁冷式固定床反应器一维模型 固定床反应器的分散模型 Matlab常微分方程求解问题分类 初值问题： 定解附加条件在自变量 的一端 一般形式为： 初值问题的数值解法一 般采用步进法，如 Runge-Kutta法 边值问题： 在自变量两端均给定附加 。</p><p>7、第六章 常微分方程的数值解 常见的近似数值求解方法有欧拉 折线法、阿当姆斯法、龙格-库塔 法与吉尔法。 不受方程类型的限制，可以求任 何形状常微分方程的特解，但求 出的解只能是数值的解函数。 一、解法步骤： 将高阶方程转化为一阶方程组。 （两种情况） 建立相应的函数文件。 调用求解函数。 t,z=odeij(dzdtk,H,z0,tol) 刚性：设有一阶常系数线性微分方程组y=Ay+f ，如果它的Jacobian矩阵的特征值相差十分 悬殊。 odeij问题类型精度适用对象 ode45非刚性中等多数情况下可优先选用，但不能用来 解刚性问题 ode23非刚性较低可用来解中。</p><p>8、数学实验报告1. 题目：某容器盛满水后，底端直径为d0的小孔开启（如图1），根据水力学知识，当水面高度为h时，谁从小孔中流出的速度为v=0.6*（g*h）0.5（其中g为重力加速度，0.6问哦小孔收缩系数）1） 若容器为倒圆锥形（如图1），现测得容器高和上底直径都为1.2m，小孔直径d为3cm，为水从小孔中流完需要多少时间；2min时水面高度是多少。2） 若容器为倒葫芦形（如图2），现测得容器高1.2m，小孔直径d为3cm，由底端（记x=0）向上每隔0.1m测出容器的直径D（m）如表1所示，问水从小孔中流完需要多少时间；2min时水面高度是多少。图1X/m00.10。</p><p>9、第五部分 常微分方程数值解 天津科大海洋学院 2006-10 本章知识要点 数值计算 常微分方程初值问题 常微分方程边值问题 MATLAB 微分方程求解常微分方程的相关函数 ode45 ode23 bvp4c 微分方程在化工模型中的应用 间歇反应器的计算 活塞流反应器的计算 全混流反应器的动态模拟 定态一维热传导问题 逆流壁冷式固定床反应器一维模型 固定床反应器的分散模型 Matlab常微分方程求解问题分类 初值问题： 定解附加条件在自变量 的一端 一般形式为： 初值问题的数值解法一 般采用步进法，如 Runge-Kutta法 边值问题： 在自变量两端均给定附加 条件 。</p><p>10、数学实验报告1. 题目：某容器盛满水后，底端直径为d0的小孔开启（如图1），根据水力学知识，当水面高度为h时，谁从小孔中流出的速度为v=0.6*（g*h）0.5（其中g为重力加速度，0.6问哦小孔收缩系数）1） 若容器为倒圆锥形（如图1），现测得容器高和上底直径都为1.2m，小孔直径d为3cm，为水从小孔中流完需要多少时间；2min时水面高度是多少。2） 若容器为倒葫芦形（如图2），现测得容器高1.2m，小孔直径d为3cm，由底端（记x=0）向上每隔0.1m测出容器的直径D（m）如表1所示，问水从小孔中流完需要多少时间；2min时水面高度是多少。图1X/m00.10。</p><p>11、实验二 常微分方程数值解一、火箭飞行器问题描述小型火箭初始质量为1400kg，其中包括1080kg燃料，火箭竖直向上发射时燃料燃烧率为18kg/s，由此产生32000N的推力，火箭引擎在燃料用尽时关闭，设火箭上升时空气阻力正比于速度的平方，比例系数为0.4kg/m，求引擎关闭瞬间火箭的高度，速度，加速度及火箭达到最高点时的高度和加速度，并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。方法与公式1、简要分析本题的求解需要用到常微分方程，而整个过程又被分为两个阶段：火箭加速上升阶段和燃料燃尽后减速的阶段。由题目易知第一个阶段持续时间T1=10。</p><p>12、常微分方程数值解,理学院 陈丽娟,数值分析第五讲,第五章：常微分方程数值解,5.1 引言,1、常微分方程与解,为n阶常微分方程。,如果函数 在区间a,b内n阶可导，称方程,为方程满足定解条件的解。,第五章：常微分方程数值解,解的图示,第五章：常微分方程数值解,本教材重点讨论定解问题(初值问题）,定解条件（初始条件）,是否能够找到定解问题的解取决于,仅有极少数的方程可以通过“常数变易法”、“可分离变量法”等特殊方法求得初等函数形式的解，绝大部分方程至今无法理论求解。,2、数值解的思想,第五章：常微分方程数值解,（1）将连续变量 离。</p><p>13、第六章 常微分方程的数值解,常见的近似数值求解方法有欧拉折线法、阿当姆斯法、龙格-库塔法与吉尔法。 不受方程类型的限制，可以求任何形状常微分方程的特解，但求出的解只能是数值的解函数。,一、解法步骤：,将高阶方程转化为一阶方程组。 （两种情况） 建立相应的函数文件。 调用求解函数。 t,z=odeij(dzdtk,H,z0,tol) 刚性：设有一阶常系数线性微分方程组y=Ay+f，如果它的Jacobian矩阵的特征值相差十分悬殊。,二、例题 例1 在区间H=0.1,30上满足初值条件x=0.1时， 的特解 （1）转化原方程为一阶方程组。 （2）建立描述上面微分方程组的。</p><p>14、1,第七章 常微分方程数值解,2,第七章 常微分方程数值解,7.1 引言 7.2 简单的单步法及基本概念 7.3 Runge-Kutta方法 7.4 单步法的收敛性与绝对稳定性 7.5 线性多步法 7.6 一阶方程组与高阶方程数值方法,3,7.1 引言,4,7.2简单的单步法及基本概念,7.2.1 Euler法，后退Euler法与梯形法 7.2.2 单步法的局部截断误差 7.2.3 改进Euler法,5,Euler法,6,Euler法的第二种导出方法,7,Euler法的第三种导出方法,8,隐式Euler法,若对初值问题积分形式采用右矩形公式可得：,称为隐式（后退）Euler法。,9,梯形法,若对初值问题中对应的积分形式采用梯形公式可。</p><p>15、第十章 常微分方程数值解,第一节 求解初值问题数值方法的基本原理,第二节 高精度的单步法,第三节 线性多步法,第四节 一阶微分方程组的解法,第五节 边值问题的打靶法和差分法,考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */:,只要 f (x, y) 在a, b R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 对任意定义在 a, b 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述IVP存在唯一解。,要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0 x1 xn= b 处的近似值,节点间距 为步长，通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。,第一。</p><p>16、常微分方程的数值解法,电子科技大学,常微分方程的数值解,引言 简单的数值方法 Runge-Kutta方法 一阶常微分方程组和高阶方程,在高等数学中我们见过以下常微分方程：,6.1 引言,(1)，(2)式称为初值问题，(3)式称为边值问题。,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组：,本章主要研究问题(1)的数值解法，对(2)(4)只作简单介绍。,（其中L为Lipschitz常数）则初值问题（1）存在唯一的连续解。,考虑一阶常微分方程初值问题,其中，y = y(x) 是未知函数，y(x0) = y0 是初值条件，而f (x, y) 是给定的二元函数.,由常微分方程理论知，若f(x)在xa,b连。</p><p>17、常微分方程初值问题的数值解法,8.1 欧拉法与梯形法,8.2 泰勒展开法与龙格-库塔（RungeKutta）方法,8.3 线性多步法,第八章,8.0 概述,8.4 数值算例,本章着重讨论一阶常微分方程初值问题,的数值解法。,8.0 概述,假设解y(x)在区间a,b上是存在而且唯一的， 并且具有充分的光滑度，因此，要求f(x,y)也充 分光滑。初值问题的解析解(理论解）用 表示, 数值解法的精确解用 表示。,常微分方程数值解法一般分为：,（1）一步法：在计算 时，只用到 , 和 ，即前一步的值。,（2）多步法：计算 时，除用到 , 和 以外，还要用 和 ,即前 k步的值。,（3）显。</p><p>18、实验4-常微分方程数值解,1. 求解常微分方程数值方法介绍 （1）一阶微分方程 求方程(1)的数值解, 就是计算(精确)解在一系列离散点 的近似值. 通常取相等的步长h,于是xn=x0+nh(n=1,2,). (a) 欧拉方法 基本思想是在小区间xn,xn+1上用差商 代替方程(1)左端的导数 而方程右端函数f(x,y(x)中的x取xn,xn+1上得某一点, 公式为 （2）,实验4-常微分方程数值解,(b) Runge-Kutta方法 基本思想是用小区间xn,xn+1上的若干个点的导数的线性组合代替方程(2)右端的 , 一般形式为 (3) 满足 并使(3)的局部截断误差 -L级p阶Runge-Kutta公式,实验4-常微分方程数。</p><p>19、东南大学 数学实验 报告 实验内容 常微分方程数值解 一 实验目的 自己编写常微分方程初值问题的常用算法 包括折线法 改进欧拉法 4阶龙格 库塔法 不允许直接使用ode45 并用于对ODE模型的研究 二 预备知识 1 熟悉各种常用ODE数值算法原理 2 了解各种算法的精度 熟悉ode45的用法 三 实验内容与要求 1 分别编写欧拉折线法 改进欧拉法和4阶龙格 库塔法通用算法 命令 欧拉法 func。</p>