常微分方程数值解 课件

1,第七章 常微分方程数值解,2,第七章 常微分方程数值解,7.1 引言 7.2 简单的单步法及基本概念 7.3 Runge-Kutta方法 7.4 单步法的收敛性与绝对稳定性 7.5 线性多步法 7.6 一阶方程组与高阶方程数值方法,3,7.1 引言,4,7.2简单的单步法及基本概念,7.2.1 Euler法，后退Euler法与梯形法 7.2.2 单步法的局部截断误差 7.2.3 改进Euler法,5,Euler法,6,Euler法的第二种导出方法,7,Euler法的第三种导出方法,8,隐式Euler法,若对初值问题积分形式采用右矩形公式可得：,称为隐式（后退）Euler法。,9,梯形法,若对初值问题中对应的积分形式采用梯形公式可得：,10,改进Euler法,将梯形法和Euler法相结合，可得到改进的Euler法：,11,7.4.1 单步法的逐步截断误差与方法的收敛性,称 为方法的累计误差。,为了讨论累计误差，首先引入逐步误差估计的概念：假定用某公式计算当前近似值 时用到的前面一步（或多步）的值是准确值，此时的累计误差称为第n+1部的逐步误差。,12,7.3 Runge-Kutta方法,7.3.1 显式Runge-Kutta法的一般形式 7.3.2 二、三阶显式R-K方法 7.3.3 四阶R-K方法及步长的自动选择,13,14,然后通过合适地选取诸松弛参数来获得高精度公式:（回顾Gauss求积公式的获得）,事实上，我们有关于“计算函数值的个数与方法的阶数之间”的关系如右，因此四阶Runge-Kutta法是最经济的。,15,四阶Runge-Kutta法：每推进一步须计算四次函数值的4阶单步法。,16,7.4 单步法的收敛性与绝对稳定性,7.4.1 单步法的收敛性 7.4.2 绝对稳定性,17,7.4.2 绝对稳定性,18,19,20,21,22,23,24,7.5 线性多步法,7.5.1 线性多步法 7.5.2 Adams显式与隐式方法 7.5.3 Adams预测-校正方法 7.5.4 Milne方法与Hamming方法,25,7.5.1 线性多步法,前面介绍的一步法（如Eular公式、Runge-Kutta法），在提高精度时，需要增加中间函数值的计算。能否利用更多的已算出的函数值（构造Gauss-Seidel迭代法时曾用过此思想）来构造高精度的算法。其中较简单的一种形式是线性多步法的一般形式,26,27,28,得p+1个方程，2k个未知参数，令p+1=2k，可以证明其解的存在性，此时有：,29,30,7.5.2 Adams显式与隐式方法,31,Adams显式方法,32,因此构造4步显式Adams公式：,33,Adams隐式方法,34,注1 出于误差和稳定性方面的考虑，通常构造预估校正格式：,35,注 2:研究表明k步显式Adams方法是k阶的：,36,注3 用k步法计算时须先用其它方法（如Runge-Kutta法）求出前面k个值作为初值，此后每推进一步只须计算一个新的f值。 继而考虑Adams方法的稳定性：,37,Adams方法的稳定性,38,Adams方法的稳定性,39,7.5.3 Adams预测-校正方法,Adams修正的预估校正公式：利用4步Adams显式和3步隐式公式具有同阶截断误差但系数不同的特点，将截断误差用显式公式（预估值，用表示）和隐式公式（校正值，用表示）表示出来，继而进行补足，具体做法如下：,40,41,于是构造修正的预估校正公式： 预估及其修正：,校正及其修正：,42,7.5.4 Milne方法与Hamming方法,43,如 Simpson公式：,局部截断误差为：,Hamming公式：,局部截断误差为：,44,例：利用Milne- Hamming公式构造修正的预估校正公式的推导：,由局部误差估计公式：,相减得：,所以：,45,于是构造修正的预估校正公式：,