定积分的换元法

定积分的换元法Tag内容描述：<p>1、定积分之换元法 与分部积分法 考察定积分 记变上限定积分 积分上限函数及其导数 变下限定积分 变上限定积分和变下限定积分通称为变限定积分 (x)和(x)是a,b上的连续连续 函数。 定理 如果函数f(x)在区间 a,b上连续，则变上限定积分 在a,b上可导导，且它的导导数是 即(x)是f(x)在a,b上的一个原函数。 证 由积分中值定理得 例1 求下列函数的导数 解 解 解 （1 ） （2） 例1 求下列函数的导数 解 （3 ） 解 （4 ） 如果变速直线运动物体的运动方程是如果变速直线运动物体的运动方程是 S=S=S(tS(t) )，则在时间，则在时间 段段TT 1 1 ,T,T 2 2 。</p><p>2、第二类换元法 第一类换元法 设 可导, 则有 第三章 积分的计算 3-1 不定积分的换元法 1. 不定积分第一换元法 例1. 求 解: 令则故 原式 = 注: 当时 例2. 求 解: 令则 想到公式 例3. 求 想到 解: (凑微分法或配元法 ) 例4. 求 解: 类似 例5. 求 解: 原式 = 类似地 常用的几种配元形式: 万 能 凑 幂 法 例6. 求 解: 原式 = 例7. 求 解: 原式 = 例8. 求 解: 原式 = 例9. 求 解法1 解法2 两法结果一样 例10. 求 解法1 解法 2 同样可证 或 例11 . 求 解: 例12 求 解 小结常用简化技巧: (1) 分项积分: (2) 降低幂次: (3) 统一函数: 利用三角公式 ;。</p><p>3、第三节 定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法 二、分部积分法 三、小结 定理 一、定积分的换元法 证 应用换元公式时应注意: （1） （2） 例1 计算 解令 例2 计算 解 例3 计算 解原式 例4 计算 解令 原式 证 奇函数 例6 计算 解原式 偶函数 单位圆的面积 证 （1）设 （2）设 定积分的分部积分公式 推导 二、分部积分公式 例8 计算 解令 则 例9 计算 解 例10 计算 解 例11 设 求 解 例12 证明定积分公式 为正偶数 为大于1的正奇数 证 设 积分 关于下标的递推公式 直到下标减到0或1为止 于是 几个特殊积分、定积分的几个等式 定积。</p><p>4、2,3,解,4,解,5,6,一、定积分的换元法 Substitution Method,定理1. 设函数,单值函数,满足:,1),2) 在,上,证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,则,则,7,说明:,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元(凑微分)不换限,8,例1. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,9,例2 计算,解,令,10,例3 计算,解,11,例4 计算,解,原式,12,例5 计算,解,令,原式,13,证,奇偶函数在对称区间上的定积分,14,15,奇函数,例7。</p><p>5、第二节 不定积分的换元积分法,一、不定积分的第一类换元法,二、不定积分的第二类换元法,三、基本积分表 (2),问题,解决方法,利用一阶微分形式不变性 .,解,一、第一类换元法,?,在一般情况下：,设,则,由此可得换元法定理,定理1 设 f(u) 具有原函数 F (u) , u= (x) 有连续 导数 , 则有换元公式：,不定积分的第一类换元法 凑微分法 .,说明 使用此公式的关键在于将,化为,例1 求下列不定积分,一般地,4) 解,5) 解,例 求,解法1,解法2,解法3,观察重点不同，所得结论形式可能不同.,例2 求,解,例3 1) 求,例4 1) 求,2) 求,思考：求不定积分,求,例5 求,。</p><p>6、1,第三节 定积分的换元法和分部积分法,一、换元公式,三、小结 思考题,二、分部积分公式,不定积分,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,2,定理,一、换元公式,3,证,4,5,说明:,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,6,例1 计算,解,令,7,例2 计算,解,8,例3 计算,解,原式,9,例4 计算,解,令,原式,10,证,11,12,奇函数,例6 计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,13,证,（1）设,14,（2）设,15,16,推导,二、分部积分公式,17,例8 计。</p><p>7、不定积分的换元积分法,二 、第二类换元积分法,一、第一类换元积分法（凑积分法）,三 、基本积分表（ ）,第23讲,第4章,一、第一类换元积分法 1. 引例,联想公式：,u du ?,( a 0, n为自然数）,解,验证：, 凑微分法,2. 定理1(第一换元积分法),则, 换元公式,换元思想:,设变换,化积分为易于求解的形式.,即,关键：,如何选择 u= (x) ?,例1,解,例2,解,解,原式,例3,例4,解,例5,例6,(1),常见的选 u= (x) 规律,(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),例7,求下列不定积分：,常见的选 u= (x) 规律(续1),例8,类似地，有,例9,解,类似有,例10,常见的选 u= (x。</p><p>8、一、换元积分法 二、常用的定积分公式及应用,第三节 定积分的换元积分,1.定理 设函数 在 上连续；函数 在 （或 ）上有连续导数； 当 在 在 （或 ）上变化时， 在 上变化，且 ， ， 则有,上式叫做定积分的换元公式.,一、换元积分法,证 设 ，,则,2.说明 (1)定积分的换元公式中，用 把原变 量 换成新变量 时（这如同不定积分第二类 换元），积分限也要换成相应于新变量 的积 分限，但 的对应值可能不唯一，只要任取一,值即可.,(3)换元公式也可反过来使用，即,(2)求出换元后的 的一个原函数 时，只要将新变量 的积分上下限分 别代入 中相减即。</p><p>9、,定积分的换元法,上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。,.,先来看一个例子,例1,换元求不定积分,令,则,故,.,为去掉根号,令,则,当x从0连续地增加到。</p><p>10、定积分的换元法,上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。,先来看一个例子,例1,换元求不定积分,令,则,故,为去掉根号,令,则,当 x 从0连续地增加到4时，t 相。</p><p>11、定积分的代换方法。在前一节中，我们建立了微积分中两个基本问题之间联系的基本微积分公式。用这个公式计算定积分的关键是求不定积分。代换法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法。如果这两种方法可以直接应用到定积分的计算中，我相信定积分的计算会得到简化。现在我们将建立定积分的转换积分和部分积分的公式。让我们先来看一个例子，例子1，改变元素来求不定积分，所以，为了去掉根符号，当x从0到4连续增加时，t相应地。</p><p>12、第二类换元法,第二类换元公式,定理,一、换元公式,证明 由假设知，f(x)在区间a, b上是连续，因而是可积的； f (t)(t)在区间, (或, )上也是连续的，因而是可积的 假设F(x)是f (x)的一个原函数，则,F(b)F(a),另一方面，因为F(t)F(t)(t)f(t)(t)，所以 F(t)是f (t)(t)的一个原函数，从而, F ( ) F() F(b)F(a),因此。</p><p>13、1,定积分的换元法,上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简。</p>