定积分的性质

定积分的性质Tag内容描述：<p>1、定积分的性质与计算方法摘要: 定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。关键词:定积分 性质 计算方法定积分的定义设函数f(x) 在区间a,b上连续，将区间a,b分成n个子区间x0,x1, (x1,x2, (x2,x3, , (xn-1,xn，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：x1=x1-x0, x2=x2-x1, , xn=xn-xn-1。在每个子区间(xi-1,xi中任取一点（1,2,.,n），作和式。设=maxx1, x2, , xn（即是最大的区间。</p><p>2、6.1 定积分的概念 第1页 1 4.3.1 定积分的定义 4.3.2 定积分的基本性质 6.1 定积分的概念 第2页 2 例: 求曲线 yx2、直线 x1和 x轴所围成的曲边三角形的面积 。 x y O yx2 1 4.3.1 引出定积分定义的例题 6.1 定积分的概念 第3页 3 x y O yx2 1 (4)取极限 取Sn的极限，得曲边三角形面积： (1)分割 (2)近似 (3)求和 6.1 定积分的概念 第4页 4 x y O yx2 1 (4)取极限 取Sn的极限，得曲边三角形面积： (1)分割 (2)近似 (3)求和 6.1 定积分的概念 第5页 5 x y O yx2 1 (4)取极限 取Sn的极限，得曲边三角形面积： (1)分割 (2)近似 (3)求和 6.1 定。</p><p>3、对定积分的补充规定: 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小 说明 定积分的性质 一、基本内容 证 （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1 性质2 证 性质1+性质2 得： 推广： 即线性组合的定积分等于定积分的线性组合 说明定积分也具有线性运算性质 补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 则 （定积分对于积分区间具有可加性） 性质3 性质5（非负性） 证 性质4 令 于是 性质5的推论：（比较定理） （1） （2） 说明： 可积性是显然的. 解 证 （此性质可用于估计积分值的大致范围） 解 性质6（估。</p><p>4、1,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,两点规定,1,2,性质1（加减法则）,函数代数和（差）的定积分等于函数定积分的代数和（差），即,（此性质可以推广到有限多个函数加减的情况）,证,3,性质2（数乘运算）,积分函数的常数因子可提到积分号外，即,4,性质3（定积分可加性）,对于任意三个数a，b，c，总有下式成立：,证：若c介于a、b之间时，即ac。</p><p>5、1,第六章 定积分,6.1定积分的概念与性质 6.2微积分基本定理 6.3定积分计算方法 6.4定积分的应用 6.5广义积分初步,2,6.1定积分的概念与性质,一、曲边梯形的面积 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义 四、定积分的基本性质 在本节中我们将从一些实际问题的计算里提炼出一类关于“和式极限”计算的数学问题,从而引申出定积分的概念,并探讨它的性质、几何意义。,3,引例：曲边梯形的面积,曲边梯形的概念:由连续曲线 y=f(x) 与直线x=a,x=b以及x轴围成的平面图形叫曲边梯形。 如何计算曲边梯形的面积？(不规则图形的面积),初等数学中对规则图。</p><p>6、第二节 定积分的性质和基本定理用求积分和式的极限的方法来计算定积分不是很方便，在很情况下难以求出定积分的值。因此，我们在定积分定义的基础上，讨论它的各种性质，揭示定积分与微分的内在联系，寻找定积分的有效的，简便的计算方法。2.1 定积分的基本性质一、定积分的基本性质性质1 ba1dx=badx=b-a证 f(i）xixi (b-a)=b-a所以ba1dx=badx=b-a性质2(线性运算法则)，设f(x),g(x)在a,b上可积，对任何常数、，则f(x)+g(x)在a,b上可积，且baf(x)+g(x)dx=baf(x)dx+bag(x)dx证：设F(x)=f(x)+g(x),由F(i）xif(i)+g(i）xif(i）xig(i）xibaf(x)d。</p><p>7、1,第六章 定积分,实例：求曲边梯形的面积,一、问题的提出,第一节 定积分的概念与性质,2,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,3,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,4,曲边梯形如图所示，,分割,近似,5,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,求和,取极限,（1）分割,（3）求和,（4）极限,（2）近似,6,二、定积分的定义,定义,7,记为,积分上限,积分下限,积分和,8,说明：,1.,2. 有界是可积的必要条件,无界函数一定不可积；。</p><p>8、第1页,6-2 定积分的性质 中值定理,第2页,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,一、基本内容,第3页,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,第4页,证,性质2,第5页,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,例 若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3,第6页,证,性质4,性质5,第7页,解,令,于是,第8页,性质5的推论：,证,（1）,第9页,证,说明： 可积性是显然的.,性质5的推论：,（2）,第10页,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,第11页,解,第12页,解,第13页,。</p><p>9、高等数学 第五章 定积分及其应用,8. 广义积分,14. 典型例题回顾,9. 定积分应用的元素法,10. 平面图形的面积,11. 空间立体的体积,12. 平面曲线的弧长,13. 定积分的物理应用,2. 定积分的定义,3. 定积分的性质,1. 问题的背景,5. 微积分基本定理,4. 变上限函数,6. 定积分换元积分法,7. 定积分分部积分法, 积分域的几何度量, 线性性质,说明,3. 定积分的性质,证, 积分域的几何度量, 线性性质, 对积分域的可加性,重要说明,3 定积分的性质, 比较不等式, 积分域的几何度量, 线性性质, 对积分域的可加性,3 定积分的性质,证明要点, 比较不等式, 积分。</p><p>10、对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,一、基本内容,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,证,性质2,性质1、2统称为线性性，即,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,例 若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3（区间可加性）,证,性质4,性质5,证,性质5的推论：,证,（1）,命题 设,上连续、非负,证,由连续性和极限的局部保号性，,为区间端点时类似证明（取单侧邻域）.,将性质5加强便得到如下命题：,且不恒为零，,解,令,于是,推论：,证,说明：,性质5的推论：,（2。</p><p>11、一元微积分学,大 学 数 学（一）,第六讲 定积分的性质及计算,第五、六章 一元函数的积分,本章学习要求： 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. 熟悉牛顿莱布尼兹公式（微积分基本定理）. 理解广义积分的概念.能运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分表达和计算一些量：平面图形的面积、旋转体的体积。</p>