多元复合函数

多元复合函数Tag内容描述：<p>1、第4节 一元复合函数 求导法则 本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 微分法则 多元复合函数的求导法则 第九章 高等数学 * * 2 2 目录 上页 下页 返回 结束 一、多元复合函数求导的链式法则 定理. 若函数 处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数 证: 设 t 取增量t , 则相应中间变量 且有链式法则 有增量u ,v , 高等数学 * * 3 3 目录 上页 下页 返回 结束 ( 全导数公式 ) (t0 时,根式前加“” 号) 高等数学 * * 4 4 目录 上页 下页 返回 结束 若定理中 说明: 例如: 易知: 但复合函数 偏导数连续减弱为 偏导数。</p><p>2、第四节 一元复合函数 求导法则 本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 微分法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 第九章 一、多元复合函数求导的链式法则 定理. 若函数 处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数 证: 设 t 取增量t , 则相应中间变量 且有链式法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量u ,v , ( 全导数公式 ) (t0 时,根式前加“”号) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若定理中 说明: 例如: 易知: 但复合函数 偏导数连续减弱为 偏导数存在, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 。</p><p>3、2,第四节 多元复合函数的求导法则,一元复合函数,求导法则,推广,（1）多元复合函数求导的链式法则,（2）多元复合函数的全微分,微分法则,3,一. 复合函数求导的链式法则,定理 如果函数 都在点 可导,函数,在点 处可微,在点,则复合函数,证: 设 t 取增量,则相应中间变量有增量,可导, 且有链式法则,4,令 ,则有,( 全导数公式 ),时,根式前加“”号),5,推广:,1）中间变量多于两个的情形。例如,则在它们都可微的条件下,2）中间变量是多元函数的情形。例如,则在它们都可微的条件下,6,又如,当它们 都具有可微条件时，则有,注意:,这里,表示固定 y 对 x 。</p><p>4、对求多元复合函数偏导数问题的探讨在学习如何对多元复合函数求偏导数过程中，由于多元复合函数的复合关系比较复杂，如果仅仅去记忆求偏导数公式，往往会引起混淆，因此，就要去寻找多元复合函数求偏导数公式的规律，下面从中间变量均是二元函数的多元复合函数偏导数公式中寻找规律。设,则 从上述公式中可以推得下面三个规律：（1）有几个自变量就有几个求导公式；（2）有几个中间变量，每个公式中就有几项相加；（3）公式中的每一项都是函数对中间变量的（偏）导数乘以中间变量对自变量的（偏）导数。用这三个规律可以写出任何形式的的多。</p><p>5、第四节 多元复合函数与 隐函数的微分法,一、多元复合函数的求导法则 三、小结,证,一、多元复合函数的求导法则 1、链式法则,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为全导数.,上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,链式法则如图示,特殊地,即,令,其中,两者的区别,区别类似,解,解,解,令,记,同理有,于是,全微分形式不变形的实质： 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,2、全微分形式不变性,解,1、链式法则（分三种情况）,2、全微分形式不变性,（特别要注意课。</p><p>6、第四节,一元复合函数,求导法则,微分法则,多元复合函数的求导法则,第八章,本节内容:,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分形式不变性,一、链式法则,证,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为全导数.,上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,链式法则如图示,解,解,即,令,两者的区别,区别类似,解,令,记,同理有,于是,全微分形式不变形的实质： 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,二、全微分形式不变性,1、链式法则（分三种情况）,2、。</p><p>7、第四节 多元复合函数的 求导法则,一、链式法则,二、全微分形式不变性,三、小结 思考题,证,一、链式法则,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为全导数.,上定理还可推广到中间变量不是一元函数,而是多元函数的情况：,链式法则如图示,特殊地,即,令,其中,两者的区别,区别类似,解,解,解,令,记,同理有,于是,二、全微分形式不变性,解,1、链式法则（分三种情况）,2、全微分形式不变性,（特别要注意课中所讲的特殊情况）,（理解其实质）,三、小结,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案。</p><p>8、第四节 多元复合函数求导法则,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分 形式不变性,一、链式法则,定理,且其导数可用下列公式计算,一元:,链式法则,证,t0 时, 取“”号,故可微，即,有连续偏导数，,例1 设 而,其中 可导，求,解,1.上定理的结论可推广到,以上公式中的导数 称为全导数.,推广,中间变量多于两个的情况:,在对应点 的两个,偏导数存在,且可用下列公式计算:,具有对x和y的偏导数，,且函数,则复合函数,2.上定理还可推广到 中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,复合结构如图示,链式法则的规律：,“连线相乘，分线。</p><p>9、第四节 多元复合函数求导法则,一 链式法则,二 全微分形式不变性,1 复合函数的中间变量为一元函数的情形,则,一、链式法则,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为全导数.,2 复合函数的中间变量为多元函数的情形,定理2,链式法则如图示,两者的区别,区别类似,解,解,解,令,记,同理有,例,3,设,，,具有二阶,连续偏导数，求,和,.,于是,二、全微分形式不变性,全微分形式不变形的实质： 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,解。</p><p>10、第四节 多元复合函数的求导法则,复习：一元复合函数的求导法则,由,复合而成的复合函数的导数,即：函数的导数等于函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数。,一、多元复合函数的求导法则 链式法则,情形 中间变量均为一元函数,设,则函数,的导数,这种导数称为全导数,则,推广:,的导数,例1. 设,求全导数,解:,情形 中间变量是多元函数的情形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,则复合函数,的偏导数,设,则,的偏导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推广:,例2. 设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常采用下面记号：,在多元复合函数求。</p><p>11、第四节 多元复合函数 的求导法则,一 链式法则 二 全微分形式不变性 三 小结,第九章,复习：一元复合函数求导的链式法则,y x t,推广:多元复合函数求导的链式法则,1.中间变量均为一元函数; 2.中间变量均为多元函数; 3.中间变量既有一元函数又有多元函数.,一、链式法则,复合函数的中间变量均为一元函数的,证,的情形.,定理1,可用下列公式计算:,具有连续偏导数,函数z = f (u, v)在对应点(u, v),情形1,先研究,则,复合函数,在对应点t可导,且其导数,全导数,情形.,全导数计算公式,可微,由于函数z = f (u, v)在点(u, v),有连续偏导数,复合函数的中间。</p><p>12、第四节 多元复合函数求导法则,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分 形式不变性,一、链式法则,定理,且其导数可用下列公式计算,一元:,链式法则,证,t0 时, 取“”号,故可微，即,有连续偏导数，,例1 设 而,其中 可导，求,解,1.上定理的结论可推广到,以上公式中的导数 称为全导数.,推广,中间变量多于两个的情况:,在对应点 的两个,偏导数存在,且可用下列公式计算:,具有对x和y的偏导数，,且函数,则复合函数,2.上定理还可推广到 中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,复合结构如图示,链式法则的规律：,“连线相乘，分线。</p><p>13、一、多元复合函数求导法则,二、隐函数的求导公式,第四节 多元复合函数与 隐函数的微分法,第九章 多元函数微分学,一、多元复合函数求导法则,定理,设一元函数 u = (x) 与 v = (x) 在 x 处均可导，,且为,处有一阶连续偏导数,二元函数 z = f (x , y)在 x 的对应点(u , v),对 x 的导数存在，,则复合函数,证,给 x 以增量,从而 z = f (u , v)。</p><p>14、6.4 多元复合函数与隐函数 求偏导数方法,1,一、多元复合函数求偏导数方法,三、多元隐函数求偏导数方法,二、全微分形式不变性,2,一、多元复合函数求导的链式法则,定理1,则复合函数,且有,在点 处的偏导数存在,在点 处偏导数存在,3,证 设 x 的改变量x ,则相应中间变量u ,v,有增量u ,v ,而 y = 0 ,从而 有改变量,由 可微知,令,则有,因此。</p>