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第四节 多元复合函数的求导法则,复习：一元复合函数的求导法则,由,复合而成的复合函数的导数,即：函数的导数等于函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数。,一、多元复合函数的求导法则 链式法则,情形 中间变量均为一元函数,设,则函数,的导数,这种导数称为全导数,则,推广:,的导数,例1. 设,求全导数,解:,情形 中间变量是多元函数的情形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,则复合函数,的偏导数,设,则,的偏导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推广:,例2. 设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常采用下面记号：,在多元复合函数求导中，为方便起见，,解,注意：,例3 设,，其中,具有二阶连续偏导数，求：,.,解,例4 设,，其中,具有二阶连续,偏导数，求：,例4 设,求：,情形 中间变量既有一元函数，又有多元函数。,则函数,设,z,解：,例5.设,求,例5,求,设,另解：,题设函数可看作由,复合而成，利用情形中的公式可得同样结果,或者先式,两边取对数，后求得,偏导数,多元复合函数求导，遵循一个如下法则：,设复合函数有n个中间变量,这里变化率即为偏导数（或导数）,（因变量对 的变化率）,（ 对自变量 变化率）,m个自变量,。,例如 设,，而,，则,再如,注意:,这里,表示固定 y 对x 求导,表示固定 v 对x求导,与,不同,例6.设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 设,求,解：,二、多元复合函数的全微分法则,可见无论 u , v 是自变量还是中间变量,其全微分表达,形式都一样,这一性质叫做全微分形式不变性。,1. 全微分形式不变性,设 u , v 是某些自变量的多元函数，则有,（C为常数）；,证明(3),由全微分形式不变性，有,2. 全微分运算法则,例8. 设 ，求一阶偏导数 .,解：,即,设,例9.,解：,即,求全微分。,习题P7576,3, 5, 6(提示), 8(1)(4), 9, 11.,思考与练习,1.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求,解：,2. 设,f 具有二阶连续偏导数,求,解: 令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 已知,求,解: 由,两边对 x 求导, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.,求,解: 由题设,(2001考研),机动 目录 上页 下
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