二次型的标准形

二次型的标准形Tag内容描述：<p>1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 所谓方阵 可以对角化 , 是指与对角阵相似 . 即存在可逆矩阵使 成立. 1. 可对角化矩阵的性质 即存在可逆矩阵 使 成立，那么： 若与对角阵相似 , 即是A的 n个特征值;而P的第i列 是 的对应于特征值 的特征向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 说明 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似 推论 如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 能对角化 2. 矩阵可对。</p><p>2、第六章 二次型 本章主要讨论二次型的基本概念及 二次型的标准化问题。 6.1 二次型及其标准化 6.2 用配方法化二次型为标准型 6.3 正定二次型 第一节第一节 二次型及其标准化二次型及其标准化 第二节第二节 用配方法化二用配方法化二 次型为标准型次型为标准型 用正交变换化二次型成标准形，具有保持几 何形状不变的优点。如果不限于用正交变换， 那么还可以有多种方法（对应有多个可逆的线 性变换）把二次型化成标准形。这里只介绍拉 格朗日配方法。下面举例说明这种方法。 第三节第三节正定二次型正定二次型 一、惯性定理 二次型的标准形。</p><p>3、fengyuanbipt.edu.cn 对实对称矩阵A，求正交矩阵P使得P-1AP 为对角阵的具体步骤为： 将线性无关的特征向量正交化; 3. 将正交的特征向量单位化;4. 2. 1. 5. 以它们为列向量构成P，则P为正交矩阵，且 施密特正交化 方法（P114） 对称矩阵对应于不同特征值 的特征向量正交。 只需将同一个 特征值的特征 向量正交化 P的列向量是两两正 交的单位向量 P-1=PT fengyuanbipt.edu.cn fengyuanbipt.edu.cn 一、二次型及其标准形的概念 称为二次型. 1. 二次型 fengyuanbipt.edu.cn 一、二次型及其标准形的概念 例如, 都为实二次型. 1. 二次型 没有平。</p><p>4、6.1 6.1 实二次型及其标准形实二次型及其标准形 一、二次型及其矩阵一、二次型及其矩阵 二、合同变换二、合同变换 三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形 四、用正交变换化二次型为标准形四、用正交变换化二次型为标准形 一、二次型及其矩阵 称为 n 元二次型. 若aij 为实数，则称为实二次型. 若aij 为复数，则称为复二次型. 则 f (x1, , xn) = X TAX. A: 二次型 f (x1, , xn) 的矩阵. 例1 f (x1, x2 , x3) = 2x12 3x22 + 4x32 - 2 x1x2 + 3x2 x3 A: f (x1, x2 , x3) 的矩阵 若令 则有 f (x1, x2 , x3) = XTBX 但 BT B。</p><p>5、Ch 5 二次型,掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念及惯性定理 熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，并会用配方法化二次型为标准形 了解二次型的分类，熟练掌握二次型及其对应矩阵的正定性与判别法,问题的提出：在平面解析几何中讨论的有心二次曲线，若中心与坐标原点重合，则一般方程是,上式的左端就是x，y的一个二次齐次多项式 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们通过坐标变换，把方程化为只含平方项没有乘积项的标准方程， 在空间解析几何中二次曲面的研究也有类似的问题 把二。</p><p>6、辽 东 学 院 教 案 纸课程：高等代数 第5.3.4页3 C、R上二次型的规范形教学目的 通过讲授，使学生理解C、R上二次型规范形的概念，基本掌握实二次型的惯性定理教学内容上节已经指出，数域F上的n元二次型的标准形未必唯一因此，探索二次型的唯一简化形式是二次型研究的重要课题本节讨论复数域、实数域上二次型简化的唯一性问题3.1 复二次型的规范形设是一个复系数的二次型由定理5.2.1，经过一适当的非退化线性替换后，变成标准形 (1)其中r是的秩由于复数总可以开平方，因而再作一非退化线性替换， (2)(1)就变成 (3)(3)称为复二次型的规范形。</p><p>7、第六章,二次型及其标准型,6.3 正定二次型与正定矩阵,6.2 化二次型为标准型,6.1 二次型及其矩阵表示,6.1 二次型及其标准形,引言,判别下面方程的几何图形是什么？,作旋转变换,代入(1)左边，化为：,见下图,称为n维(或n元)的二次型.,定义,含有n个变量 的二次齐次函数,关于二次型的讨论永远约定在实数范围内进行！,例如：,都是二次型。,不是二次型。,取,则,则（1）式可以表示为,二次型用和号表示,令,则,其中 为对称矩阵。,二次型的矩阵表示（重点）,注,1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。,2、其对角线上的元素,恰好是,的系数。,3、,的系数的一。</p><p>8、二次型的标准形:,5.2 二次型的标准形与规范形,标准形的矩阵:,将二次型化为标准形:,1. 配方法,2. 正交变换法,正交变换：,2. 初等变换法,方法：,命题1 二次型的标准形不唯一.,命题2 任一二次型都可经可逆的线性变换化为规范形：,秩： 正惯性指数： 负惯性指数： 符号差：,矩阵 A 的正、负惯性指数,定理5.4（惯性定理）任一二次型都可经可逆的线性变换化为 规范形，且规范性唯一.,5.2 over。</p><p>9、5 二次型及其标准形,一、二次型及其标准形的概念,二、二次型的表示方法,三、合同矩阵,四、化二次型为标准形,一、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,例如,都为二次型 .,例如,为二次型的标准形.,称为二次型的规范形 ,例如,为二次型的规范形.,1用和号表示,对二次型,二、二次型的表示方法,2用矩阵表示,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,二次型的矩阵及秩,解,例2,三、合同矩阵,四、化二次型为标准形,对于。</p><p>10、6.2从二次型的标准形、某二次形通过非简并性线性变换得到的标准形，把只包含二次项的二次形称为标准形(或算式) :对应于标准形的矩阵必定是对角排列，一、二次型的标准形和规范形，特别是把如下的二次型称为规范形称为此二次型的标准型。 变成、标准型。目标是求出非简并性的线性变换，由于是二次型，所以上述目标是、一次型的标准形和规范形，将对、a的运算称为对a的契约变换。 二、矩阵的契约称为a和b的契约，可逆矩。</p><p>11、第二节,标准形的定义,正交线性替换法,配方法,二次型的标准形与规范形,初等变换法,二次型的规范形,一、标准形的定义,定义 二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 经过非退化,线性替换 x= Cy所变成的如下形式(只含平方项),yTBy = d1y12 + d2y22 + + dryr2 ( r n ) (4.5),的二次型称为二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 的标准形。</p>