二重积分的计算法

二重积分的计算法Tag内容描述：<p>1、利用极坐标计算二重积分 将典型小区域近似看作矩形（面积=长宽） 则 面积元素 扇形 弧长 径向 宽度 则 二重积分极坐标表达式 一、极坐标系下二重积分表达式 二、极坐标下二重积分化为二次积分 区域特征如图 （1）极点O在区域D的边界曲线之外时 （2）极点O恰在区域D的边界曲线之上时 区域特征如图 极坐标系下区域的面积 区域特征如图 （3）极点O在区域D的边界曲线之内时 小结 一、极坐标计算二重积分的步骤： （1）区域D表达为极坐标范围 （2）直角坐标系下二重积分化为极坐标系下二重积分 （3）极坐标系下二重积分化为极坐标系下二次积分 。</p><p>2、利用直角坐标系计算二重积分 2/299.2 二重积分的计算法 其中函数 、 在区间 上连续. (1)X型域 预备知识:X型,Y型区域 2.公式推导 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 1.X型,Y型区域3.几点说明 （一）直角坐标系下计算 【X型区域的特点】 穿过区域且平行于y 轴的直线与区 域边界相交不多于两个交点. 3/299.2 二重积分的计算法 (2)Y型域 2.公式推导 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 1.X型,Y型区域3.几点说明 4/299.2 二重积分的计算法 (3)既非X型域也非Y型域如图 在分割后的三个区。</p><p>3、1,第二节 二重积分的计算法,计算二重积分的方法:,二重积分,累次积分(即两次定积分).,2,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分可写为,则面积元素为,一、利用直角坐标系计算二重积分,3,(2)如果积分区域为：,其中函数 、 在区间 上连续.,X型,4,回忆：平行截面面积为已知的立体的体积,立体体积,5,计算截面面积,( 红色部分即A(x0) ),以D为底,以曲面,为顶的曲顶柱体的体积.,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.,用二重积分的几何意义说明其计算法:,是区间,为曲边的曲边梯形.,为底,曲线,6,先对y后对x的二。</p><p>4、如果积分区域为：,其中函数 、 在区间 上连续.,一、利用直角坐标系计算二重积分,X型,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,如果积分区域为：,Y型,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,解,积分区域如图,解,积分区域如图,解,原式,解,练习1：,注：,注：,练习2：,练习2：,比较麻烦；要仔细选择积分次序。,练习3：,练习3：,若先对y积分：,比较麻。</p><p>5、第二节 二重积分的计算法,一 问题的提出 二 直角坐标计算二重积分利用 三 利用极坐标计算二重积分 四 小结,按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限,然而，用定义来计算二重积分，一般情况 下是非常麻烦的.,那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我 们今天所要研究的课题。下面介绍:,一、问题的提出,二、利用直角坐标计算二重积分,二重积分仅与被积函数及积分域有 关,为此, 先介绍： 1、积分域 D:,如果积分区域为：,X型,X型区域的特点：a、平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个； b、,（1）X-型域,（2）Y-型域：,Y型,Y型区。</p><p>6、第二节 二重积分的计算法,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,三、小结 思考题,一、利用直角坐标计算二重积分,如果积分区域为：,其中函数 、 在区间 上连续.,X型,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,如果积分区域为：,Y型,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割., 画积分域；, 投影：,x,y,o,x,a,b,D, 发射：,解,解,x,y。</p><p>7、第一节 二重积分的概念和性质,第二节 二重积分的计算法,第九章 二重积分,(一)利用直角坐标系计算二重积分,(二)利用极坐标系计算二重积分,9.2 二重积分的计算法（一）,-利用直角坐标系计算二重积分,其中函数 、 在区间 上连续.,(1)X型域,预备知识:X型,Y型区域,2.公式推导,三、利用对称性奇偶性,二、交换二次积分次序,一、直角坐标系下计算,1.X型,Y型区域,3.几点说明,（一）直角坐标系下计算,【X型区域的特点】 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,(2)Y型域,2.公式推导,三、利用对称性奇偶性,二、交换二次积分次序,一。</p><p>8、2019年6月25日星期二,1,第二节 二重积分的计算方法,第八章,(Calculation of Double Integral),一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,三、小结与思考练习,2019年6月25日星期二,2,解法: 类似定积分解决问题的思想:,复习.求曲顶柱体的体积 I,给定曲顶柱体:,底： xoy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求体积.,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,2019年6月25日星期二,3,一、利用直角坐标计算二重积分,曲顶柱体的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,设曲顶。</p><p>9、第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,故二重积分可写为,则面积元素为,若f（x，y）在有界闭区域D上可积，则积分值 与区域D的分割方式及点 的取法无关。,一、利用直角坐标系计算二重积分,设曲顶柱体的底可表示为:,X型积分区域,其中函数 、 在区间 上连续.,1.X型积分区域：,则X型区域的二重积分可按如下累次积分计算,同样, 曲顶柱体的底可表示为,Y型,2.Y型积分区域：,则Y型区域的二重积分可按如下累次积分计算,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区。</p><p>10、第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二重积分的计算法,二、利用极坐标计算二重积分,三、二重积分的换元法,第十章,设曲顶柱的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,一、利用直角坐标计算二重积分,同样, 曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .,由于,说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 ,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,(2) 若积分域。</p><p>11、第二节 二重积分的计算方法 教学目的：利用直角坐标系把二重积分化为二次积分 教学重难点：将积分区域用不等式组表示 教 法:讲授 课 时:4 仅仅依靠二重积分的定义及其性质，不可能对一般的二重积分进行计算。本节。</p><p>12、一 利用直角坐标计算二重积分 三 小结思考题 第二节二重积分的计算法 二 极坐标系下二重积分的计算 复习与回顾 2 回顾一元函数定积分的应用 平行截面面积为已知的立体的体积的求法 体积元素 体积为 在点x处的平行截。</p><p>13、1 第八章重积分 8 2二重积分的计算法 8 2 1利用直角坐标计算二重积分 当积分区域是X型区域时 当积分区域是Y型区域时 2 设f x y 在D上连续 X 型 3 Y 型 D 4 解积分区域如图所示 应先积x 后积y 5 应先积y 后积x 评注本例中两题不能交换积分次序 因为先积分的原函数不能用初等函数表达出来 从而二重积分计算不出来 解积分区域如图所示 6 例5求两个底圆半径都等于R的直交圆。</p><p>14、第二节 一 利用直角坐标计算二重积分 二 利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 X 型积分区域 Y 型积分区域 将二重积分化为二次积分 与直系下二次积分互化 一 利用直角坐标计算二重积分 且在D上连续时 由曲顶柱体体积的计算可知 若D为X 型区域 直角坐标系下化二重积分为二次积分 应用计算 平行截面面积为已知的立体求体积 的方法 由此得 则 的值等于以D为底 以曲面 为顶的圆柱体的体积 若D为。</p><p>15、第二节 二重积分的计算法（1）,一、利用直角坐标计算二重积分 二、小结 练习题,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,基本思路：化为定积分,二重积分的计算,1. 直角坐标系下的计算法,(1) X型积分区域D:,1(x)y2(x) , a xb,特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,A( x),后积分的先定限,先积分的后。</p><p>16、一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,9.2 二重积分的计算法,一、利用直角坐标计算二重积分,如果区域D可以表示为不等式 j1(x)yj2(x), axb, 则称区域D为X型区域.,X型区域与Y型区域,如果区域D可以表示为不等式 y1(y)xy2(y), cyd, 则称区域D为Y型区域.,有的区域既是X型区域又是Y型区域, 而有的区域既不是X型区域又不是Y型区域, 但它。</p><p>17、三、二重积分的换元法,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的计算法,第九章,1,一、利用直角坐标计算二重积分,二重积分定义为积分和式的极限如果直接用二重积分的定义去计算它的值，是相当困难的，甚至是不可能的. 下面我们根据二重积分的几何意义曲顶柱体的体积来导出二重积分的计算方法. 这个方法就是把二重积分的计算转化为接连计。</p>